Алгебра 8 класс. Урок на тему: Свойства числовых неравенств
Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда только начинали знакомиться с понятием корня квадратного. Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше. Запись на математическом языка a > b означает, что число a больше числа b, что в свою очередь значит a - b положительное число. Запись на математическом языка a < b означает, что число a меньше числа b, что в свою очередь значит a - b отрицательное число. Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства, изучением таких свойств мы и займемся на этом уроке.
Свойство 1. Если a > b и b > c то a>c. Доказательство. Вроде бы очевидно, что 10>5 и 5>2 и конечно 10>2. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая. Если a > b то a - b положительное число, если b > c то b - c положительное число, давайте сложим два полученных положительных числа a - b + b-c=a-c Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда a - c также положительное число, из чего следует a > c. Свойство доказано. Более наглядно данное свойство можно показать используя числовую прямую, если a > b, то число a на числовой прямой будет лежать правее b, и соответственно b > c число b будет лежать правее числа с. Как хорошо видно из рисунка, точка a в таком случае находится правее точки c, что и означает a > c.
Свойство 2. Если a > b, то a + c > b + c. Иначе говоря, если число a больше числа b, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, то знак неравенства будет так же сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко, нужно так же выполнить вычитание и та переменная, которую прибавляли, исчезнет, и получится верное исходное неравенство. Свойство 3. а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется. Если a > b и c >0, тогда ac > bc. б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный. Если a > b и c <0, тогда ac < bc. Если a < b и c <0, тогда ac > bc. При делении следует действовать тем же образом. (делим на положительное число знак сохраняется, делим на отрицательно число знак меняем)
Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Доказательство. Из условия a - b – положительное число. c - d –положительное число. Тогда сумма ( a - b )+( c - d ) тоже положительное число, поменяем местами некоторые слагаемые ( a +с)-( b + d ) от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, значит ( a +с)-( b + d ) положительное число и a + c > b + d свойство доказано. Свойство 5. Если a, b, c, d – положительные числа и a > b, c > d то ac > bd. Доказательство. Так как a > b и c >0, то используя свойство 3 ac > bc. Так как c > d и b >0, то опять же используя свойство 3 cb > bd. И так ac > bc и bc > bd, тогда используя свойство 1, получаем ac > bd как раз то, что требовалось доказать. Определение. Неравенства вида a > b и c > d ( a < b и c < d ) называются неравенствами одинакового смысла. Неравенства вида a > b и c < d ( a < b и c > d ) называются неравенствами противоположного смысла. Тогда свойство 5 можно перефразировать, при умножение неравенств одного смысла у которых левые и правые части положительные получается неравенство того же смысла.
Свойство 6. Если a > b ( a >0, b >0), то, где n – любое натуральное число. То есть если обе части неравенства положительные числа, и их возвести в одну и туже натуральную степень, то получится неравенство того же смысла. Так же заметим, если n нечетное число, то тогда для любых по знаку чисел a и b свойство 6 выполняется. Свойство 7. Если a>b (a>0, b>0), то Доказательство. Чтобы доказать данное свойство в разности мы должны получить отрицательное число. Мы знаем что a - b положительное число, и произведение двух положительных чисел тоже положительное число, т.е. ab >0. Тогда - отрицательное число. Свойство доказано.
Свойство 8. Если a >0, то тогда выполняется неравенство Доказательство. Рассмотрим разность Свойство доказано. Свойство 9. Неравенство Коши. (Среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического) Если a и b неотрицательные числа, то выполняется неравенство Доказательство. Рассмотрим разность Свойство доказано.
Пример 1. Известно что -1.5< a <2.1 и 3.1< b <5.3. Найти оценки чисел а) 3 a б) -2 b в) a + b г) a - b д) е) ж) Решение. а) Воспользуемся свойством 3, так как умножаем на положительное число то знак неравенства не меняется -1.5 · 3< a· 3<2.1 · 3 -4.5<3 a < 6.3 б) Опять же используя свойство 3, умножая на отрицательное число следует менять знак неравенства -2 · 3.1 > -2 ·b> -2 · 5.3 -10.3<-2b<-6.2 в) Сложив неравенства одинаково смысла получим неравенство того же смысла -1.5+3.1<a+b<2.1+5.3 1.6<a+b<7.4
г) Сначала умножим все части неравенства 3.1< b <5.3 на минус один, получится неравенство противоположного смысла -5.3<- b <-3.1 Теперь выполним операцию сложения -1.5-5.3<a - b<2.1-3.1 -6.8<a - b<-1 д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат получим неравенство того же смысла е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак ж) Воспользуемся свойством 7.
Пример 2. Сравните числа а) б) Решение. а) Возведем каждое из чисел в квадрат Вычислим разность квадратов этих квадратов Очевидно, получили положительное число, что означает Так как оба числа положительных, то б)
Задачи для самостоятельного решения. 1. Известно что -2.2< a <3.1 и 1.2< b <3.7. Найти оценки чисел а) 4 a б) -3 b в) a + b г) a - b д) е) ж) 2. Сравните числа а) б)
Slide-Share