Презентация на тему: Теория вероятностей и математическая статистика

Реклама. Продолжение ниже
Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 16
Литература
Задачи математической статистики
Оценка неизвестных параметров
Статистическая гипотеза
Статистическая гипотеза
Статистическая гипотеза
Статистическая гипотеза: определения
Статистическая гипотеза: определения
Статистический критерий
Статистический критерий
Статистический критерий
Критерий Неймана-Пирсона
Критерий Неймана-Пирсона
Критерий Неймана-Пирсона. Примеры
Критерий Неймана-Пирсона. Примеры
Критерий Неймана-Пирсона. Примеры
Определение объема выборки
Определение объема выборки. Пример
1/20
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 39)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (247 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 11. Проверка статистических гипотез

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
2

Слайд 2: Лекция 16

Нулевая и альтернативная гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка гипотез о математическом ожидании. Тема 11. Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
3

Слайд 3: Литература

[ 1]. С. 180 - 186 [2]. С. 159 -1 7 0 [1]. В. А. Фигурин, В. В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика ; ООО "Новое знание": Минск, 2000. [2]. Горяинов, В.Б., и др., Математическая статистика, п / р. В.С. Зарубин and А.П. Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424. Тема 11. Проверка статистических гипотез

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
4

Слайд 4: Задачи математической статистики

, Тема 11. Проверка статистических гипотез Часто встречающиеся в приложениях задачи МС: Оценка неизвестных параметров Проверка статистических гипотез Установление формы и степени связи между случайными величинами

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
5

Слайд 5: Оценка неизвестных параметров

, Априорная информация о параметре θ неизвестна. В задачах об оценивании параметра рассматривается случайная выборка из генеральной совокупности X объемом n. Функция распределения задана с точностью до параметра θ. Необходимо было по значениям случайных величин либо найти такую статистику, что ее выборочное значение для любой реализации можно принять за приближенной значение параметра θ (точечная оценка). Либо необходимо найти такие две статистики и, что интервал (, ) с заданной вероятностью накрывал значение параметра θ (интервальная оценка). . Тема 11. Проверка статистических гипотез

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/10
6

Слайд 6: Статистическая гипотеза

, О парметре θ на основании априорной информации выдвидается предположение. Например, θ= θ 0, где θ 0 – некоторое заданной значение параметра., где θ 0 – некоторое заданной значение параметра. После этого проводится эксперимент. В результате эксперимента получаем реализацию случайной выборки. По этим данным необходимо решить, согласуется ли гипотеза θ= θ 0 ( нулевая гипотеза ) с экспериментальными данными или верна альтернативная гипотеза θ≠ θ 0 В гипотезе речь может идти также о виде функции распределения. Тема 11. Проверка статистических гипотез

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
7

Слайд 7: Статистическая гипотеза

, Тема 11. Проверка статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметре известного распределения. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H o. Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу, противоречащую нулевой H 1. H 0 :a=10; H 1 :a≠10 Статистические гипотезы относительно неизвестного параметра θ, называют параметрическими. Если параметр – скаляр, речь идет о однопараметрических гипотезах, если вектор – о многопараметрических гипотезах.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Статистическая гипотеза

, Тема 11. Проверка статистических гипотез Простая гипотеза содержит только одно предположение. H 0 :a=10 Сложная гипотеза состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. H : a >10 Состоит из бесчисленного вида простых гипотез H i : a = b i, b i – любое число.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
9

Слайд 9: Статистическая гипотеза: определения

, Тема 11. Проверка статистических гипотез Статистическую гипотезу называют простой, если она имеет вид: Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид: D – некоторое множество значение θ, состоящее более, чем из одного элемента.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
10

Слайд 10: Статистическая гипотеза: определения

, Тема 11. Проверка статистических гипотез Статистическую гипотезу называют простой, если она имеет вид: Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид: D – некоторое множество значение θ, состоящее более, чем из одного элемента.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/4
11

Слайд 11: Статистический критерий

Критерий задают с помощью критического множества W, являющегося подмножеством выборочного пространства случайной выборки Статистическим критерием проверки гипотезы называют правило, по которому по данным выборки принимается решение о справедливости или первой или второй гипотезы. Статистический критерий , Тема 11. Проверка статистических гипотез Решение принимают следующим образом: Выборка принадлежит W. Отвергают H 0. Принимают H 1. Выборка не принадлежит W (принадлежит дополнению множества W до выборочного пространства). Отвергают H 1. Принимают H 0.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
12

Слайд 12: Статистический критерий

, Тема 11. Проверка статистических гипотез При использовании критерия возможны ошибки: Первого рода : приняли гипотезу H 1, верна гипотеза H 0. Второого рода : приняли гипотезу H 0, верна гипотеза H 1

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
13

Слайд 13: Статистический критерий

, Тема 11. Проверка статистических гипотез Вероятности совершения ошибок первого и второго рода. . Вероятность ошибки первого рода - уровень значимости критерия. Величина 1- β – мощность критерия – вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она неверна.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
14

Слайд 14: Критерий Неймана-Пирсона

При построении критерия для проверки статистических гипотез, как правило, исходят из необходимости максимализации его мощьности 1- β (минимизации вероятности совершения ошибки второго рода, увеличить вероятность отвергнуть основную гипотезу, если она неверна) при фиксированном уровне значимости α. Рассмотрим случайную выборку Критерий Неймана-Пирсона , Тема 11. Проверка статистических гипотез . из генеральной совокупности X объема n с плотностью распределения вероятности p ( t ;θ). θ- неизвестный параметр. Рассмотрим два простые гипотезы H 0 : θ = θ 0, H 1 : θ = θ 1 θ 0, θ 1 – два заданных различных значения. Введем функцию случайной выборки - отношение правдоподобия - статистику, представляющую собой отношение функций правдоподобия при истинности альтернативной и основной гипотез.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: Критерий Неймана-Пирсона

Для построения оптимального (наиболее мощного) при заданном уровне значимости α критерия Неймана-Пирсона в критическое множество W включают те элементы выборочного пространства случайной выборки, для которых выполняется неравенство Критерий Неймана-Пирсона , Тема 11. Проверка статистических гипотез . выбирают из условия При этом вероятность ошибки второго рода не может быть уменьшена при заданном значении вероятности ошибки первого рода α. Оно обеспечивает заданное значение уровня значимости α и может быть записано в виде

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/9
16

Слайд 16: Критерий Неймана-Пирсона. Примеры

Построение оптимального критерия Неймана-Пирсона для параметра μ нормального закона распределения с извесной дисперсией σ 2. Рассмотрим две простые гипотезы H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ = μ 1 Причем : μ 0 < μ 1 Запишем функцию правдоподобия и отношение правдоподобия Критерий Неймана-Пирсона. Примеры , Тема 11. Проверка статистических гипотез . В данном случае два неравенства равносильны

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
17

Слайд 17: Критерий Неймана-Пирсона. Примеры

Покажем, что неравенства равносильны Критерий Неймана-Пирсона. Примеры , Тема 11. Проверка статистических гипотез . С выбирают из условия обеспечения заданного уровня значимости C лучайная величина X 1 + X 2 +...+ X n имеет нормальное распределение с математическим ожиданием n µ и дисперсией n σ 2. Поэтому условие условие можно переписать в виде или Таким образом, константа, задающся критическую область задается При этом вероятность совершения ошибки второго рода является минимальной при заданном α.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/9
18

Слайд 18: Критерий Неймана-Пирсона. Примеры

Если в предыдущем примере μ 0 > μ 1, то критическое множество задается Критерий Неймана-Пирсона. Примеры , Тема 11. Проверка статистических гипотез .

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/7
19

Слайд 19: Определение объема выборки

В предыдущих задачах предполагалось, что объем выборки задан. Иногда необходимо определить, каков должен быть объем выборки, при котором может быть построен критерий для проверки двух простых гипотез H 0 : θ=θ 0 H 1 : θ=θ 1 с заданными или меньшими значениями вероятностей ошибок первого и второго рода α и β. В данном случае n определяется как минимальное целое значение n, для которого система неравенств может быть выполнена при некотором значении константы С =C* При этом соответствующих оптимальный критерий Неймана-Пирсона, обеспечивающий заданные значения α и β, будет иметь критическое множество, обеспечиваемое Определение объема выборки , Тема 11. Проверка статистических гипотез .

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
20

Последний слайд презентации: Теория вероятностей и математическая статистика: Определение объема выборки. Пример

Определим объем выборки для нормлаьного распределения. Пользуясь предыдущим примером для системы уравнений можно записать Для обеспечения заданных значений α и β – ошибок первого и второго рода минимально необходимый объем n выборки и соответствующую константу С* можно определить из системы уравнений. Определение объема выборки. Пример , Тема 11. Проверка статистических гипотез .

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/11