Презентация на тему: Введение в комбинаторику

Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Правило произведения
Введение в комбинаторику
Введение в комбинаторику
Правило произведения
Введение в комбинаторику
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Правило произведения
Таблицы вариантов
Таблицы вариантов
Подсчет вариантов с помощью графов
Подсчет вариантов с помощью графов
Задача 17. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться?
Граф-дерево
Виды выборок
Формулы комбинаторики
Формулы комбинаторики
Формулы комбинаторики
Формулы комбинаторики
1/38
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 22)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (845 Кб)
1

Первый слайд презентации: Введение в комбинаторику

Изображение слайда
2

Слайд 2

2 Эпиграф урока: . . «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

Изображение слайда
3

Слайд 3

3 Что такое комбинаторика? Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение с/х культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

Изображение слайда
4

Слайд 4

4 Из истории комбинаторики С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

Изображение слайда
5

Слайд 5

5 В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д. Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.) В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Изображение слайда
6

Слайд 6

6 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика». Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Изображение слайда
7

Слайд 7

7 Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.

Изображение слайда
8

Слайд 8

8 Методы решения комбинаторных задач Правило суммы. 2. Правило произведения 3. Таблицы. 4. Графы (деревья). 5. Формулы.

Изображение слайда
9

Слайд 9

9 Правило суммы Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен к1+к2 способами. Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ? Решение: к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28), к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75) к1+к2 = 5+4 = 9

Изображение слайда
10

Слайд 10

10 Правило произведения Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен к1хк2 способами. Задача 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9? Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями) б) Сколько среди них чисел, кратных 5? Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5. На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5. N= 5 х1 =5

Изображение слайда
11

Слайд 11

11 в) Сколько среди них чисел, кратных 11? Решение : Двузначное число кратно 11, если обе его цифры одинаковы. N= 5 г) Сколько среди них чисел, кратных 3? Решение : Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Составим всевозможные пары: 1 -1 3 -3 5 – 5 7 – 7 9 -9 1 -3 3 -5 5 – 7 7 – 9 1 -5 3 -7 5 -9 1 -7 3 – 9 1 – 9 Таких пар 15. Среди них 5 пар, сумма которых делится на 3, причем три пары допускают перестановку, т.е. могут образовать по два разных числа. Всего 5+3=8 различных двузначных чисел. Правило произведения

Изображение слайда
12

Слайд 12

12 Задача 3. Сколько существует способов занять 1-ое, 2-ое и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют а ) 10 команд Решение: N= 10х9х8=720 б ) 11 команд? Решение: N= 11х10х9х8=990 Правило произведения

Изображение слайда
13

Слайд 13

13 Задача 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2,3,4, если а ) цифры не повторяются? Решение: На первом месте одна из 4-х цифр ( 0 не может быть), на 2-ом – одна из оставшихся 4-х: N= 4х4= 16 б ) цифры могут повторяться Решение : На 1-ом месте может быть одна из 4-х цифр, на 2-ом – одна из 5 ( 0 входит): N= 4х5= 20 Правило произведения

Изображение слайда
14

Слайд 14: Правило произведения

14 Задача 5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. а ) Сколько всего стран могут использовать такую символику? Решение : Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N= 4х3х2х1=24

Изображение слайда
15

Слайд 15

15 б ) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом? Решение : Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12 Правило произведения

Изображение слайда
16

Слайд 16

16 в ) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой полосой? Решение : Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами Правило произведения г) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой? Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Правило произведения

Задача 6. В клетки квадратной таблицы 2х2 произвольно ставят крестики и нолики. а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? Решение : Для заполнения первой клетки есть 2 способа ( крестик или нолик); для заполнения каждой последующей – тоже 2 способа; общее количество способов заполнить таблицу по правилу произведения равно 2х2х2х2=16. 17 X X 0 0 X X 0 0

Изображение слайда
18

Слайд 18

18 Правило произведения б ) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой будут разные значки? Решение : Если в верхней клетке – крестик, а нижней – нолик, то остальные клетки можно заполнить 2х2=4 способами. Если в верхней клетке – нолик, в нижней – крестик, то еще 4 способа заполнения. Всего 4+4=8 способов. X 0 0 0

Изображение слайда
19

Слайд 19: Правило произведения

X X X X X 0 X 0 19 в ) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик? Решение : Если в левой нижней клетке фиксируем крестик, то остальные 3 клетки можно заполнить 2х2х2=8 различными способами

Изображение слайда
20

Слайд 20: Правило произведения

Задача 7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом? Решение : Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет. 20

Изображение слайда
21

Слайд 21: Правило произведения

Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего 4х2х4х3х2х1=192 способами. По правилу сложения 48+192= 240 способов 21

Изображение слайда
22

Слайд 22: Правило произведения

Задача 8. Из цифр 1,2,3,5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000? Решение : Выбор 1-ой цифры – 2 способа (3,4), 2-ой цифры – 3 способа, третьей – 2 способа, четвертой -1. По правилу произведения N =2х3х2х1=12 чисел. 22

Изображение слайда
23

Слайд 23: Правило произведения

Задача 9. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует) Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов. Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов Ответ: хватит. 23

Изображение слайда
24

Слайд 24: Правило произведения

Задача 10. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите: а ) общее число всех возможных вариантов контрольной работы Решение : Каждая задача может быть выбрана 10 способами. По правилу произведения N= 10х10х10х10х10= 100000 24

Изображение слайда
25

Слайд 25: Правило произведения

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач Решение : N=8 х8х8х8х8= 32768 в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи Решение : N= 2х2х2х2х2= 32 г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой. Решение : N= 2х8х8х8х8= 8192 25

Изображение слайда
26

Слайд 26: Правило произведения

Задача 11. Три вершины правильного 10-угольника покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами? Решение: Первую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 10 – 3 = 7 черных вершин, после этого вторую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 6 оставшихся черных вершин, а третью рыжую – с любой из 5 оставшихся черных вершин. Общее число вариантов (отрезков с разноцветными концами) по правилу произведения равно: 7х6х5= 210 26

Изображение слайда
27

Слайд 27: Правило произведения

Задача 12. Сколько ребер имеет полный граф (каждая вершина соединена с каждой), если количество его вершин 12? Решение : Первую вершину можно выбрать из 12, вторую – из 11; всего 12х11=132 пары. Но они учитывают порядок выбора (каждая пара входит дважды). Поэтому количество ребер равно 12х11:2= 66 27

Изображение слайда
28

Слайд 28: Таблицы вариантов

Задача 13 Составляя расписание уроков на понедельник для 7а класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока? Решение: Составим таблицу вариантов: Всего существует 2х3 = 6 вариантов 1 2 русский литер история физика Русский физика Литер физика История физика алгебра Русский алгебра Литер алгебра История алгебра 28

Изображение слайда
29

Слайд 29: Таблицы вариантов

Задача 14 Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1,3,5,7,9? а) цифры не повторяются - 6 вариантов (15,39,57,51,75,93) б) цифры могут повторяться – 8 вариантов (еще 33,99) 1 3 5 7 9 1 11 13 15 17 19 3 31 33 35 37 39 5 51 53 55 57 59 7 71 73 75 77 79 9 91 93 95 97 99 29

Изображение слайда
30

Слайд 30: Подсчет вариантов с помощью графов

Задача 15. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько было рукопожатий, если друзей : а) трое ; б) четверо ; в) пятеро? N=3 N=6 N=10 30

Изображение слайда
31

Слайд 31: Подсчет вариантов с помощью графов

Задача 16. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если специалистов было а) трое ; б) четверо ; в) пятеро? N=3 N=6 N=10 31

Изображение слайда
32

Слайд 32: Задача 17. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться?

22 27 29 72 77 79 92 97 99 2 7 9 9 7 2 2 9 7 9 7 2 * 32

Изображение слайда
33

Слайд 33: Граф-дерево

Задача 18. Маше на день рождения подарили 3 букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было 2 вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой. 33

Изображение слайда
34

Слайд 34: Виды выборок

Перестановки без повторений Размещения без повторений Сочетания без повторений Размещения с повторениями (строки) Перестановки с повторениями Сочетания с повторениями Разбиения Подмножества 34

Изображение слайда
35

Слайд 35: Формулы комбинаторики

Факториал ч исла - произведение n первых натуральных чисел обозначается n! 5!=1*2*3*4*5=120 ; n!=1*2*3*…*(n-1)*n Перестановка без повторений. Задача 19. Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов. Примеры: 1234567, 2354167, 7546321. Перестановка-упорядоченное множество. Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле Pn=n!. По условию n =7 Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел. 35

Изображение слайда
36

Слайд 36: Формулы комбинаторики

Перестановка с повторениями. Задача 20. Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов. Примеры: 1223334, 4232331,2233314. Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняется. Число таких перестановок вычисляется по формуле Pn = n!/(n1!*n2!*n3!). По условию n = 7, n1 =2, n 2 =3 Получаем 7! /(2!*3!)=5040/12=420 различных чисел. 36

Изображение слайда
37

Слайд 37: Формулы комбинаторики

Сочетание. Задача 21. Имеется 7 цветных карандашей. Выбирается 3 карандаша. Сколько существует способов выбрать 3 карандаша, чтобы не было повторяющихся наборов? Выборка из трёх карандашей – это сочетание из 7-ми по 3 элемента в каждом. Сочетание - неупорядоченная выборка. Число сочетаний из n элементов по m в каждом находим по формуле: Cn = n!/(m!*(n-m)!). Решение: 7! / (4!*3!)=7*6*5=210 Задача 22. В классе обучается 20 человек. Сколько существует способов выбрать актив, состоящий из 4 человек? Решение. Находим число сочетаний из 20 элементов по 4 в каждом: 20! /(4!*16!)=17*18*19*20/24=4845 способов выбрать актив. 37

Изображение слайда
38

Последний слайд презентации: Введение в комбинаторику: Формулы комбинаторики

Размещение. Задача 23. Буквы алфавита записаны на карточках. Выбирается 4 карточки и затем из набора составляют различные слова. Под словом будем понимать порядок следования букв. Например: плот, лотп, лпот- разные слова. Каждое полученное слово-это размещение. Размещение –упорядоченная выборка Число размещений из n элементов по m в каждом находим по формуле : An =n!/(n-m)!. Сколько слов можно получить в предложенной задаче? По формуле получаем решение 32! /(32-4)!=32!/28!=29*30*31*32=863040 38

Изображение слайда