Презентация на тему: Замечательные точки треугольника

Реклама. Продолжение ниже
Замечательные точки треугольника
Теорема 1
Замечание
Теорема 2
Вопрос 1
Вопрос 2
Вопрос 3
Вопрос 4
Вопрос 5
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 9
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 1 5
Упражнение 1 6
Упражнение 1 7
Упражнение 1 8
Упражнение 1 9
Упражнение 20
Упражнение 21
Упражнение 22
Упражнение 23
Упражнение 24
Упражнение 25
Упражнение 26
Упражнение 27
Упражнение 28
Упражнение 29
Решение
Упражнение 30
Решение
1/41
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 7)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (563 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Замечательные точки треугольника

К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон – центр вписанной окружности; в) точка пересечения высот или их продолжений – ортоцентр; г) точка пересечения медиан – центроид.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
2

Слайд 2: Теорема 1

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказательство. Через вершины треугольника АВС проведем прямые, параллельные противоположным сторонам. Эти прямые образуют новый треугольник DEF, для которого А, В, и С служат серединами сторон. В самом деле, СЕ = АВ и АВ = СD как противоположные стороны параллелограммов АЕСВ и АСDB. Следовательно, ЕС = СD. Точно так же FB = BD, FA = AE. Отсюда следует, что высоты треугольника АВС лежат на серединны х перпендикуляра х к сторонам треугольника DEF. Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то и высоты треугольника ABC или их продолжения пересекаются в одной точке.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
3

Слайд 3: Замечание

Заметим, что высоты треугольника могут не пересекаться. На рисунке изображен тупоугольный треугольник ABC, в котором продолжения высот AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке H, а сами высоты не пересекаются.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
4

Слайд 4: Теорема 2

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин. Доказательство. В треугольнике АВС проведем медианы А D и ВЕ. Пусть O - их точк а пересечения. Отрезок ED будет средней линией треугольника АВС. Проведем среднюю линию HG в треугольнике АВО. Треугольники HGO и EDO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, HO = OE и GO = OD. Таким образом, имеем AG = GO = OD, BH = HO = OE, т.е. медианы А D и BE в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины. Медиана, проведенная из вершины С, также должна делить медиану А D в отношении 2:1. Следовательно, она будет проходить через точку О, т.е. все три медианы будут пересекаться в одной точке.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
5

Слайд 5: Вопрос 1

Какие точки относятся к числу замечательных точек в треугольнике? Ответ: К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон; в) точка пересечения высот или их продолжений; г) точка пересечения медиан.

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6: Вопрос 2

Всегда ли высоты треугольника пересекаются? Ответ: Нет. Высоты тупоугольного треугольника не пересекаются.

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7: Вопрос 3

Как называется точка пересечения высот ? Ответ: Ортоцентр.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Вопрос 4

Как называется точка пересечения медиан ? Ответ: Центроид.

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9: Вопрос 5

В каком отношении делятся медианы треугольника точкой их пересечения? Ответ: 2:1, считая от вершин.

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10: Упражнение 1

Проведите биссектрисы треугольника ABC.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
11

Слайд 11: Упражнение 2

Проведите медианы треугольника ABC.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
12

Слайд 12: Упражнение 3

Постройте точку пересечения прямых, на которых лежат высоты треугольника ABC.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
13

Слайд 13: Упражнение 4

Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14: Упражнение 5

Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: Упражнение 6

Может ли точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника? Ответ: Да.

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16: Упражнение 7

Ответ: Да, у прямоугольного треугольника. Может ли вершина треугольника быть точкой пересечения его высот?

Изображение слайда
1/1
17

Слайд 17: Упражнение 8

Где находится точка пересечения серединных перпендикуляров для: а) прямоугольного треугольника; б) остроугольного треугольника; в) тупоугольного треугольника? Ответ: а) В середине гипотенузы; б) внутри треугольника; в) вне треугольника.

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18: Упражнение 9

Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой? Решение: Предположим, что биссектриса AA 1 проходит через середину O биссектрисы BB 1. Тогда AA 1 является медианой, следовательно, высотой треугольника ABB 1. В прямоугольном треугольнике ABO сумма углов A и B равна 90 о. Следовательно, в треугольнике ABC сумма углов A и B равна 180 о, что невозможно. Таким образом, одна биссектриса треугольника не может проходить через середину другой.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
19

Слайд 19: Упражнение 10

К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности? Ответ: К большей стороне.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
20

Слайд 20: Упражнение 11

К какой из сторон треугольника ближе расположен ортоцентр? Ответ: О ртоцентр треугольника расположен ближе к меньшей стороне.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
21

Слайд 21: Упражнение 12

К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности? Ответ: К вершине, лежащей против большей стороны.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
22

Слайд 22: Упражнение 13

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 10 о и 100 о. Найдите углы ВОС и СОА, где О - центр описанной окружности. Ответ: 140 о, 20 о.

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23: Упражнение 14

Биссектрисы АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы АСО и ВСО, если AOB = 136 о. Ответ: 46 о и 46 о.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
24

Слайд 24: Упражнение 1 5

Биссектрисы АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите уг ол А OB, если A CB = 50 о. Ответ: 115 о.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
25

Слайд 25: Упражнение 1 6

Углы треугольник а АВС равны соответственно 40 о, 60 о и 80 о. На йдите уг ол между высотами А A 1 и BB 1. Ответ: 80 о.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
26

Слайд 26: Упражнение 1 7

Докажите, что м едиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказательство. следует из того, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
27

Слайд 27: Упражнение 1 8

Докажите, что е сли медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. Доказательство. В этом случае основание M медианы равноудалено от вершин треугольника и, следовательно, является центром описанной окружности. Угол C опирается на диаметр AB, следовательно, равен 90 о.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
28

Слайд 28: Упражнение 1 9

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 2.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
29

Слайд 29: Упражнение 20

Ответ: 2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
30

Слайд 30: Упражнение 21

Ответ: 9. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
31

Слайд 31: Упражнение 22

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите меньший катет треугольника. Ответ: 3.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
32

Слайд 32: Упражнение 23

Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую? Ответ: 1 см, 7 см и 8 см.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
33

Слайд 33: Упражнение 24

Основания трапеции равны 20 и 8, углы при большем основании равны 40 о и 50 о. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований. Ответ: 6.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
34

Слайд 34: Упражнение 25

Докажите, что е сли AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC, то угол A 1 AC равен углу B 1 BC. Доказательство. Прямоугольные треугольники A 1 AC и B 1 BC имеют общий острый угол C. Следовательно, равны и два других их острых угла A 1 AC и B 1 BC.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
35

Слайд 35: Упражнение 26

Докажите, что е сли AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC, то угол B 1 A 1 C равен углу BAC. Доказательство. Рассмотрим окружность с диаметром AB. Угол B 1 A 1 C равен 90 о минус угол B 1 A 1 A. Углы B 1 A 1 A и B 1 BA равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Угол BAC равен 90 о минус угол B 1 BA. Следовательно, равны углы B 1 A 1 C и BAC.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
36

Слайд 36: Упражнение 27

Докажите, что t сли AA 1, BB 1, CC 1 – высоты треугольника ABC, то угол A 1 C 1 C равен углу B 1 C 1 C. Доказательство. На сторонах треугольника ABC, как на диаметрах, опишем окружности. Они пройдут через точки A 1, B 1, C 1. Угол A 1 C 1 C равен углу A 1 AC как углы, опирающиеся на одну дугу A 1 C. Угол A 1 AC равен углу B 1 BC. Угол B 1 BC равен углу B 1 C 1 C, как углы, опирающиеся на одну дугу B 1 C. Следовательно, угол A 1 C 1 C равен углу B 1 C 1 C.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
37

Слайд 37: Упражнение 28

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1, BC = 24, B 1 C 1 = 12, O – центр вписанной окружности. Найдите угол BOC. Решение. Рассмотрим окружность с диаметром BC, P – ее центр. Она пройдет через точки B 1 и C 1. Треугольник PB 1 C 1 равносторонний, следовательно, угол B 1 PC 1 равен 60 о. Углы B 1 BC 1 и B 1 BC 1 опираются на дугу B 1 C 1, следовательно, равны 30 о. Угол A треугольника ABC равен 60 о. Следовательно, угол BOC равен 120 о.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
38

Слайд 38: Упражнение 29

Пусть в треугольнике ABC точки A 1, B 1, C 1 обозначают середины сторон противоположных соответствующим вершинам; H – точка пересечения высот треугольника; A 2, B 2, C 2 – основания высот, опущенных из соответствующих вершин; A 3, B 3, C 3 – середины отрезков AH, BH и CH. Докажите, что точки A 1, B 1, C 1, A 2, B 2, C 2, A 3, B 3, C 3 принадлежат одной окружности, называемой окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера. Решение дано на следующем слайде.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
39

Слайд 39: Решение

Проведем окружность через точки C 1, C 2, C 3. Отрезок C 1 C 3 будет ее диаметром. Так как A 1 C 1 – средняя линия треугольника ABC, то A 1 C 1 || AC. Так как A 1 C 3 – средняя линия треугольника BCH, то A 1 C 3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A 1 принадлежит этой окружности. Аналогично, Так как A 3 C 3 – средняя линия треугольника AHC, то A 3 C 3 || AC. Так как C 1 A 3 – средняя линия треугольника ABH, то C 1 A 3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A 3 принадлежит этой окружности. A 1 C 1 A 3 C 3 – прямоугольник и, значит, A 1 A 3 – диаметр окружности. Так как , то A 2 принадлежит окружности. Таким образом, мы доказали, что этой окружности принадлежат точки A 1, A 2, A 3. Аналогично доказывается, что этой окружности принадлежат точки B 1, B 2, B 3.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
40

Слайд 40: Упражнение 30

Точкой Торричелли треугольника ABC называется такая точка O, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120 о, т.е. углы AOB, AOC и BOC равны 120 о. Докаж ите, что в случае, если все углы треугольника меньше 120 о, точка Торричелли существует. Решение дано на следующем слайде.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
41

Последний слайд презентации: Замечательные точки треугольника: Решение

Аналогичн о, на стороне BC треугольника ABC построим равносторонний треугольник A’BC, и опишем около него окружность. Из т оч ек соответствующей дуги, отличны х B и C, отрезок BC виден под углом 120 о. В случае, когда углы треугольника меньше 120 о, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O, из которой стороны треугольника ABC видны под углом 120 о. На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC ', и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120 о. Следовательно, из точ ек этой дуги, отличны х от A и B, отрезок AB виден под углом 120 о.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже