Тема 8. О ценка закона распределения
Гистограмма распределения Критерий согласия хи-квадрат Тема 8. Оценка закона распределния Оценка закона распределения
C. 35 -41 [1] C. 1 34- 1 4 3 [2] Горяинов, В.Б., и др., Математическая статистика, под ред. В.С. Зарубин and А.П. Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424. Фигурин, В.А. and В.В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика. 2000, Минск: ООО "Новое знание". 207. Тема 8. Оценка закона распределения
Тема 8. Оценка закона распределения Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцияю F *( x )= n i / n, n i – число элементов выборки меньших x, n – объем выборки. Свойства функции распределения. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1] Функция распредлеения F *( x ) – неубывающая функция. Если x 1 – наименьшее значение выборки, а x k – наибольшее, то F *( x )=0 при x<x 1 F *( x )= 1 при x> x k Функция распределения определяет для каждого x относительную частоту события X<x.
. Эмпирической плотностью распределения соответствующей реализаци случайной выборки из генеральной совокупности X, называют функцию, которая во всех точках интервала J i, i =1, m равна n i /( nΔ ), а вне интервала J равна 0. Δ – длина интервалов J i. Для больших объемов выборки, удобно строить статистический ряд. В нижней строке таблицы – отностительные частоты появления. Разделив это значение на длину интервала – получим значения плотности распределения в данном интервале Δ. Функция p n ( x ) – кусочно постоянная. График этой функции называется гистограммой. Тема 8. Оценка закона распределения
. Часто гистограммой называют диаграмму, составленную из прямоугольников с основанием Δ и высотами n i /( nΔ ), i =1, m. Суммарная площадь всех прямогуольников равна 1. Площадь каждого прямоугольника n i / n – частота попадания элементов выборки в соотвествующий интервал. Наряду с гистограммой часто используют другое графическое представление функции p ( x ) – полигон частот. Полигон частот – это ломаная, отрезки которой соединяют середины горизонтральных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме. Полигон используют также при описании дискретных случайных величин. В этом случае по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, по оси ординат – соответствующие частоты. Соседние точки соединяют отрезками прямой. Тема 8. Оценка закона распределения
. Выбор количества интервалов. Выбор количества интервалов существенно зависит от объема данных. В литературе приводятся несколько руководств по выбору числа интервалов. Например, Формула Старджеса : m=log 2 n+1=3,32ln n +1. Другие методы расчета m=5 ln n m=n^(1/2) Формулы следует рассматривать как оценку снизу для количества интервалов. Тема 8. Оценка закона распределения
. Аналогично рассматриваются числовые характеристики генеральной совокупности (теоретические числовые характеристики ) и выборочные числовые характеристики. По определению выборочный начальный момент k - того порядка Выборочный начальный момент первого порядка – выборочное среднее. Выборочный центральный момент k -того порядка Выборочный центральный момент 2-го порядка - выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратичное отклонение Тема 8. Оценка закона распределения
. Выборочные характеристики можно ввести также и при рассмотрении выборок из многомерных генеральных совокупностей. Основное свойство выборочных моментов, как начальных, так и центральных, и в том числе выборочного среднего и выборочной дисперсии, состоит в том, что при увеличении объема выборки n они сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим (генеральным) моментам*. Тема 8. Оценка закона распределения
Тема 8. Оценка закона распределения Сравнение теоретического и эмпирического распределений производится с помощью правила – критерия согласия. Критерий Пирсона, или критерий χ² ( Хи-квадрат ) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F( x ). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * ( x ) исследуемой случайной величины. Для проверки критерия вводим статистику. (статистика – функция случайной выборки) - предполагаемая вероятность попадания в i - тый интервал. – соответствующее эмпирическое значение, n i - число элементов выборки из i -того интервала, N – полный объем выборки. X – случайная величина, следовательно хи-квадрат тоже случайная величина и должна подчиняться распределению « хи-квадрат ».
( Тема 8. Оценка закона распределения Правило критерия Если полученная статистика превосходит квантиль закона распределения χ 2 заданного уровня значимости α с l =( k - p -1) степенями свободы, где k – число наблюдений, p – число оцениваемых параметров закона распределения, то гипотеза отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости. Кванти́ль в математической статистике — такое число, что заданная случайная величина не превышает его лишь с фиксированной вероятностью. Квантиль x p порядка p F ( x p )= p.
Применение правила критерия сводится к следующему : На основании выборочных данных x 1, x 2, … xn находят оценки параметров теоретического распределения. Вычисляют по теоретическому распределению вероятности попадания случайной величины в i - тые интервалы ( ). Рассчитывают значение статистики χ 2. Определяют число степеней свободы. Выбирают уровень значимости α – как правило 0,05 или 0,01. По таблицам находят квантиль распределния « хи-квадрат » χ 2 l,α. Если статистика χ 2 больше χ 2 α, то гипотеза отвергается при уровне значимости α. Критерий согласия Хи-квадрат (критерий Пирсона) ( Тема 8. Оценка закона распределения
Slide-Share