Презентация на тему: Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы

Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы.
Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы.
Виды тригонометрических уравнений по способу их решения
Простейшие тригоном. уравнения и сводящиеся к ним
Пример.
Основание - теорема (о разложении на множители) f(x)g(x)=0 (1)
Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы.
2. Разложение на множители (вынесение общ. множителя, группировка, тож-ва сокращ. умн.)
Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы.
4 sin2x+3cos2x=5 1 способ. Введение вспомогательного угла (преобразование к виду одной тригонометрической функции)
4 sin2x+3cos2x=5 2 способ. Сведение к однородному.
4 sin2x+3cos2x=5
4 sin2x+3cos2x=5
4 sin2x+3cos2x=5
Уравнения, в процессе решения которых используется метод оценки.
sinx+cosx=2
Использование алгебраических фактов(сумма квадратов равно 0, только если каждое слагаемое равно 0; формулы сокращенного умножения)
Специальные приёмы
Обратные тригонометрические функции
Уравнения, содержащие переменную под знаком аркфункции.
II Уравнения, способ решения которых основан на нахождении значений тригонометрических функций от обеих частей уравнения
Пример. arcsin x 2 – arccos x = 0
Пример. arcsin2x+arcsinx= π /3
Пример. arcsin2x+arcsinx= π /3.
III способ решения. Берут любую удобную функцию от обеих частей уравнения с последующей проверкой.
III У равнения, сводимые к простейшим алгебраически и с помощью основных формул аркфункций.
V Уравнения, решаемые графически.
Неравенства, содержащие переменную под знаком аркфункции.
1/28
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 47)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (304 Кб)
1

Первый слайд презентации: Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы

Изображение слайда
2

Слайд 2

Цели. Неформальное усвоение, систематизация, переформулировка, установление связей, умение выделять структуру – развитие мат. культуры.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Виды тригонометрических уравнений по способу их решения

Простейшие тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним или их совокупностям. Триг. ур-ния, сводящиеся к алгебраическим относительно триг. функции : а) к квадратным (степенным), б)однородные; в) универсальная подстановка. Уравнения вида asinx+bcosx=c (a,b,c є R,a≠0,b≠0) и сводящиеся к ним. Уравнения, в процессе решения которых используются свойства тригонометрических функций(метод оценки). Искусственные приёмы Подстановка sinx+cosx=t ; Домножение и решение произведения косинусов удваивающихся аргументов на 2 n sin α ; Дополнение до полного квадрата.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Простейшие тригоном. уравнения и сводящиеся к ним

Способы вывода формул решений простейших тр. ур. С помощью координатной окружности. Графическое решение. Аналитический способ: решить уравнение sinx=a ] (|a|≤1), ]x 0 = α - одно из решений, которое обязательно сущ., т.к. |a|≤1, причём α є [- π /2; π /2] Тогда sin α =a, но sinx=a → sinx=sin α ; sinx-sin α =0; 2sin (x- α )/2 · ·cos (x- α )/2 =0; Примеры уравнений, сводимых к простейшим уравнениям или их совокупностям и системам. Произведение (частное)=0

Изображение слайда
5

Слайд 5: Пример

Вывод: если ОДЗ сомножителей не совпадают, то есть опасность неравносильного перехода к совокупности уравнений

Изображение слайда
6

Слайд 6: Основание - теорема (о разложении на множители) f(x)g(x)=0 (1)

Изображение слайда
7

Слайд 7

Решение. !!! Система должна быть с разными индексами.

Изображение слайда
8

Слайд 8: 2. Разложение на множители (вынесение общ. множителя, группировка, тож-ва сокращ. умн.)

2.а. ) с использованием тригонометрической единицы (2 sinx-cosx ) (1+cosx)=sin 2 x (1+cosx) (2 sinx - cosx -1 + cosx ) = 0; !!! Совокупность тр.ур. может быть с одинаковыми индексами!!! 2. b.) c использованием формул суммы и разности : sin π x 2 = sin π (x 2 +2x) sin π x 2 -sin π (x 2 +2x) =0; 2cos π (x 2 +x) sin π x=0; 3+4n ≥ 0; n ≥ -¾ → n є N U{0} Ответ. { l ; n є NU{0};l є Z } !!! Совокупность тр.ур. иногда должна быть с разными индексами !!! !для решения уравнений вида sinx=cosx используются формулы приведения!

Изображение слайда
9

Слайд 9

2. c.) использование преобразования произведения в сумму: cos3xcos6x=cos4xcos7x ответ. { π k/10,k є Z } tg(x 2 -x)ctg2=1 (2 способа ) ответ. 2со s3x/2cosx/2=a ; ответ. [-9/8;0];{ ±arccos } 2. d.) использование формул понижения степени. sin 2 x+ sin 2 2x= sin 2 3x + sin 2 4x

Изображение слайда
10

Слайд 10: 4 sin2x+3cos2x=5 1 способ. Введение вспомогательного угла (преобразование к виду одной тригонометрической функции)

a sin у +b cosy = a=4; b=3 → √25sin(2x+arcsin3/5)=5; Ответ.

Изображение слайда
11

Слайд 11: 4 sin2x+3cos2x=5 2 способ. Сведение к однородному

4 ·2 sinxcosx+3(cos 2 x-sin 2 x)-5(cos 2 x+sin 2 x)=0; 4sinxcosx-4sin 2 x-cos 2 x=0 - (*) - однородное уравнение 2 степени ]sinx=0, тогда из ур-ния(*): cosx=0, чего при одном и том же х быть не может(из основного тригонометрического тождества) → →поделим на sin 2 x≠0 : ctg 2 x-4ctgx+4=0; (ctgx-2) 2 =0; ctgx=2; Ответ. х = arcctg2+ π n, n є Z

Изображение слайда
12

Слайд 12: 4 sin2x+3cos2x=5

3 способ. Возведение в квадрат. 4 sin2x=5-3cos2x| 2 ; 16sin 2 2x=25-30cos2x+9cos 2 2x; 16-16cos 2 2x=25-30cos2x+9cos 2 2x; 25cos 2 2x-30cos2x+9=0; (5cos2x-3) 2 =0; cos2x=3/5; !!! Проверка!!! (при возведении в квадрат- взятии неинъективной функции на объединении ОЗ правой и левой частей уравнения - могли появиться лишние корни) ] ] Ответ.

Изображение слайда
13

Слайд 13: 4 sin2x+3cos2x=5

4 способ. Универсальная подстановка. х = arctg1/2+ π k,k є Z. !!!Проверка!!! (при тождественном преобразовании, сужающим ОДЗ, можно потерять корни, не вошедшие в новое ОДЗ) ] х= π /2+ π k; 4 sin2( π /2+ π k )+3cos2( π /2+ π k )=4sin π +3cos π =0-3≠5

Изображение слайда
14

Слайд 14: 4 sin2x+3cos2x=5

Ответ. или или х = arcctg2+ π n, n є Z или x = arctg1/2+ π k, k є Z.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Уравнения, в процессе решения которых используется метод оценки

Использование МЗФ b) 5 sinx = 13-7cosx 6 с os 2 5x – 5 cosx + 5 = 0 ; 6с os 2 5x = 5(cosx-1); 6с os 2 5x ≥0 ; cosx-1 ≤0; Ответ. Корней нет. Использование монотонности тригонометрических функций sinx = 2sin47 0 cos44 0 sin47 0 >sin 45 0, cos 44 0 >cos45 0 ; 2sin47 0 cos44 0 > 2sin45 0 cos45 0 =1; корней нет.

Изображение слайда
16

Слайд 16: sinx+cosx=2

1способ. Использование ограниченности функций. |sinx| ≤1 |cosx| ≤1 sinx+cosx ≤ 2 !!!Используется не столько МЗФ, сколько ограниченность Ответ. Корней нет. 2 способ. Использование МЗФ. Оценим модуль левой части при помощи введения вспомогательной переменной: 3 способ. Поиск наибольшего(наименьшего) значения с помощью производной. у ' = cosx-sinx =0 |:cosx≠0; tgx=1;x= π /4+ π n,n є Z T(sinx,cosx)=2 π → x= π /4; 5 π /4. y(0)=1;y(2 π )=1; y( π /4)=√2; y(5 π /4)= - √2 у наиб. = √2, т.е. sinx+cosx ≤ 2. Ответ. Корней нет.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Использование алгебраических фактов(сумма квадратов равно 0, только если каждое слагаемое равно 0; формулы сокращенного умножения)

ОДЗ: cosx ≠0 Графически или аналитически Ответ. {- π /3+ π k|k=2n,k,n є Z }

Изображение слайда
18

Слайд 18: Специальные приёмы

Подстановка sinx ±cosx=t, тогда Для уравнений, содержащих сумму(разность) и произведение sin(cos) одинаковых углов. !!! Иногда в правило подстановки включают ограничения на переменную t: |t| ≤ √2 !!! Пример. sinx+cosx-sinxcosx=0 ; sinx +cosx=t, тогда t 2 = 1+2sinxcosx; Тогда t- =0|·2; -2t-1+t 2 =0; t 2 -2t -1 = 0; sinx +cosx= 1-√2 – введение вспомогательной переменной. Ответ.

Изображение слайда
19

Слайд 19: Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа р называется число из промежутка [ - π /2; π /2 ], синус которого равен р, если рє [-1;1] Основные формулы. sin(arcsin a)=a, … а rcsin(sin a)=a, если a є [ - π /2; π /2 ], … arcsin(-a)= - arcsin a, arctg(-a)=-arctg a, arccos(-a)= π - arccos a, arcctg(-a)= π - arcctg a, arcsin a+ arccos a= π /2, arctg a+ arcctg a = π /2

Изображение слайда
20

Слайд 20: Уравнения, содержащие переменную под знаком аркфункции

I Простейшие уравнения, решаемые по определению. Пример. arcsin 2x = 2 π /3 Решение. (стандартное) ООФ : |2x|≤1, |x≤½| По определению 2x = sin 2 π /3; 2x = √3/2; x= √3/4 ≈0,4 є ООФ Ответ. √3/4 Решение. (правильное) МЗФ: лев.ч.: arcsin 2x є [ - π /2; π /2 ], 2 π /3 є( π /2; 3 π /2 ). Ответ. Корней нет.

Изображение слайда
21

Слайд 21: II Уравнения, способ решения которых основан на нахождении значений тригонометрических функций от обеих частей уравнения

Основные этапы решения. Найти ОДЗ, как пересечение ООФ левой и правой частей уравнения. Найти объединение МЗФ левой и правой частей уравнения с учётом ОДЗ. Выбрать тригонометрическую функцию, монотонную на объединении МЗФ левой и правой частей уравнения. Взять выбранную функцию от обеих частей уравнения. P.S. Если нет функции, монотонной на объединении МЗФ левой и правой частей уравнения, то сделать проверку; можно попробовать преобразовать уравнение при помощи переноса слагаемых из одной части в другую или деления на число и т.д.

Изображение слайда
22

Слайд 22: Пример. arcsin x 2 – arccos x = 0

ОДЗ : МЗ : 0 ≤ arcsin x 2 ≤ π /2 - π ≤ - arccos x ≤ 0 - π ≤ arcsin x 2 – arccos x ≤ π /2 - нет таких промежутков монотонности → преобразуем уравнение arcsin x 2 = arccos x 1. ОДЗ : 2. МЗ 2 : (0 ≤ arcsin x 2 ≤ π /2 ; 0 ≤ arccos x ≤ π ) → МЗ 2 = (0 ; π ) → у= cos α – монотонна на (0 ; π ). 3. со s( arcsin x 2 )=cos( arccos x), ] arcsin x 2 =t, sin t = x 2, t є (0 ; π /2 ) с учётом огр. ответ.

Изображение слайда
23

Слайд 23: Пример. arcsin2x+arcsinx= π /3

ОДЗ: - 1 ≤ 2х ≤ 1; - ½ ≤ х ≤ ½ МЗ: - π /6 ≤ arcsin x ≤ π /6 - π /2 ≤ arcsin 2x ≤ π /2 - 2 π /3 ≤ arcsin 2x + arcsin x ≤ 2 π /3 - нет таких промежутков монотонности → Преобразование уравнения → I способ решения : arcsin2x = π /3 – arcsinx Л.ч.: - π /2 ≤ arcsin 2x ≤ π /2 ; Пр.ч.: - π /6 ≤ - arcsin x ≤ π /6; |+ π /3 π /6 ≤ π /3 - arcsin x ≤ π / 2 ; МЗ: [- π /2; π /2 ]- промежуток монотонности функции у = sin x → ответ

Изображение слайда
24

Слайд 24: Пример. arcsin2x+arcsinx= π /3

Более строгая оценка области изменения аргумента → II способ решения Д.у.: аркфункции отличаются только растяжением вдоль оси ОХ → либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. → их сумма может быть положительна только при положительном аргументе : х≥0; 0 ≤ х ≤ ½ ; → 0 ≤ arcsin x ≤ π /6 ; 0 ≤ arcsin 2x ≤ π /2 0 ≤ arcsin 2x + arcsin x ≤ 2 π / 3; МЗ: [ 0 ; π ]- промежуток монотонности функции у = co s x → - π /2 - π /2 π /2 π /2 - ½ ½ -1 1 у= arcsinx у= arcsin 2 x

Изображение слайда
25

Слайд 25: III способ решения. Берут любую удобную функцию от обеих частей уравнения с последующей проверкой

Проверка.

Изображение слайда
26

Слайд 26: III У равнения, сводимые к простейшим алгебраически и с помощью основных формул аркфункций

Пример. а rccosx - arcsinx = π /6 ОДЗ: |x| ≤1 ( π /2- arcsinx) - arcsinx = π /6 ; 2 arcsinx = π /2- π /6 ; Arcsinx = π /6; x=1/2. IV Уравнения, решаемые методом оценки Пример. 3 arccos(7x-1)+2arctg(x+8)= 2arcsin(-1) = 2· (- π /2)=- π 0 ≤ 3 arccos(7x-1) ≤ 3 π 2 · (- π /2) < 2arctg(x+8) < 2 · π /2 - π < 3 arccos(7x-1)+2arctg(x+8) <4 π !!! Строгие неравенства Ответ. Корней нет.

Изображение слайда
27

Слайд 27: V Уравнения, решаемые графически

Пример. 3 arcsinx + π x – π = 0; 3 arcsinx = - π x + π ; ] x = ½: 3 arcsin ½ + π ·½ – π = = 3 π /6+ π /2– π = 0 3 π /2 - 3 π /2 1 -1 y= π - π x y= 3 arcsinx π ½

Изображение слайда
28

Последний слайд презентации: Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы: Неравенства, содержащие переменную под знаком аркфункции

Проверку сделать невозможно → один из выходов – метод интервалов. Пример. а rcsin2x + arcsinx < π /3; ОДЗ: - ½ ≤ х ≤ ½ а rcsin 2x + arcsin x - π /3 <0 ; а rcsin 2x + arcsin x - π /3 =0 ; ; ] x = 0 → arcsin 0 + arcsin 0 - π /3 = 0 + 0 - π /3 < 0. Ответ. [ - ½; ) ½ - ½ - +

Изображение слайда