Презентация на тему: Теория вероятности

Теория вероятности
Содержание презентации
Независимые повторные испытания.
Независимые повторные испытания.
Независимые повторные испытания.
Независимые повторные испытания.
Независимые повторные испытания.
Формула Бернулли.
Формула Бернулли.
Формула Бернулли
Формула Бернулли
Независимые повторные испытания.
Наивероятнейшее число появлений события.
Наивероятнейшее число появлений события.
Наивероятнейшее число появлений события.
Наивероятнейшее число появлений события.
Наивероятнейшее число появлений события.
Наивероятнейшее число появлений события.
Независимые повторные испытания.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Локальная теорема Лапласа.
Независимые повторные испытания.
Интегральная теорема Лапласа
Интегральная теорема Лапласа
Интегральная теорема Лапласа
Независимые повторные испытания.
Формула Пуассона.
Формула Пуассона.
Формула Пуассона.
Формула Пуассона.
Независимые повторные испытания. Схема.
1/38
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 73)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (274 Кб)
1

Первый слайд презентации: Теория вероятности

Независимые повторные испытания.

Изображение слайда
2

Слайд 2: Содержание презентации

Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Независимые повторные испытания. Схема.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Независимые повторные испытания

Изображение слайда
4

Слайд 4: Независимые повторные испытания

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми повторными испытаниями. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Независимые повторные испытания

Примеры: Подбрасываем игральный кубик n раз. Выпадение числа очков от 1 до 6 происходит с вероятностью 1/6 в каждом из испытаний; Приобретаем n лотерейных билетов. Для каждого из лотерейных билетов вероятность выигрыша есть величина постоянная; Подбрасывается n раз монета. Выпадение орла или решки происходит с вероятностью ½ в каждом испытании. Пример 1 и примеры 2,3 отличаются друг от друга тем, что в первом примере возможно появление 6-ти событий, а во втором и третьем – появление только 2-х событий: выиграл - не выиграл, орел – решка, т.е. условно можно назвать такие исходы «успех – неуспех». Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Независимые повторные испытания

Независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно появление события А (успех) с постоянной вероятностью p или непоявление события А (неуспех) с постоянной вероятностью q=1-p, называются испытаниями Бернулли или схемой Бернулли. Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705).

Изображение слайда
7

Слайд 7: Независимые повторные испытания

Формула Бернулли.

Изображение слайда
8

Слайд 8: Формула Бернулли

Пусть производится n испытаний Бернулли. Вероятность того, что в этих испытаниях событие А произойдет ровно m раз можно найти по формуле Бернулли: n – число испытаний p – вероятность появления события А в одном испытании q - вероятность непоявления события А в одном испытании Р n (m) – вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n испытаниях

Изображение слайда
9

Слайд 9: Формула Бернулли

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии в течении четырех суток не превысит норму. Решение. Обозначим А- расход не превысит норму. По условию n = 7, m = 4, p = P(A) = 0.75. По формуле Бернулли: Ответ: вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии в течении четырех суток не превысит норму равна 0,1969

Изображение слайда
10

Слайд 10: Формула Бернулли

Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одному из них 2 партии из 4-х или 3 партии из 6-ти? Решение. Найдем вероятность выиграть одному из них 2 партии из 4-х: n=4, m=2, p=1/2, q=1/2. По формуле Бернулли: 2) Найдем вероятность выиграть одному из них 3 партии из 6-ти: n= 6, m= 4, p=1/2, q=1/2. По формуле Бернулли: Сравним полученные результаты: т.к. 3/8 > 5/16, то вероятнее выиграть одному из них 2 партии из 4-х.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Формула Бернулли

Пример. Две электрические лампочки включены в цепь параллельно. Вероятность того, что при некотором повышении напряжения в цепи выше номинального перегорит только одна лампочка, равна 0,18. найти вероятности перегореть для каждой из этих лампочек, если известно, что эти вероятности превосходят 0,7 и равны между собой. Решение. Испытание состоит в проверке работы электрической лампочки. Общее число испытаний n = 2. А – при повышении напряжения лампочка не перегорит. По условию P 2 (1)=0, 18. Требуется найти вероятность р наступления события А в каждом испытании. Это уравнение имеет два корня: р=0,9 и р=0,7. По условию р > 0,7. Поэтому р=0,7 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: Вероятность того, что каждая из лампочек не перегорит р=0,9.

Изображение слайда
12

Слайд 12: Независимые повторные испытания

Наивероятнейшее число появлений события.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Наивероятнейшее число появлений события

Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных. Решение. Вероятность изготовления бракованной детали Р = 1 - 0,8 = 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли: P 5 (0)=0,32768; P 5 (3)=0,0512; P 5 (1)=0,4096; P 5 (4)= 0,0064; P 5 (2)= 0,2048; P 5 (5)=0,00032. Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами ( m, P n (m) ). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей.

Изображение слайда
14

Слайд 14: Наивероятнейшее число появлений события

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей мы видим, что есть такие значения m (в данном случае, одно - m 0 =1), обладающие наибольшей вероятностью Р n (m). 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 m 0 P n (m)

Изображение слайда
15

Слайд 15: Наивероятнейшее число появлений события

Число m 0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Р n ( m 0 ) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Р n (m) при любом m. Для нахождения m 0 используется двойное неравенство: n • p - q ≤ m 0 ≤ n • p + p

Изображение слайда
16

Слайд 16: Наивероятнейшее число появлений события

Так как наивероятнейшее число может быть только целым, то: Если границы дробные, то m 0 может принимать только одно значение; Если границы целые, то m 0 может принимать два значения, равные граничным. Тогда для определения наивероятнейшего числа нужно сравнить вероятности на границах.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Наивероятнейшее число появлений события

Пример. В результате многолетних наблюдений вероятность дождя 21 июля в городе N составляет 0,3. Найти наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет. Решение. По условию: p=0.3, q=0.7, n=30. n ∙ p - q ≤ m 0 ≤ n ∙ p + p 0.3 ∙ 30 – 0.7 ≤ m 0 ≤ 0.3 ∙ 30 + 0.3 8.3 ≤ m 0 ≤ 9.3 m 0 = 9 Ответ: наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет равно 9. Т.е. вероятнее всего 9 раз за 30 лет 21 июля будет дождливым.

Изображение слайда
18

Слайд 18: Наивероятнейшее число появлений события

Пример. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10? Решение. По условию: p= 1/6, q= 5/6, m 0 = 10. n ∙ p-q ≤ m 0 ≤ n ∙ p+p n ∙1/6 – 5/6 ≤ 10 ≤ n ∙1/6 + 1/6 (умножим на 6) n -5 ≤ 60 ≤ n +1 (запишем в виде двух неравенств) n -5 ≤ 60 n ≤ 65 n+1 ≥ 60 n ≥ 59 Следовательно, 59 ≤ n ≤ 65. Ответ: чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10, игральную кость необходимо подбросить 59, 60, 61, 62, 63, 64 или 65 раз.

Изображение слайда
19

Слайд 19: Независимые повторные испытания

Локальная теорема Лапласа.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n = 50, m = 30, р=0,1, то для отыскания вероятности P 30 (50) надо вычислить выражение Нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Изображение слайда
21

Слайд 21: Локальная теорема Лапласа

Лаплас Пьер Симон (23.03.1749 - 05.03.1827), Нормандия "То, что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, что мы не знаем".

Изображение слайда
22

Слайд 22: Локальная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р n ( m ) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) где

Изображение слайда
23

Слайд 23: Локальная теорема Лапласа

Замечание. Для частного случая, а именно для р=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром. В 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа. Абрахам де Муавр (26.05.1667 – 27.11.1754), Франция. По легенде, Муавр точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он легко вычислил, когда она достигнет 24 часов, и, как всегда, не ошибся.

Изображение слайда
24

Слайд 24: Локальная теорема Лапласа

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы составлена таблица значений функции. Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции : 1. Функция является четной, т.е.. 2. Функция — монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при (Практически можно считать, что уже при х > 5 ). Теорему Муавра-Лапласа применяют при n ∙ p ∙ q ≥ 10.

Изображение слайда
25

Слайд 25: Локальная теорема Лапласа

Пример. Вероятность выхода из строя кодового замка в течение месяца равна 2%. Какова вероятность того, что в партии из 600 замков, установленных фирмой, 20 замков выйдут из строя в течение месяца. Решение. По условию n=600, m=20, p=0.02, q=0.98. Нужно найти Р 600 (20). n ∙ p ∙ q=600 ∙ 0.02 ∙ 0.98=11.76, следовательно, локальную теорему Лапласа можно применять. ; ; по таблице найдем ; .

Изображение слайда
26

Слайд 26: Локальная теорема Лапласа

( npq=64, x=0, φ (0) ≈ 0,3989, ) Локальная теорема Лапласа. Задача. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. Задача. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз. ( npq =1.875, x =0.36, φ ( 0.36 ) ≈ 0,3739, ) Если решать эту задачу с помощью формулы Бернулли, то результат будет несколько иным: Р 10 (8) ≈ 0,282. Такое расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере n имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях n ).

Изображение слайда
27

Слайд 27: Локальная теорема Лапласа

npq = 400 ∙ 0,8∙ (1—0,8) = 64 > 10, следовательно можно применять локальную формулу Муавра—Лапласа. ; ; По таблице найдем ; . Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники. Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8; n = 400, m = 300, q = 0,2.

Изображение слайда
28

Слайд 28: Локальная теорема Лапласа

Пусть в условиях предыдущего примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события: В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра—Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется интегральная теорема Лапласа.

Изображение слайда
29

Слайд 29: Независимые повторные испытания

Интегральная теорема Лапласа

Изображение слайда
30

Слайд 30: Интегральная теорема Лапласа

Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна где

Изображение слайда
31

Слайд 31: Интегральная теорема Лапласа

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. Свойства функции Ф(х) : Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при (практически можно считать, что уже при х > 5 Ф(х) ≈ 0,5). Интегральную теорему Лапласа применяют при n ∙ p >10. Для функции Лапласа также имеются статистико-математические таблицы.

Изображение слайда
32

Слайд 32: Интегральная теорема Лапласа

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. Решение. р = 80/100 = 0,8; n = 400, q = 0,2, a = 300, b = 360. np = 0.8 ∙ 400 = 320 > 10, значит, можно применить интегральную теорему Лапласа. ;. Ф (-2,5)= -Ф (2,5) ≈ -0,4938, Ф (5) ≈ 0,499997; . Ответ: вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники равна 0,993793.

Изображение слайда
33

Слайд 33: Независимые повторные испытания

Формула Пуассона.

Изображение слайда
34

Слайд 34: Формула Пуассона

Если число независимых испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании отлична от 0 и 1 и мала ( p – близка к 0), так что n ∙ p ≤ 10, то для вычисления вероятности появления события k раз применяют формулу Пуассона. Пуассон Симеон (21.06.1781 - 25.04.1840) Французский учёный, член Парижской АН, почётный член Петербургской АН. Труды Пуассона относятся к теоретической и небесной механике, математике и математической физике.

Изображение слайда
35

Слайд 35: Формула Пуассона

Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз приближенно равна где Формулу Пуассона можно применять при λ ≤ 10. Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.

Изображение слайда
36

Слайд 36: Формула Пуассона

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета? Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Так как р = 1/365 — мала, n = 1825 — велико и λ = n р = 1825 • (1/365 ) = 5 < 10, то применяем формулу Пуассона: По таблицам можно точнее и быстрее найти Р( m, λ ). Так для данного примера P 1825 (4) = P(m, λ ) = P(4,5) ≈ 0.17547. Ответ: вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета равна 0, 17547.

Изображение слайда
37

Слайд 37: Формула Пуассона

Задача 1. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение 1 ч работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 ч работы устройства придется пять раз менять микросхему? Задача 2. Телефонный коммутатор обслуживает 2000 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить в течение часа равна 0,0025. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на коммутатор: а) три абонента; б) не менее четырех абонентов. (Р 1000 (5) ≈ 0,1563) ( Р 2000 (3) ≈ 0,1404 )

Изображение слайда
38

Последний слайд презентации: Теория вероятности: Независимые повторные испытания. Схема

Независимые повторные испытания n невелико, р (или q) не очень мало n велико, р (или q) не очень мало n велико, р (или q) очень мало Формула Бернулли Формула Лапласа Формула Пуассона Таблица для φ ( x) Таблица функции Пуассона

Изображение слайда