Презентация на тему: Теория вероятностей

Теория вероятностей
Рекомендуемая литература
Содержание
Напоминание
Действия над случайными величинами
Действия над случайными величинами
Действия над случайными величинами
Действия над случайными величинами
Пример
Пример
Пример
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной величины
Математическое ожидание дискретной величины
Математическое ожидание дискретной величины
Статистический смысл математического ожидания
Статистический смысл математического ожидания
Статистический смысл математического ожидания
Теория вероятностей
Свойства математического ожидания
Пример
Пример
Пример
Биноминальный закон распределения
Биноминальный закон распределения
1/26
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 72)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (267 Кб)
1

Первый слайд презентации: Теория вероятностей

Лекции по математике

Изображение слайда
2

Слайд 2: Рекомендуемая литература

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002. Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 2

Изображение слайда
3

Слайд 3: Содержание

Числовые характеристики случайных величин Действия над случайными величинами Математическое ожидание дискретной случайной величины Свойства математического ожидания Математическое ожидание величины, распределённой по закону Бернулли И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 3

Изображение слайда
4

Слайд 4: Напоминание

Некоторые законы распределения дискретной случайной величины Биноминальный закон: значения X 0, 1, 2,…, n Геометрический закон: значения X 1, 2,…, n Закон распределения Пуассона: значения X 0, 2,…, n,… © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 4

Изображение слайда
5

Слайд 5: Действия над случайными величинами

Произведение CX случайной величины X на число С − случайная величина, возможные значения которой равны произведениям возможных значений величины X на число С, а вероятности возможных значений не изменились. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 5

Изображение слайда
6

Слайд 6: Действия над случайными величинами

Произведением XY двух независимых случайных величин X и Y будем называть случайную величину, возможные значения которой равны произведениям возможных значений x i y j, а вероятность значения равна p i q j, если p i - вероятность значения x i, а q j - вероятность значения y j. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 6

Изображение слайда
7

Слайд 7: Действия над случайными величинами

Заметим, что некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае соответствующие вероятности нужно сложить. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 7

Изображение слайда
8

Слайд 8: Действия над случайными величинами

Суммой случайных величин X+Y будем называть случайную величину, значения которой равны суммам значений величин x i +y j. Если величины x i и y j независимы, то вероятность значения x i +y j равна p i + q j. Заметим, что некоторые суммы могут оказаться равными между собой. В этом случае соответствующие вероятности нужно сложить. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 8

Изображение слайда
9

Слайд 9: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 9 Задан закон распределения случайной величины X : Найти законы распределения величин: а) Y =3 X ; б) Z = X 2 Решение. а) З акон распределения случайной величины Y =3 X : x i - 2 1 2 p i 0,5 0,3 0,2 y i - 6 3 6 p i 0,5 0,3 0,2

Изображение слайда
10

Слайд 10: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 10 б) Возможные значения величины Z = X 2 : (-2) 2 =4; 1 2 =1; 2 2 =4. Так как значение 4 один раз получено с вероятностью 0,5, а второй раз с вероятностью 0,3, то… z i 1 4 p i 0, 3 0, 8 x i - 2 1 2 p i 0,5 0,3 0,2

Изображение слайда
11

Слайд 11: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 11 Даны законы распределения двух независимых величин X и Y : Найти законы распределения величин: а) Z=X-Y ; б) U=XY Решение. а) Возможные значения величины Z = X-Y : 2; 0; -2; 4; 2; 0; 6; 4; 2 с вероятностями: 0,05; 0,3; 0,15; 0,03; 0,18; 0,09; 0,02; 0,12; 0,06 x i 0 2 4 p i 0,5 0,3 0,2 z i - 2 0 2 4 6 p i 0, 1 5 0,3 9 0,2 9 0. 15 0,02 y j - 2 0 2 q j 0, 1 0, 6 0, 3

Изображение слайда
12

Слайд 12: Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако зачастую закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Существует ряд числовых характеристик, которые лишь частично описывают некоторые свойства случайных величин. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 12

Изображение слайда
13

Слайд 13: Математическое ожидание

Одна из важнейших числовых характеристик – математическое ожидание. Математическое ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины. Хотя математическое ожидание даёт о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон распределения. Но для решения ряда задач знание математического ожидания оказывается достаточным. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 13

Изображение слайда
14

Слайд 14: Математическое ожидание дискретной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Пусть X случайная величина может принимать только значения x 1, x 2, …, x n вероятности которых соответственно равны p 1, p 2, …, p n. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 14

Изображение слайда
15

Слайд 15: Математическое ожидание дискретной величины

Тогда математическое ожидание M(X) случайной величины определяется равенством И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 15

Изображение слайда
16

Слайд 16: Математическое ожидание дискретной величины

Если дискретная величина принимает счётное множество значений, то И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 16

Изображение слайда
17

Слайд 17: Статистический смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина приняла m 1 раз значение x 1, m 2 раз значение x 2,…, m n раз значение x n. Тогда сумма всех значений, которые принимала величина X равна: И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 17

Изображение слайда
18

Слайд 18: Статистический смысл математического ожидания

Найдём среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной: И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 18

Изображение слайда
19

Слайд 19: Статистический смысл математического ожидания

Заметив, что относительные частоты событий при большом числе испытаний приблизительно равны вероятностям событий, т.е., получим Математическое ожидание приблизительно равно среднему значению наблюдаемой величины. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 19

Изображение слайда
20

Слайд 20

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 20 Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события в одном испытании, если вероятность этого события равна p. Решение. Случайная величина X - число появлений события в одном испытании может принимать только два значения: x 1 = 1 с вероятностью p и x 2 = 0 с вероятностью q= 1- p.

Изображение слайда
21

Слайд 21: Свойства математического ожидания

Математическое ожидание постоянной величины C равно самой этой величине: M ( C ) =C. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M ( CX ) =C · M ( X ). M( XY ) =M ( X ) · M ( Y ), если X и Y независимые случайные величины. M( X + Y ) =M ( X ) + M ( Y ). И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 21

Изображение слайда
22

Слайд 22: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 22 Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными: p 1 =0,4; p 2 =0,3. Найти математическое ожидание общего числа попаданий. Решение. Способ 1. Составим законы распределения величин X 1, X 2 и X = X 1 + X 2 : X 1 0 1 p i 0,6 0,4 X 2 0 1 p i 0,7 0,3 X 0 1 2 p i 0,42 0,46 0,12 M ( X ) =0,46+0,24=0,7

Изображение слайда
23

Слайд 23: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 23 Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными: p 1 =0,4; p 2 =0,3. Найти математическое ожидание общего числа попаданий. Решение. Способ 2. Пусть X 1, X 2 - случайные величины, равные числу попаданий при первом выстреле соответственно. Ранее мы показали, что M ( X 1 ) = 0,4 ; M ( X 2 ) = 0,3. Общее число попаданий при двух выстрелах тоже случайная величина X = X 1 + X 2. По свойству математического ожидания M ( X ) = 0,4 + 0,3 =0,7.

Изображение слайда
24

Слайд 24: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 24 Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными: p 1 =0,4; p 2 =0,3; p 3 =0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий. Решение. Пусть X 1, X 2, X 3, - случайные величины, равные числу попаданий при первом выстреле соответственно. Ранее мы показали, что M ( X 1 ) = 0,4 ; M ( X 2 ) = 0,3 ; M ( X 3 ) = 0,6. Общее число попаданий при трёх выстрелах тоже случайная величина X = X 1 + X 2 + X 3. По свойству математического ожидания M ( X ) = 0,4 + 0,3 + 0,6 =1,3.

Изображение слайда
25

Слайд 25: Биноминальный закон распределения

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Пусть X - случайная величина, равная числу появлений события в этих независимых испытаний. Ранее мы показали, что эта величина имеет биноминальный закон распределения. Очевидно, что X = X 1 + X 2 +…+ X n, где X i  число попаданий при одном выстреле. Тогда M ( X ) =np. И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 25

Изображение слайда
26

Последний слайд презентации: Теория вероятностей: Биноминальный закон распределения

И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме «Теория вероятностей» 26 Математическое ожидание величины, распределённой по биноминальному закону M ( X ) = np.

Изображение слайда