Тема 11. Проверка статистических гипотез
Нулевая и альтернативная гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка гипотез о математическом ожидании. Тема 11. Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез
[ 1]. С. 180 - 186 [2]. С. 159 -1 7 0 [1]. В. А. Фигурин, В. В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика ; ООО "Новое знание": Минск, 2000. [2]. Горяинов, В.Б., и др., Математическая статистика, п / р. В.С. Зарубин and А.П. Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424. Тема 11. Проверка статистических гипотез
, Тема 11. Проверка статистических гипотез Часто встречающиеся в приложениях задачи МС: Оценка неизвестных параметров Проверка статистических гипотез Установление формы и степени связи между случайными величинами
, Априорная информация о параметре θ неизвестна. В задачах об оценивании параметра рассматривается случайная выборка из генеральной совокупности X объемом n. Функция распределения задана с точностью до параметра θ. Необходимо было по значениям случайных величин либо найти такую статистику, что ее выборочное значение для любой реализации можно принять за приближенной значение параметра θ (точечная оценка). Либо необходимо найти такие две статистики и, что интервал (, ) с заданной вероятностью накрывал значение параметра θ (интервальная оценка). . Тема 11. Проверка статистических гипотез
, О парметре θ на основании априорной информации выдвидается предположение. Например, θ= θ 0, где θ 0 – некоторое заданной значение параметра., где θ 0 – некоторое заданной значение параметра. После этого проводится эксперимент. В результате эксперимента получаем реализацию случайной выборки. По этим данным необходимо решить, согласуется ли гипотеза θ= θ 0 ( нулевая гипотеза ) с экспериментальными данными или верна альтернативная гипотеза θ≠ θ 0 В гипотезе речь может идти также о виде функции распределения. Тема 11. Проверка статистических гипотез
, Тема 11. Проверка статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметре известного распределения. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H o. Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу, противоречащую нулевой H 1. H 0 :a=10; H 1 :a≠10 Статистические гипотезы относительно неизвестного параметра θ, называют параметрическими. Если параметр – скаляр, речь идет о однопараметрических гипотезах, если вектор – о многопараметрических гипотезах.
, Тема 11. Проверка статистических гипотез Простая гипотеза содержит только одно предположение. H 0 :a=10 Сложная гипотеза состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. H : a >10 Состоит из бесчисленного вида простых гипотез H i : a = b i, b i – любое число.
, Тема 11. Проверка статистических гипотез Статистическую гипотезу называют простой, если она имеет вид: Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид: D – некоторое множество значение θ, состоящее более, чем из одного элемента.
, Тема 11. Проверка статистических гипотез Статистическую гипотезу называют простой, если она имеет вид: Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид: D – некоторое множество значение θ, состоящее более, чем из одного элемента.
Критерий задают с помощью критического множества W, являющегося подмножеством выборочного пространства случайной выборки Статистическим критерием проверки гипотезы называют правило, по которому по данным выборки принимается решение о справедливости или первой или второй гипотезы. Статистический критерий , Тема 11. Проверка статистических гипотез Решение принимают следующим образом: Выборка принадлежит W. Отвергают H 0. Принимают H 1. Выборка не принадлежит W (принадлежит дополнению множества W до выборочного пространства). Отвергают H 1. Принимают H 0.
, Тема 11. Проверка статистических гипотез При использовании критерия возможны ошибки: Первого рода : приняли гипотезу H 1, верна гипотеза H 0. Второого рода : приняли гипотезу H 0, верна гипотеза H 1
, Тема 11. Проверка статистических гипотез Вероятности совершения ошибок первого и второго рода. . Вероятность ошибки первого рода - уровень значимости критерия. Величина 1- β – мощность критерия – вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она неверна.
При построении критерия для проверки статистических гипотез, как правило, исходят из необходимости максимализации его мощьности 1- β (минимизации вероятности совершения ошибки второго рода, увеличить вероятность отвергнуть основную гипотезу, если она неверна) при фиксированном уровне значимости α. Рассмотрим случайную выборку Критерий Неймана-Пирсона , Тема 11. Проверка статистических гипотез . из генеральной совокупности X объема n с плотностью распределения вероятности p ( t ;θ). θ- неизвестный параметр. Рассмотрим два простые гипотезы H 0 : θ = θ 0, H 1 : θ = θ 1 θ 0, θ 1 – два заданных различных значения. Введем функцию случайной выборки - отношение правдоподобия - статистику, представляющую собой отношение функций правдоподобия при истинности альтернативной и основной гипотез.
Для построения оптимального (наиболее мощного) при заданном уровне значимости α критерия Неймана-Пирсона в критическое множество W включают те элементы выборочного пространства случайной выборки, для которых выполняется неравенство Критерий Неймана-Пирсона , Тема 11. Проверка статистических гипотез . выбирают из условия При этом вероятность ошибки второго рода не может быть уменьшена при заданном значении вероятности ошибки первого рода α. Оно обеспечивает заданное значение уровня значимости α и может быть записано в виде
Построение оптимального критерия Неймана-Пирсона для параметра μ нормального закона распределения с извесной дисперсией σ 2. Рассмотрим две простые гипотезы H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ = μ 1 Причем : μ 0 < μ 1 Запишем функцию правдоподобия и отношение правдоподобия Критерий Неймана-Пирсона. Примеры , Тема 11. Проверка статистических гипотез . В данном случае два неравенства равносильны
Покажем, что неравенства равносильны Критерий Неймана-Пирсона. Примеры , Тема 11. Проверка статистических гипотез . С выбирают из условия обеспечения заданного уровня значимости C лучайная величина X 1 + X 2 +...+ X n имеет нормальное распределение с математическим ожиданием n µ и дисперсией n σ 2. Поэтому условие условие можно переписать в виде или Таким образом, константа, задающся критическую область задается При этом вероятность совершения ошибки второго рода является минимальной при заданном α.
Если в предыдущем примере μ 0 > μ 1, то критическое множество задается Критерий Неймана-Пирсона. Примеры , Тема 11. Проверка статистических гипотез .
В предыдущих задачах предполагалось, что объем выборки задан. Иногда необходимо определить, каков должен быть объем выборки, при котором может быть построен критерий для проверки двух простых гипотез H 0 : θ=θ 0 H 1 : θ=θ 1 с заданными или меньшими значениями вероятностей ошибок первого и второго рода α и β. В данном случае n определяется как минимальное целое значение n, для которого система неравенств может быть выполнена при некотором значении константы С =C* При этом соответствующих оптимальный критерий Неймана-Пирсона, обеспечивающий заданные значения α и β, будет иметь критическое множество, обеспечиваемое Определение объема выборки , Тема 11. Проверка статистических гипотез .
Определим объем выборки для нормлаьного распределения. Пользуясь предыдущим примером для системы уравнений можно записать Для обеспечения заданных значений α и β – ошибок первого и второго рода минимально необходимый объем n выборки и соответствующую константу С* можно определить из системы уравнений. Определение объема выборки. Пример , Тема 11. Проверка статистических гипотез .
Slide-Share