Презентация на тему: Вычисление определенных интегралов

Реклама. Продолжение ниже
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Интерполяционные многочлены, используемые для вычисления определенных интегралов.
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Метод трапеций
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Метод Симпсона
Сравнение методов
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
Вычисление определенных интегралов
1/17
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 37)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (163 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Вычисление определенных интегралов

Актуальность задачи Постановка задачи Численные методы решения задачи Примеры для сравнения методов

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2

x 0 =a x 1 x 3 x 2 x n = b f(x) x i x n–1 x i+1 x · · · · · · · · · · · · y 0 y 1 y 2 y 3 y i–1 y i y i+1 y n–1 y n s 0 s 1 s 2 s n-1 s i x i–1 s i-1 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Пусть на отрезке [ a ; b ] определена непрерывная функция f ( x ). Требуется определить значение определенного интеграла которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f ( x ) и осью x, на заданном отрезке [ a ;  b ]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отре -зок [ a ; b ] на n равных элементарных отрезков точками: x 0 =a, x 1 = a +h, x 2 =x 1 +h,…,x i =x i–1 +h,…, x n =b, – шаг разбиения. Значение функции f ( x ) в точках разбиения x i обозначим через y i.

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h : S = s 0 + s 1 + s 2 +… s i +…..+ s n –1 Произвольную площадь s i можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [ x i ; x i +1 ] от более простой функции φ i ( x ), которой заменим реальную функцию f ( x ). В качестве φ( x ), используем интерполяционный многочлен степени m. Вид функции φ i ( x ) будет определять название метода.

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4: Интерполяционные многочлены, используемые для вычисления определенных интегралов

Если m =0, функция принимается постоянной на отрезке – методы прямоугольников Если m =1, полином первой степени – метод трапеций Если m =2, полином второй степени – метод Симпсона (метод парабол)

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5

Методы п р я м о у г о л ь н и к о в Значение функции φ i ( x ) на отрезке [ x i ; x i +1 ] принимается константой Метод п р я м о у г о л ь н и к о в в п е р е д. Метод п р я м о у г о л ь н и к о в н а з а д. Метод п р я м о у г о л ь н и к о в в с р е д н е м. и значение функции Тогда значения элементарной s i и общей S площади можно вычислить как: Для функции φ i ( x ) = y i +1 (правой границе) значения элементарной s i и общей S площади можно вычислить как: Для функции φ i ( x ) = y i ( левой границе отрезка ) значения элементарной s i и общей S площади можно вычислить как:

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

Методы прямоугольников. ВПЕРЕД НАЗАД ПО СРЕДНЕМУ 6 x=a:h:b-h; S=h*sum (f (x)); x=a+ h: h: b; S=h*sum (f (x)); x=a+h/2:h:b; S=h*sum (f (x));

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

Функцию φ i ( x ) будем определять как линейную ( m =1) на отрезке [ x i ; x i +1 ], т.е. ее график должен проходить через две смежные точки ( x i, y i ) и ( x i +1, y i +1 ). Функцию φ i ( x ) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам ( x i, y i ) и ( x i +1, y i +1 ): Метод т р а п е ц и й тогда значения элементарной s i площади можно вычислить как: Введем переменную Тогда x = x i + h · t и dx = h · dt. Значениям x, равным x i, x i +1 соответствуют значения t, равные 0, 1. Значение ( x - x i ) = x i – x i + h · t = h · t. Значение ( x - x i +1 ) = x i – x i +1 + h · t = h ( t -1). Элементарную площадь s i с использование новой переменной определим как:

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9: Метод трапеций

x=a :h :b -h; S=h*sum((f(x)+f(x+h))/2); x=a :h :b; S=h* trapz ( f (x));

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10

Метод С и м п с о н а ( метод п а р а б о л ) Определим точку x i+½ = x i +½ · h в середине элементарного отрезка [ x i ; x i +1 ] и значение функции в этой точке y i+½ Функцию φ i ( x ) будем определять как квадратичную на отрезке [ x i ; x i +1 ], т.е. её график должен проходить через три смежные точки ( x i, y i ),( x i + ½, y i + ½ ) и ( x i +1, y i +1 ). Функцию φ i ( x ) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам x i, x i + ½ и x i +1 : Тогда значения элементарной s i площади можно вычислить как:

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

Введем переменную тогда x = x i + h · t и dx = h · dt. Значение ( x - x i ) = x i – x i + h · t = h · t. Значение ( x - x i + ½ ) = x i – x i + ½ + h · t = h(t- ½) Значениям x, равным x i, x i + ½, x i +1 соответствуют значения t, равные 0, ½,1 Элементарную площадь s i с использование новой переменной определим как: Значение ( x - x i +1 ) = x i – x i +1 + h · t = h ( t -1)

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12

Тогда значения общей S площади можно вычислить как:

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13: Метод Симпсона

x=a +h :h :b -h; xs=a+h/2:h:b; S=h/6*(f(a)+f(b)+2*sum(f(x))+4*sum(f(xs))); S=quad ( f, a, b);

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14: Сравнение методов

Пример. Вычислить значение интеграла всеми рассмотренными методами при n=2 S=

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16

Изображение слайда
1/1
17

Последний слайд презентации: Вычисление определенных интегралов

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже