Презентация на тему: 6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции

6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции.
1/11
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 78)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (878 Кб)
1

Первый слайд презентации

6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции. Свойства волновых функций 1 Для построения теории, описывающей поведение микрообъектов атомных масштабов, понадобилось около четверти века. Основные идеи нерелятивистской квантовой механики были сформулированы в 1925-26 гг. в работах В. Гейзенберга, Э. Шредингера, П. Дирака и М. Борна. Квантовая механика – теория, более общая по отношению к классической механике. Она переходит в классическую механику при рассмотрении макроскопическими объектов. Вместе с тем, в квантовой механике для описания взаимодействия между электронами и фотонами сохраняется представление о потенциальной энергии взаимодействия заряженных объектов между собой и с излучением, понимаемым классически. Более фундаментальная по отношению к квантовой механике дисциплина – квантовая электродинамика, явным образом учитывающая дискретность как вещества, так и излучения (через предложенную П. Дираком процедуру «вторичного квантования»). Paul Dirac (1 902 -19 84 )

Изображение слайда
2

Слайд 2

2 Erwin Schrödinger (1887-1961 ) В классической механике состояние частицы описывается значениями ее координат и импульса, а движение – зависимостью координат и импульса от времени:. Для определения этих функций используют уравнения движения. Например, второй закон Ньютона. Для системы частиц определяются координаты и импульсы каждой из них: В 1925 г. В. Гейзенберг заложил основы матричной (нерелятивистской) квантовой механики. В 1926 г. Э. Шредингер построил нерелятивистскую волновую механику на основе (еще не подтвержденной тогда) гипотезы де Бройля. При несхожести подходов эти две теории приводили к одинаковым выводам. Вскоре Шредингер доказал, что эти две теории математически эквивалентны. Их общее современное название – «нерелятивистская квантовая механика». Шредингеровский подход более прост для начального ознакомления. Он и используется в дальнейшем.

Изображение слайда
3

Слайд 3

3 Вследствие этого на волновую функцию часто накладывают условие нормировки, означающее, что частица с единичной вероятностью находится где-то в ограниченной области пространства (интеграл должен сходиться): Для описания состояния замкнутой системы из нескольких ( N ) микрообъектов используют волновую функцию, определенную в «конфигурационном пространстве» размерности 3 N. Например, для N =2 вероятность обнаружить первую частицу в объеме d V 1 вблизи точки и вторую частицу в d V 2 вблизи точки определяется как: В волновой механике «в координатном представлении» состояние частицы характеризуется комплекснозначной волновой функцией («амплитудой вероятности»). Траектория частицы не может быть определена, о движении речь может идти только «в широком понимании», как о временной зависимости. Квадрат модуля амплитуды вероятности имеет смысл «плотности вероятности»: он пропорционален вероятности d w обнаружить микрообъект в момент t в объеме d V вблизи данной точки пространства:

Изображение слайда
4

Слайд 4

4 Далее следует найти уравнение, которое можно было бы использовать для вычисления волновой функции в любых заданных условиях. В соответствии с результатами экспериментов, для свободного пространства, в отсутствие действующих на микрообъект силовых полей, решение такого уравнения должно иметь вид волны де Бройля . Частота и волновой вектор сопоставляются классическим энергии и импульса объекта: , Математическое представления волны де Бройля аналогично выражению для электромагнитной волны. Можно предположить, что и в остальных случаях аналогия с волновой оптикой подскажет правильный вид искомого уравнения. Распространение любых волн в пространстве описывается «волновым уравнением» вида , где  -- характеризующая волну скалярная величина; v – (фазовая) скорость волны; – оператор Лапласа (лапласиан). E = ħ

Изображение слайда
5

Слайд 5

5 При гармонической зависимости  от времени можно выделить пространственную часть функции (амплитуду колебаний): (Фаза колебаний включена в комплексный амплитудный множитель. ) Тогда, учитывая соотношение k = / v, волновое уравнение можно переписать для амплитудной функции: Это соотношение называется уравнением Гельмгольца. Оно справедливо, в том числе, и в неоднородных средах с непостоянной оптической плотностью, где и. Можно приписать аналогичные свойства и волновой функции.

Изображение слайда
6

Слайд 6

6 В стационарном (постоянном во времени) внешнем поле полная энергия рассматриваемой частицы (сумма потенциальной и кинетической составляющих) должна сохраняться. Тогда постоянной должна быть и частота , связанная с энергией соотношением E = ħ . Следовательно, в волновой функции можно выделить пространственную часть: Для пространственной части потребуем выполнения уравнения Гельмгольца: Влияние внешнего силового поля здесь учитывается через зависимость. Волновое число можно выразить через импульс микрообъекта ( частицы ) p : k 2 = p 2 / ħ 2. Осталось связать импульс с параметрами силового поля, которые можно задать введением функции потенциальной энергии (в стационарной задаче не зависящей явно от времени). Для этого Шредингер использовал нерелятивистское выражение для (сохраняющейся) полной энергии частицы с массой m : ( Именно в этом случае получилось согласие выводов теории с экспериментом.)

Изображение слайда
7

Слайд 7

7 С учетом этого, уравнение Гельмгольца преобразуется к виду: Это уравнение называют стационарным (амплитудным) уравнением Шредингера. Или уравнением Шредингера для состояния с определенной энергией. Оно было получено нестрогим образом – фактически постулировано. Но оказалось верным. Использовав это соотношение и взяв для потенциальной энергии выражение для кулоновского потенциала, Шредингер получил спектр разрешенных значений энергии водородоподобного атома, совпадающий с результатами, полученными в модели Бора. При этом не потребовалось постулировать правила квантования – разрешенным энергиям соответствовали энергии стоячих волн (резонансных колебаний) в потенциальной яме, профиль которой описывается кулоновским потенциалом. Поскольку результаты расчетов в модели Бора для атома водорода в точности соответствовали экспериментальным данным, это означало подтверждение и для стационарного (амплитудного) уравнения Шредингера.

Изображение слайда
8

Слайд 8

8 При этом дискретный характер разрешенных (стационарных) значений энергии атома объясняется в волновой механике Шредингера более естественным образом, чем при использовании «искусственных» постулатов Бора. Можно сказать, что сами эти постулаты получили свое объяснение. Стационарное уравнение Шредингера – одно из основных уравнений волновой механики. Исключив из него E, можно прийти к другому, еще более общему уравнению, позволяющему описывать и нестационарные состояния, которым не соответствует никакое определенное значение энергии. Будем основываться на использованном представлении волновой функции в виде, справедливом для состояний с определенной энергией: Для него справедливо: или В стационарном уравнении Шредингера можно домножить все члены на временную часть волновой функции и выделить слагаемое, зависящее от E :

Изображение слайда
9

Слайд 9

9 Итого, получаем: Это уравнение называют « временным уравнением Шредингера ». Вводят обозначение: оператор Гамильтона (гамильтониан) . С его использованием стационарное и временн ó е уравнения Шредингера могут быть записаны в виде: ( стационарное ) ( временн ó е ) Подчеркнем еще раз, что уравнение Шредингера (в любой форме) не может быть выведено из каких-либо более фундаментальных законов. Оно представляет собой первичный постулат (закон природы), лежащий в основе квантовой механики. Его справедливость доказана согласием с экспериментом.

Изображение слайда
10

Слайд 10

10 Если состояние квантовой системы в текущий момент известно и описывается волновой функцией, временное уравнение Шредингера позволяет описать динамику изменения волновой функции на будущее, то есть, достоверно предсказать все будущие состояния системы. Физический смысл волновой функции определяет дополнительные требования к ее свойствам. Она должна быть непрерывной, иметь непрерывную производную по координате, быть однозначной и ограниченной. Волновая функция определена с точностью до фазового множителя exp ( i  ), где  – произвольное вещественное число. Такой множитель не влияет на величину квадрата модуля волновой функции, имеющую физический смысл. Квадрат модуля волновой функции выражается произведением: ( Звездочка означает комплексное сопряжение.) Поэтому условие нормировки волновой функции может быть записано как: В области, где потенциальная энергия бесконечна, волновая функция должна быть равной 0. Из свойства непрерывности, она должна обращаться в 0 на границе такой области.

Изображение слайда
11

Последний слайд презентации: 6. 4. Волновая механика Шредингера. Уравнение Шредингера для волновой функции

11 Поскольку уравнение Шредингера линейно, можно сформулировать следующий принцип суперпозиции : если система может находиться в нескольких состояниях, описываемых волновыми функциями , то она может находиться и в состоянии с волновой функцией , где с k – произвольные коэффициенты. Итак, два основных положения (постулата) квантовой механики «в координатном представлении» можно кратко изложить следующим образом: Состояние квантовомеханической системы характеризуется волновой функцией   в конфигурационном пространстве. Волновая функция  подчиняются уравнению Шредингера Оставшиеся два основных положения связывают волновые функции с наблюдаемыми физическими величинами.

Изображение слайда