Презентация на тему: Теория вероятностей

Теория вероятностей
Рекомендуемая литература
Содержание
Система случайных величин
Система случайных величин
Система двух случайных величин
Система двух случайных величин
Изображение двумерной случайной величины
Системы случайных величин
Закон распределения системы дискретных случайных величин
Теория вероятностей
Закон распределения системы дискретных случайных величин
Теория вероятностей
Закон распределения системы дискретных случайных величин
Функция распределения двумерной случайной величины
Функция распределения двумерной случайной величины
Геометрический смысл функции распределения
Свойства функции распределения
Свойства функции распределения
Вероятность попадания случайной величины в полуполосу
Вероятность попадания случайной величины в полуполосу
Вероятность попадания случайной величины в прямоугольник
Плотность совместного распределения вероятностей
Свойства плотности совместного распределения вероятностей
Свойства плотности совместного распределения вероятностей
Теория вероятностей
Теория вероятностей
Вероятностный смысл функции f ( x,y )
Вероятностный смысл функции f ( x,y )
Теория вероятностей
Теория вероятностей
1/31
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 67)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (360 Кб)
1

Первый слайд презентации: Теория вероятностей

Лекции по математике

Изображение слайда
2

Слайд 2: Рекомендуемая литература

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 2 Рекомендуемая литература Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002. Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2008.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Содержание

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 3 Содержание Система двух случайных величин Закон распределения системы двух дискретных случайных величин Функция распределения двумерной случайной величины Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и в прямоугольник Плотность совместного распределения вероятностей и её свойства

Изображение слайда
4

Слайд 4: Система случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 4 Система случайных величин До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. К примеру, погрешность измерений или число попаданий в серии выстрелов.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Система случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 5 Система случайных величин Кроме одномерных часто изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя,…, n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трёхмерными,…, n -мерными. Между случайными величинами, входящими в систему, существует так называемая статистическая связь, изучение которой имеет важное прикладное значение.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Система двух случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 6 Система двух случайных величин Будем обозначать ( X,Y ) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей или компонентой. Обе величины ( X,Y ), рассматриваемые одновременно, образуют систему случайных величин

Изображение слайда
7

Слайд 7: Система двух случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 7 Система двух случайных величин Пример. Станок штампует детали. Если контролируемыми размерами являются длина и ширина, то имеем двумерную случайную величину ( X,Y ). Если контролируется ещё и высота, то имеем трёхмерную величину ( X,Y,Z ).

Изображение слайда
8

Слайд 8: Изображение двумерной случайной величины

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 8 Изображение двумерной случайной величины Значения д вумерной случайной величины ( x,y ) геометрически можно изобразить как случайную точку М ( x,y ) на плоскости . M( x, y )

Изображение слайда
9

Слайд 9: Системы случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 9 Системы случайных величин Различают дискретные и непрерывные системы случайных величин. Наибольшую информацию о системе случайных величин содержит закон распределения

Изображение слайда
10

Слайд 10: Закон распределения системы дискретных случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 10 Закон распределения системы дискретных случайных величин Закон распределения системы двух дискретных случайных величин - это перечень всех возможных пар значений ( x i,y j ) и их вероятностей p ij. Вероятности p ij удовлетворяют условиям: 0  p ij 1, Обычно закон распределения задают в виде таблицы.

Изображение слайда
11

Слайд 11

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 11 Пример. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин задан в виде таблицы: X Y y 1 y 2 y 3 x 1 0,1 0,3 0.2 x 2 0,06 0,18 0,16

Изображение слайда
12

Слайд 12: Закон распределения системы дискретных случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 12 Закон распределения системы дискретных случайных величин Однако, возможны и другие способы задания закона распределения. Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из величин X и Y в отдельности :

Изображение слайда
13

Слайд 13

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 13 Пример. Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей из предыдущего примера. Найти законы распределения величин X и Y. Решение. X x 1 x 2 p 0,6 0,4 Y y 1 y 2 y 3 q 0,16 0,48 0,36

Изображение слайда
14

Слайд 14: Закон распределения системы дискретных случайных величин

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 14 Закон распределения системы дискретных случайных величин Отметим, что знание законов распределения величин, входящих в систему, недостаточно для того, чтобы найти закон их совместного распределения. Закон совместного распределения содержит информацию о так называемой статистической зависимости между случайными величинами, о которой мы будем говорить позже.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Функция распределения двумерной случайной величины

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 15 Функция распределения двумерной случайной величины Пусть ( X,Y ) - двумерная случайная величина, дискретная или непрерывная. Функцией распределения F ( x,y ) двумерной случайной величины называют функцию :

Изображение слайда
16

Слайд 16: Функция распределения двумерной случайной величины

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 16 Функция распределения двумерной случайной величины Д ля каждой пары чисел x и y значение функции равн о вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, а случайная величина Y примет значение, меньшее y.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Геометрический смысл функции распределения

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 17 Геометрический смысл функции распределения F ( x,y ) равна вероятности того, что случайная точка на плоскости ( X,Y ) попадёт в бесконечный квадрант с вершиной ( x, y ), расположенный левее и ниже этой вершины ( x,y ) . x y

Изображение слайда
18

Слайд 18: Свойства функции распределения

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 18 Свойства функции распределения Значения функции распределения удовлетворяют неравенству : 0  F ( x,y )1. Функция распределения является неубывающей по каждому своему аргументу.

Изображение слайда
19

Слайд 19: Свойства функции распределения

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 19 Свойства функции распределения Функция распределения случайной величины X равна: Функция распределения случайной величины Y равна:

Изображение слайда
20

Слайд 20: Вероятность попадания случайной величины в полуполосу

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 20 Вероятность попадания случайной величины в полуполосу Рассмотрим полуполосу с вершинами в точках M 1 ( x 1,y ) и M 2 ( x 2,y ) y M 1 M 2 x 1 x 2

Изображение слайда
21

Слайд 21: Вероятность попадания случайной величины в полуполосу

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 21 Вероятность попадания случайной величины в полуполосу Вероятность того, что случайная величина ( X,Y ) попадёт в полуполосу с вершинами в точках M 1 ( x 1,y ) и M 2 ( x 2,y ) можно вычислить с помощью функции распределения:

Изображение слайда
22

Слайд 22: Вероятность попадания случайной величины в прямоугольник

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 22 Вероятность попадания случайной величины в прямоугольник Вероятность того, что случайная величина попадёт в прямоугольник можно вычислить по формуле: y 2 x 1 x 2 y 1

Изображение слайда
23

Слайд 23: Плотность совместного распределения вероятностей

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 23 Плотность совместного распределения вероятностей Плотностью совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины называют функцию f ( x,y ), равную второй смешанной производной функции F ( x,y ) :

Изображение слайда
24

Слайд 24: Свойства плотности совместного распределения вероятностей

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 24 Свойства плотности совместного распределения вероятностей Функция f ( x,y ) неотрицательна, т.к. функция F ( x,y ) является неубывающей. Можно доказать, что Так как, то выполняется условие

Изображение слайда
25

Слайд 25: Свойства плотности совместного распределения вероятностей

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 25 Свойства плотности совместного распределения вероятностей Пусть F 1 ( x ) и F 2 ( y ) - функции распределения случайных величин X и Y соответственно, входящих в систему. Тогда

Изображение слайда
26

Слайд 26

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 26 Пример. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины ( X,Y ) : в квадрате Вне этого квадрата f ( x,y ) = 0. Найти постоянный параметр С.

Изображение слайда
27

Слайд 27

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 27 Решение. Воспользуемся свойством 2, учитывая, что x и y меняются от 0 до  / 2 : Выполнив интегрирование, получим С =1.

Изображение слайда
28

Слайд 28: Вероятностный смысл функции f ( x,y )

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 28 Вероятностный смысл функции f ( x,y ) Рассмотрим прямоугольник ABCD, вершины которого имеют координаты: A ( x,y ), B ( x,y+  y ), C ( x +  x,y+  y ), D ( x +  x,y ). Если величины  x и  y малы, то вероятность того, что случайная точка попадёт в прямоугольник ABCD :

Изображение слайда
29

Слайд 29: Вероятностный смысл функции f ( x,y )

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 29 Вероятностный смысл функции f ( x,y ) Это свойство позволяет вычислять вероятность попадания случайной точки в любую область на плоскости по формуле:

Изображение слайда
30

Слайд 30

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 30 Пример. Плотность распределения двумерной случайной величины : Найти вероятность попадания случайной величины в прямоугольник KLMN с вершинами

Изображение слайда
31

Последний слайд презентации: Теория вероятностей

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 31 Решение. Искомая вероятность

Изображение слайда