Презентация на тему: Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика
http://study.sfu-kras.ru
Электронный курс
Пособия
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Рекомендуемая литература
Полезные ссылки
Промежуточный контроль 75%
Введение в теорию вероятностей
Введение в теорию вероятностей
Введение в теорию вероятностей
Введение в теорию вероятностей
Статистическое определение вероятности
Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Пример
Формулы комбинаторики
Число перестановок
Число перестановок
Формулы комбинаторики
Выбор с возвращением
Выбор с возвращением
Выбор без возвращения
Число размещений
Выбор без возвращения
Число сочетаний
Число сочетаний
Число разбиений на группы
Число разбиений на группы
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Элементарные исходы
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример
Дискретное пространство
События в дискретном пространстве Ω
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Элементарные события
Пример
Определения
Пример
Комбинации событий
Сумма (объединение) событий
Пример
Произведение (пересечение) событий
Пример
Разность событий
Пример
Противоположное событие
Пример
Свойства операций над событиями
Теория вероятностей и математическая статистика
Вероятность в классическом пространстве
Пример
Решение (продолжение)
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание.
Проблема!
Аксиоматическое определение вероятности
Свойства вероятности
Проблема!
 – алгебра
Пример
Аксиоматика Колмогорова
Геометрическое вероятностное пространство
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример
Пример
Пример (Задача о встрече)
Решение
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача Бюффона
Решение
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
1/83
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 65)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (897 Кб)
1

Первый слайд презентации: Теория вероятностей и математическая статистика

Введение в теорию вероятностей ЛЕКЦИЯ 1

Изображение слайда
2

Слайд 2: http://study.sfu-kras.ru

Электронные курсы СФУ Институт Экономики, управления и природопользования Теория вероятностей и математическая статистика ( лектор Т.В. Крупкина) Кодовое слово: hronop Лекции для потока 1

Изображение слайда
3

Слайд 3: Электронный курс

Изображение слайда
4

Слайд 4: Пособия

Крупкина, Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика (для студентов экономического факультета ): Учеб. пособие. / Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. Красноярск: СФУ, 2008. Крупкина, Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах (для студентов экономического факультета): Учеб. пособие. / Т. В. Крупкина, А.И. Пыжев, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. Красноярск: СФУ, 2008

Изображение слайда
5

Слайд 5

ЭЛЕКТРОННЫЙ КАТАЛОГ НАУЧНОЙ БИБЛИОТЕКИ СФУ:  ЛИТЕРАТУРА ПО ЕСТЕСТВЕННЫМ И ГУМАНИТАРНЫМ НАУКАМ http://liber.lib.sfu-kras.ru/phpopac/elcat.php Сделать поиск по фамилии Крупкина.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Изображение слайда
7

Слайд 7

Изображение слайда
8

Слайд 8

Эконометрика : электронный учеб.-метод. комплекс : [авт. ред.] : Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. П особие Эконометрика : электронный учеб.-метод. комплекс : [авт. ред.] : Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах : учеб. пособие

Изображение слайда
9

Слайд 9: Рекомендуемая литература

Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск: Вышейш. шк., 1989. 285 с. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ИНФРА-М, 2000. Крупкина Т.В., Гречкосеев А. К. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие. Краснояр.гос. ун –т; Красноярск, 1999. 216 с.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Полезные ссылки

http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/5.asp http://teoriaver.narod.ru/ http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/lec.html

Изображение слайда
11

Слайд 11: Промежуточный контроль 75%

Контрольная «Теория вероятностей» : 7 – 12 апреля ( 2 0%) Контрольная «Математическая статистика» : 19 – 24 мая ( 20 %) Домашние задания: ( 20 %) Лабораторная работа по мат. статистике, срок сдачи до 1 июня ( 15 %)

Изображение слайда
12

Слайд 12: Введение в теорию вероятностей

Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, то есть разработка и применение математического аппарата для изучения явлений, имеющих случайную природу. Как самостоятельная наука, теория вероятностей была заложена в письмах Паскаля к Ферма в 1654г. В это время шевалье де Мере задал Паскалю два вопроса, касающиеся азартных игр.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Введение в теорию вероятностей

Первая задача шевалье де Мере : сколько раз необходимо подбросить две игральные кости, чтобы вероятность выпадения двух шестерок была больше половины? Вторая задача : два игрока играют в азартную игру до n выигрышей. Как следует разделить между ними ставку, если игра прервана, когда первый игрок выиграл a, а второй b партий?

Изображение слайда
14

Слайд 14: Введение в теорию вероятностей

В настоящее время теория вероятностей служит основой для анализа тех явлений окружающего мира, которым свойственна «изменчивость», и проявление которых не определяется однозначно условиями проводимых наблюдений.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Введение в теорию вероятностей

Вопрос о применимости вероятностных и статистических методов является непростым. Главным обстоятельством, которое определяет границы применимости теории вероятностей, является наличие у изучаемых явлений свойства «статистической устойчивости».

Изображение слайда
16

Слайд 16: Статистическое определение вероятности

Пусть рассматриваемый опыт можно повторять многократно, и пусть N – число всех повторений опыта, а N (А) – число тех из них, в которых осуществлялось событие А. Отношение N (А) /N называется частотой события А в данной серии испытаний.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Статистическое определение вероятности

Практика показывает, что для многих событий частота при больших п мало меняется, колеблясь около некоторого постоянного значения P *, которое можно назвать статистической вероятностью события А,

Изображение слайда
18

Слайд 18: Классическое определение вероятности

Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом n всевозможных взаимоисключающих друг друга исходов, которые являются равновозможными. Пусть А – некоторое событие, связанное с этим исходом. Вероятность P ( A ) можно определить, как долю тех исходов, в результате которых это событие осуществляется.

Изображение слайда
19

Слайд 19: Классическое определение вероятности

Пусть n – число всех исходов, n ( A ) – число благоприятных исходов, в результате которых осуществляется событие A. Классическое определение вероятности

Изображение слайда
20

Слайд 20: Пример

В урне 2 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад 1 шар. Найти вероятность, что вынут белый шар. Решение:

Изображение слайда
21

Слайд 21: Формулы комбинаторики

Число перестановок Число перестановок из n элементов равно

Изображение слайда
22

Слайд 22: Число перестановок

Пример 1 Сколько существует способов расставить на полке 10 различных книг? Ответ : 10!

Изображение слайда
23

Слайд 23: Число перестановок

Пример 2 Сколько существует различных способов распределить 5 задач по пяти вариантам? Ответ : 5 !

Изображение слайда
24

Слайд 24: Формулы комбинаторики

Выбор с возвращением Пусть имеется r групп, причем i – ая группа содержит n i элементов, i = 1, 2,..., r. Число способов, которыми можно выбрать r элементов по одному из каждой группы, равно

Изображение слайда
25

Слайд 25: Выбор с возвращением

В частности, если то

Изображение слайда
26

Слайд 26: Выбор с возвращением

Пример 3 Сколько существует различных способов из цифр 1, 2, …9 составить двузначное число? Ответ: 9 2.

Изображение слайда
27

Слайд 27: Выбор без возвращения

Число размещений С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбрать и разместить по различным местам k из n различных элементов. Формула числа размещений имеет вид:

Изображение слайда
28

Слайд 28: Число размещений

Пример 4 Сколько существует способов составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7, 8 двузначное число с различными цифрами? Решение:

Изображение слайда
29

Слайд 29: Выбор без возвращения

Число сочетаний С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбора из n элементов k, не учитывая порядок элементов в выбранной последовательности. Формула числа сочетаний имеет вид:

Изображение слайда
30

Слайд 30: Число сочетаний

Изображение слайда
31

Слайд 31: Число сочетаний

Пример 5 Сколько существует способов составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7, 8 сократимую дробь, выбирая два числа? Решение:

Изображение слайда
32

Слайд 32: Число разбиений на группы

Число способов, которыми можно разбить n различных элементов на k групп, содержащих соответственно n 1, n 2,…n k элементов, равно Число разбиений на группы

Изображение слайда
33

Слайд 33: Число разбиений на группы

Пример 6 Сколько существует различных способов разделить колоду из 36 карт на 4 равные части? Решение:

Изображение слайда
34

Слайд 34: Пример 7

В урне 2 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад 2 шара. Найти вероятность, что оба шара будут белыми. Решение:

Изображение слайда
35

Слайд 35: Пример 8

В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад 5 шаров. Найти вероятность, что два из них будут белыми, а три – черными. Решение:

Изображение слайда
36

Слайд 36: Пример 9

Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «КНИГА». Найти вероятность того, что, перемешав буквы, и разложив их случайным образом, получим то же самое слово. Ответ:

Изображение слайда
37

Слайд 37: Пример 10

Из букв разрезной азбуки составлено слово «КОЛОБОК». Найти вероятность того, что перемешав буквы, и разложив их случайным образом, получим то же самое слово. Ответ:

Изображение слайда
38

Слайд 38: Элементарные исходы

Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω.

Изображение слайда
39

Слайд 39

Событиями мы будем называть некоторые наборы элементарных исходов, то есть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество.

Изображение слайда
40

Слайд 40: Пример

Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, где элементарное событие i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}.

Изображение слайда
41

Слайд 41: Дискретное пространство

Пространство элементарных исходов назовём дискретным, если оно конечно или счётно. Множество счётно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счётными множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество чётных чисел и т.д. Множество конечно, если оно состоит из конечного числа элементов.

Изображение слайда
42

Слайд 42: События в дискретном пространстве Ω

Определение Произвольные подмножества дискретного пространства элементарных исходов Ω называются событиями. ВАЖНО: Если Ω конечно или счётно, то любое подмножество Ω может являться событием.

Изображение слайда
43

Слайд 43

В пространстве элементарных событий Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } любой набор исходов ─ событие. Например, {1, 3, 4, 5} или { 6 }.

Изображение слайда
44

Слайд 44

Замечание Пустое множество  и все множество  тоже являются событиями. Событие  называется невозможным событием, событие  – достоверным событием.

Изображение слайда
45

Слайд 45: Элементарные события

Достоверное событие  наступает при любом исходе. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда. Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

Изображение слайда
46

Слайд 46: Пример

Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие. Выпадение не более шести очков - достоверное событие. Выпадение от трех до пяти очков - случайное событие.

Изображение слайда
47

Слайд 47: Определения

События называются равными ( A 1 = A 2 ), если множества составляющих их исходов совпадают: События A 1 и A 2 называются несовместными, если их множества элементарных исходов не пересекаются.

Изображение слайда
48

Слайд 48: Пример

Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие C - выпадение нечетного числа очков, C = {1, 3, 5 }. A и C несовместны.

Изображение слайда
49

Слайд 49: Комбинации событий

Рассмотрим комбинации событий, такие, как сумма, произведение, разность и т.д. Поскольку события – это множества исходов, будем использовать соответствующие определения для множеств. Сумма событий соответствует объединению множеств, произведение событий соответствует пересечению множеств и т.д.

Изображение слайда
50

Слайд 50: Сумма (объединение) событий

Суммой или объединением событий A 1 и A 2 называют событие A, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A 1 или A 2 Аналогично определяется Сумма (объединение) событий A 1 A 2 

Изображение слайда
51

Слайд 51: Пример

Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}. Событие A + B = {2, 4, 5, 6} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B.

Изображение слайда
52

Слайд 52: Произведение (пересечение) событий

Произведением или пересечением событий A 1 и A 2 называют событие A, состоящее в осуществлении и события A 1 и события A 2 Аналогично определяется A 2 A 1  Произведение (пересечение) событий

Изображение слайда
53

Слайд 53: Пример

В условиях предыдущего примера: Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}. Событие A B = {6} состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошло и событие A, и событие B.

Изображение слайда
54

Слайд 54: Разность событий

Разностью событий A 1 и A 2 называют событие A, состоящее в том, что событие A 1 осуществилось, а событие A 2 – нет. A 2 A 1  Разность событий

Изображение слайда
55

Слайд 55: Пример

В условиях предыдущего примера: Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}. Событие A\ B = {2, 4} состоит в том, что выпало четное число очков не большее четырех, т.е. произошло событие A, не произошло событие B.

Изображение слайда
56

Слайд 56: Противоположное событие

Противоположным событием к событию A называют событие состоящее в том, что событие A не произошло. A  Противоположное событие

Изображение слайда
57

Слайд 57: Пример

В условиях предыдущего примера: Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие = {1, 3, 5} состоит в том, что выпало нечетное число очков, т.е. не произошло событие A.

Изображение слайда
58

Слайд 58: Свойства операций над событиями

коммутативность ассоциативность дистрибутивность умножения относительно сложения

Изображение слайда
59

Слайд 59

Изображение слайда
60

Слайд 60: Вероятность в классическом пространстве

Классическая вероятность может быть записана как где значок |A | обозначает число элементов в множестве A ( благоприятных исходов).

Изображение слайда
61

Слайд 61: Пример

Описать пространство Ω элементарных исходов в случае бросания двух игральных костей. Решение Элементарным исходом служит упорядоченная пара чисел ω = (i, j), где i – число очков на первой кости, j – число очков на второй кости. Пример

Изображение слайда
62

Слайд 62: Решение (продолжение)

Множество элементарных исходов можно задать перечислением:

Изображение слайда
63

Слайд 63

Найти вероятность события A={ суммарное число выпавших очков равно 6 }.

Изображение слайда
64

Слайд 64

По-другому этот результат можно получить, если сложить вероятности элементарных исходов

Изображение слайда
65

Слайд 65: Замечание

Вероятность, вычисленная в этом примере, была найдена с помощью классического определения вероятности. Но классическое определение можно применять только если исходы равновозможны. А определение (*) можно применять и при неравновозможных исходах.

Изображение слайда
66

Слайд 66: Проблема!

Но множество исходов не обязательно конечно или счетно. Пусть, например, опыт состоит в выборе точки из отрезка [0, 1]. Исходом является любая точка, а множество точек отрезка несчетно. Как ввести вероятность в этом случае?

Изображение слайда
67

Слайд 67: Аксиоматическое определение вероятности

Определение Вероятность события есть числовая функция P ( A ), удовлетворяющая аксиомам:

Изображение слайда
68

Слайд 68: Свойства вероятности

Изображение слайда
69

Слайд 69: Проблема!

Если  несчетно, то не всякое подмножество  является событием. А какие же подмножества являются событиями? Ответ: только такие, которые входят в так называемые  –алгебры.

Изображение слайда
70

Слайд 70: алгебра

Определение F называется  –алгеброй, если

Изображение слайда
71

Слайд 71: Пример

1. { , }. 2. {, A, Ā, }, где A – некоторое подмножество .

Изображение слайда
72

Слайд 72: Аксиоматика Колмогорова

Определение Вероятностным пространством называется тройка ( , F, P ), где  – пространство элементарных событий, F – –алгебра подмножеств множества , P – вероятностная мера, заданная на F.

Изображение слайда
73

Слайд 73: Геометрическое вероятностное пространство

Рассмотрим какую-нибудь область  ( на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу   бросаем в эту область точку. Термин «наудачу»  здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть A  не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от «меры» области.

Изображение слайда
74

Слайд 74

Эксперимент состоит в случайном выборе точки из ограниченного множества ; F – система подмножеств , у которых существует мера (длина, площадь, объем и т.д. ); где || A || – мера множества A.

Изображение слайда
75

Слайд 75: Пример

Точка наудачу бросается на отрезок [0 ; 1]. Вероятность точке попасть в отрезок [0,1; 0,5] равна 4/10 = 0,4. (Почему?) А чему равна вероятность точке попасть в полуоткрытый интервал [0,1; 0, 5)? Тоже 4/10 = 0,4.

Изображение слайда
76

Слайд 76: Пример

Вероятность точке попасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку {0,5} не является невозможным событием  —  это один из элементарных исходов эксперимента.

Изображение слайда
77

Слайд 77: Пример (Задача о встрече)

Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Изображение слайда
78

Слайд 78: Решение

Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть  и    – моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента – множество точек квадрата со стороной 1: = {( ,  ): 0  1, 0  1} = [0,1]x[0,1]

Изображение слайда
79

Слайд 79

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A={ ( ,  ): |  –  | 1/6} То есть попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна

Изображение слайда
80

Слайд 80: Задача Бюффона

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2ℓ<2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Изображение слайда
81

Слайд 81: Решение

Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого –либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

Изображение слайда
82

Слайд 82

Обозначим через x [0,a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через  [0,  ]   – угол между каким –то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника  = [0,a]x[0,]. Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x  ℓ•sin .

Изображение слайда
83

Последний слайд презентации: Теория вероятностей и математическая статистика

Площадь области A , точки которой удовлетворяют та – кому неравенству, равна A так как  (  )=a • , то искомая вероятность равна

Изображение слайда