Презентация на тему: Занимательная математика

Занимательная математика
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
Свойства числовых неравенств.
1/11
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 56)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (137 Кб)
1

Первый слайд презентации: Занимательная математика

Алгебра 8 класс. Урок на тему: Свойства числовых неравенств

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
2

Слайд 2: Свойства числовых неравенств

Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда только начинали знакомиться с понятием корня квадратного. Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше. Запись на математическом языка a > b означает, что число a больше числа b, что в свою очередь значит a - b положительное число. Запись на математическом языка a < b означает, что число a меньше числа b, что в свою очередь значит a - b отрицательное число. Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства, изучением таких свойств мы и займемся на этом уроке.

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3: Свойства числовых неравенств

Свойство 1. Если a > b и b > c то a>c. Доказательство. Вроде бы очевидно, что 10>5 и 5>2 и конечно 10>2. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая. Если a > b то a - b положительное число, если b > c то b - c положительное число, давайте сложим два полученных положительных числа a - b + b-c=a-c Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда a - c также положительное число, из чего следует a > c. Свойство доказано. Более наглядно данное свойство можно показать используя числовую прямую, если a > b, то число a на числовой прямой будет лежать правее b, и соответственно b > c число b будет лежать правее числа с. Как хорошо видно из рисунка, точка a в таком случае находится правее точки c, что и означает a > c.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
4

Слайд 4: Свойства числовых неравенств

Свойство 2. Если a > b, то a + c > b + c. Иначе говоря, если число a больше числа b, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, то знак неравенства будет так же сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко, нужно так же выполнить вычитание и та переменная, которую прибавляли, исчезнет, и получится верное исходное неравенство. Свойство 3. а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется. Если a > b и c >0, тогда ac > bc. б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный. Если a > b и c <0, тогда ac < bc. Если a < b и c <0, тогда ac > bc. При делении следует действовать тем же образом. (делим на положительное число знак сохраняется, делим на отрицательно число знак меняем)

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5: Свойства числовых неравенств

Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Доказательство. Из условия a - b – положительное число. c - d –положительное число. Тогда сумма ( a - b )+( c - d ) тоже положительное число, поменяем местами некоторые слагаемые ( a +с)-( b + d ) от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, значит ( a +с)-( b + d ) положительное число и a + c > b + d свойство доказано. Свойство 5. Если a, b, c, d – положительные числа и a > b, c > d то ac > bd. Доказательство. Так как a > b и c >0, то используя свойство 3 ac > bc. Так как c > d и b >0, то опять же используя свойство 3 cb > bd. И так ac > bc и bc > bd, тогда используя свойство 1, получаем ac > bd как раз то, что требовалось доказать. Определение. Неравенства вида a > b и c > d ( a < b и c < d ) называются неравенствами одинакового смысла. Неравенства вида a > b и c < d ( a < b и c > d ) называются неравенствами противоположного смысла. Тогда свойство 5 можно перефразировать, при умножение неравенств одного смысла у которых левые и правые части положительные получается неравенство того же смысла.

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6: Свойства числовых неравенств

Свойство 6. Если a > b ( a >0, b >0), то, где n – любое натуральное число. То есть если обе части неравенства положительные числа, и их возвести в одну и туже натуральную степень, то получится неравенство того же смысла. Так же заметим, если n нечетное число, то тогда для любых по знаку чисел a и b свойство 6 выполняется. Свойство 7. Если a>b (a>0, b>0), то Доказательство. Чтобы доказать данное свойство в разности мы должны получить отрицательное число. Мы знаем что a - b положительное число, и произведение двух положительных чисел тоже положительное число, т.е. ab >0. Тогда - отрицательное число. Свойство доказано.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
7

Слайд 7: Свойства числовых неравенств

Свойство 8. Если a >0, то тогда выполняется неравенство Доказательство. Рассмотрим разность Свойство доказано. Свойство 9. Неравенство Коши. (Среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического) Если a и b неотрицательные числа, то выполняется неравенство Доказательство. Рассмотрим разность Свойство доказано.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
8

Слайд 8: Свойства числовых неравенств

Пример 1. Известно что -1.5< a <2.1 и 3.1< b <5.3. Найти оценки чисел а) 3 a б) -2 b в) a + b г) a - b д) е) ж) Решение. а) Воспользуемся свойством 3, так как умножаем на положительное число то знак неравенства не меняется -1.5 · 3< a· 3<2.1 · 3 -4.5<3 a < 6.3 б) Опять же используя свойство 3, умножая на отрицательное число следует менять знак неравенства -2 · 3.1 > -2 ·b> -2 · 5.3 -10.3<-2b<-6.2 в) Сложив неравенства одинаково смысла получим неравенство того же смысла -1.5+3.1<a+b<2.1+5.3 1.6<a+b<7.4

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
9

Слайд 9: Свойства числовых неравенств

г) Сначала умножим все части неравенства 3.1< b <5.3 на минус один, получится неравенство противоположного смысла -5.3<- b <-3.1 Теперь выполним операцию сложения -1.5-5.3<a - b<2.1-3.1 -6.8<a - b<-1 д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат получим неравенство того же смысла е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак ж) Воспользуемся свойством 7.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
10

Слайд 10: Свойства числовых неравенств

Пример 2. Сравните числа а) б) Решение. а) Возведем каждое из чисел в квадрат Вычислим разность квадратов этих квадратов Очевидно, получили положительное число, что означает Так как оба числа положительных, то б)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/9
11

Последний слайд презентации: Занимательная математика: Свойства числовых неравенств

Задачи для самостоятельного решения. 1. Известно что -2.2< a <3.1 и 1.2< b <3.7. Найти оценки чисел а) 4 a б) -3 b в) a + b г) a - b д) е) ж) 2. Сравните числа а) б)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6