Презентация на тему: Теория вероятностей и математическая статистика

Реклама. Продолжение ниже
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 1 2
Литература
Виды оценок и их характеристики
Виды оценок и их характеристики
Виды оценок и их характеристики
Оценка неизвестных параметров
Оценка неизвестных параметров
Оценка неизвестных параметров: постановка задачи
Оценка неизвестных параметров: постановка задачи
Точечная оценка
Точечная оценка
Интервальная оценка параметров
Методы оценки параметров распределения
Точечные оценки.Свойства оценок
Свойства оценок: Состоятельная оценка
Свойства оценок: Несмещенная оценка
Свойства оценок: Эффективная оценка
Свойства оценок: Эффективная оценка
Свойства оценок: Эффективная оценка
Точечные оценки моментов. Оценка математического ожидания
Точечные оценки моментов. Оценка математического ожидания
Точечные оценки моментов. Оценка математического ожидания
Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии
Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии
Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии
Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии
1/27
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 34)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (296 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
2

Слайд 2: Лекция 1 2

Виды оценок и их характеристики Точечные оценки моментов случайной величины Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Оценка моментов и параметров распределения

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
3

Слайд 3: Литература

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения [ 1]. С. 143-160 [2]. С. 21, 22, 25, 54-75 [1]. В. А. Фигурин, В. В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика; ООО "Новое знание": Минск, 2000. [2]. В. С. Зарубин, А. П. Крищенко, Математическая статистика; Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана: М., 2001.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
4

Слайд 4: Виды оценок и их характеристики

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Задачи математической статистики (МС)– «обратные» к задачам теории вероятностей (ТВ) ТВ : вероятностная модель событий задана, необходимо рассчитать вероятности событий. МС : вероятностная модель не задана, в результате эксперимента известны реализации каких-либо случайных событий, необходимо подобрать вероятностную модель.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
5

Слайд 5: Виды оценок и их характеристики

Априорная информация: генеральная совокупность X имеет нормальный закон распределения: , Виды оценок и их характеристики Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Два источника информации: выборка генеральной совокупности; априорная информация (отражается в исходной статистической модели) где µ и σ – неизвестные параметры.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
6

Слайд 6: Виды оценок и их характеристики

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Часто встречающиеся в приложениях задачи МС: Оценка неизвестных параметров Проверка статистических гипотез Установление формы и степени связи между случайными величинами

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
7

Слайд 7: Оценка неизвестных параметров

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Генеральная совокупность X имеет нормальный закон распределения: где µ и σ – неизвестные параметры. ρ - Семейство (класс) распределений случайной величины Выборочное пространство, на котором задан класс распределений ρ назовем статистической моделью*. _________ * Определение в «узком смысле». Действительно только в рамках курса. Статистическая модель полностью определена функцией распределения F ( x ) генеральной совокупности. В дальнейшем статистическую модель будем обозначать {F(x)}.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Оценка неизвестных параметров

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Если функция распределения (плотность распределения) задана с точностью до неизвестного вектора параметров с множеством возможных значений Ө, т.е. то статистическую модель называют параметрической моделью. Параметрическую модель обозначают {F( x ; ); € Ө}. Множество Ө называют параметрическим множеством. € Ө ,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
9

Слайд 9: Оценка неизвестных параметров: постановка задачи

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Постановка задачи Задача оценки параметров возникает, если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
10

Слайд 10: Оценка неизвестных параметров: постановка задачи

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения В этом случае полагают, что закон распределения генеральной совокупности имеет вид Вид функции распределения задан. Вектор параметров неизвестен. Требуется найти оценку для или некоторой функции от него (математического ожидания, дисперсии) по случайной выборке из генеральной совокупности X.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
11

Слайд 11: Точечная оценка

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Постановка задачи Необходимо найти такую статистику , выборочное значение которой для рассматриваемой реализации случайной выборки можно было бы считать приближенным значением параметра.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
12

Слайд 12: Точечная оценка

Статистику, выборочное значение которой для любой реализации принимают за приближенное значение параметра, называют точечной оценкой, а выборочное значение - значением точечной оценки. Точечная оценка Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
13

Слайд 13: Интервальная оценка параметров

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Интервальная оценка параметров Рассматриваем случайную выборку объема n с функцией распределения . - неизвестный параметр. Для построен интервал . Причем, и - функции (статистики) случайной выборки, такие что выполняется равенство θ θ доверительный интервал, коэффициент доверия,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/8
14

Слайд 14: Методы оценки параметров распределения

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения 2 вида оценок в математической статистике: точечные интервальные Задача оценки возникает, если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до некоторого параметра

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: Точечные оценки.Свойства оценок

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Рассмотрим нахождение точечной статистики. Рассмотрим случайную выборку генеральной совокупности. Закон распределения известен F ( x ; θ ). Параметр θ неизвестен. Для простоты предположим, что θ скаляр. Т.е. рассматриваем параметрическую модель Необходимо построить статистику, которую можно принять в качестве точечной оценки параметра θ. Какими свойствами должна обладать статистика,чтобы она являлась в некотором смысле «наилучшей оценкой» параметра θ. Для оценки параметров можно предложить различне статистики. Например, для оценки μ= M ( X ) можно предложить слудующие статистики:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/8
16

Слайд 16: Свойства оценок: Состоятельная оценка

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Статистика является состоятельной, если при увеличении объема n выборки она сходится по вероятности к параметру θ. . Возможна другая запись: , где ε>0. Можно показать: .

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
17

Слайд 17: Свойства оценок: Несмещенная оценка

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Статистика является несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с θ для любого n. . Если это уловие не выполняется, то оценка называется смещенной с параметром смещения: . Оценка является ассимптотически несмещенной, если при n →∞ она сходится по вероятности к своему математическому ожиданию для любого ε>0. . =1

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
18

Слайд 18: Свойства оценок: Эффективная оценка

то говоят, что что неравенство (*) выполняется для всех, Если в некотором классе несмещенных оценок параметра имеется такая, Свойства оценок: Эффективная оценка Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения . Пусть имеются две несмещенные оценки и (*) Следуют предпочесть . является эффективной в данном классе оценок. То есть дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок. Эффективн ую оценку назвают так же несмещенная оценка с минимальной дисперсией или оптимальная оценка.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
19

Слайд 19: Свойства оценок: Эффективная оценка

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения . Неравенство Рао-Крамера. Пусть - несмещенная оценка параметра θ. Тогда имеет место неравенство I ( θ )- количествоа информации по Фишеру в одном наблюдении, p ( t ; θ ) - плотность распредления генеральной совокупности. Неравенство Рао-Крамера определяет нижнюю границу дисперсий несмещенных оценок параметра θ. Величину называют показателем эффективности по Рао-Крамеру. Из неравенства Рао-Крамера следует, что 0< e ( θ )≤1. .

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
20

Слайд 20: Свойства оценок: Эффективная оценка

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения . . Несмещенную оценку параметра θ называют эффективной по Рао- Крамеру, если показатель эффективности e ( θ )=1. Критерий эффективности Равенство имеет место тогда и только тогда, когда Достаточные статистики Оценка является достаточной статистикой, если вся полученная из выборки информация относительно параметра содержится в оценке. Если известна достаточная статистика, то никакая другая статистика, вычисленная по той же выборке, не может дать дополнительную информацию о параметре.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
21

Слайд 21: Точечные оценки моментов. Оценка математического ожидания

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Оценка математического ожидания генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок, т.е. оценок вида Элементы X i, i =1, n случайной выборки являются независимыми случайными величинами и распредлены так же, как и генеральная совокупность X. C ледовательно, MX i =MX=μ, DX i =DX= σ 2, i=1,n. Несмещенность оценки. Учитывая свойства математического ожидания, получаем Ч.т.д.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
22

Слайд 22: Точечные оценки моментов. Оценка математического ожидания

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Ч.т.д. Состоятельность оценки. Поскольку последовательность X 1,..., X n состоит из незвисимых одинаково распределенных величин с конечной дисперсией, то в сило закона больших чисел в форме Чебышева для любого ε То есть оценка сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. оценка состоятельна.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
23

Слайд 23: Точечные оценки моментов. Оценка математического ожидания

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Ч.т.д. Эффективность оценки. Докажем что Достигаем своего минимального значения при α i =1/ n, т.е. Отыщем условный минимум функции, - эффективная оценка. Составим функцию Лагранжа c множителем Лагранжа λ Необходимые условия существования условного экстремума Решив систему, получаем λ = -2/ n, α i =1/ n, i =1, n. То есть при этих значениях аргуметна функция g ( α 1,... α n ) имеет условный минимум.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/8
24

Слайд 24: Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Выборочная дисперсия , где - случайная выборка из генеральной совокупности X с конечной дисперсией σ 2 – смещенная состоятельная оценка дисперсии. Смещенность оценки. С учетом свойств математического ожидания Ч.т.д.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
25

Слайд 25: Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии

Состоятельность оценки. Доказательство приводим для генеральной совокупности, имеющей моменты до четвертого порядка включительно и нулевое математическое ожидание. В соответствии со втрорым неравенством Чебышева Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Поскольку то ,

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
26

Слайд 26: Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии

для дисперсией σ 2 генеральной совокупности X. То есть в качестве статистических оценок математического ожидания и дисперсии берут выборочное среднее и выборочную дисперсию. Вообще можно доказать, что выборочные начальные и центральные моменты являются состоятельными оценками соответствующих моментов генеральной совокупности, если только они существуют. Оценки являются смещенными за исключением. Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Следовательно, Аналогично можно показать: В итоге: Так как, то Отсюда с учетом второго неравенства Чебышева следует состоятельность оченки .

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/9
27

Последний слайд презентации: Теория вероятностей и математическая статистика: Точечные оценки моментов. Оценка дисперсии

Тема 9. Оценка моментов и параметров распределения Замечание. Статистика является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
Реклама. Продолжение ниже