Презентация на тему: Теория вероятностей

Теория вероятностей
Рекомендуемая литература
Содержание
Случайные величины. Виды случайных величин
Случайные величины. Виды случайных величин
Виды случайных величин
Виды случайных величин
Примеры дискретных случайных величин
Примеры непрерывных случайных величин
Закон распределения случайной величины
Способы задания закона распределения
Способы задания закона распределения
Пример
Пример
Пример
Замечание
Пример
Функция распределения случайной величины
Функция распределения вероятностей случайной величины
Свойства функции распределения
Пример
График функции распределения
Основные законы распределения дискретной случайной величины
Биноминальное распределение
Геометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
Закон распределения Пуассона
Поток событий
Поток событий
Поток событий
Стационарный поток событий
Поток без последействия
Ординарный поток
Пуассоновский поток
Пуассоновский поток
Теория вероятностей
Теория вероятностей
1/42
Средняя оценка: 4.7/5 (всего оценок: 81)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (398 Кб)
1

Первый слайд презентации: Теория вероятностей

Лекции по математике

Изображение слайда
2

Слайд 2: Рекомендуемая литература

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002. Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007. http://www.math.spbu.ru/ru/Archive/Courses/jvr/DA_html/_lec_1_06.html © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 2

Изображение слайда
3

Слайд 3: Содержание

Случайные величины. Виды случайных величин Закон распределения Функция распределения Основные законы распределения дискретной случайной величины Поток событий © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 3

Изображение слайда
4

Слайд 4: Случайные величины. Виды случайных величин

Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие. Количественная характеристика случайного события, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 4

Изображение слайда
5

Слайд 5: Случайные величины. Виды случайных величин

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами: X, Y,… а их возможные значения строчными буквами: x, y,… События, которые соответствуют величине X : ( X = x ); ( X<x ); ( X ∊[1; 5] ) и т.д. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 5

Изображение слайда
6

Слайд 6: Виды случайных величин

Понятие случайной величины позволяет описывать случайные события на языке чисел, что даёт возможность применить в теории вероятностей аппарат математического анализа. Выделяют два основных вида случайных величин: дискретные и непрерывные. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 6

Изображение слайда
7

Слайд 7: Виды случайных величин

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с положительными вероятностями. Число возможных значений дискретной величины может быть конечным или счётным. Непрерывной называют величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Замечание. Это неточное определение непрерывной величины. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 7

Изображение слайда
8

Слайд 8: Примеры дискретных случайных величин

Случайная величина X - индикатор случайного события А. Она имеет два возможных значения: x 1 =1, если случайное событие А происходит, и x 2 = 0, если случайное событие А не происходит. C лучайная величина X - количество очков, выпавших на игральном кубике. Случайная величина X - число появлений события А в серии из n независимых испытаний. Случайная величина X - число покупателей, посетивших магазин за определённый интервал времени. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 8

Изображение слайда
9

Слайд 9: Примеры непрерывных случайных величин

Случайная величина X – это ошибка измерения какой-либо случайной величины. Случайная величина X – это продолжительность срока безотказной работы прибора. Приведите свои примеры… © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 9

Изображение слайда
10

Слайд 10: Закон распределения случайной величины

Это правило, позволяющее определить вероятность любого события, которое может произойти со случайной величиной. Приведите примеры событий, которые могут произойти со случайной величиной. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 10

Изображение слайда
11

Слайд 11: Способы задания закона распределения

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать, если: - перечислить все возможные её значения; задать вероятность появления каждого значения. Заметим, что данный подход не годится для введения закона распределения непрерывной случайной величины, т.к. невозможно перечислить все её значения. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 11

Изображение слайда
12

Слайд 12: Способы задания закона распределения

Закон распределения дискретной величины можно задать: таблично; аналитически; графически. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 12

Изображение слайда
13

Слайд 13: Пример

В некоторой местности в течение ряда лет в июне 30% дождливых дней. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа дождливых дней в течение одной недели июня месяца. События, состоящие в том, что в 1-й день недели идет дождь, во 2-й - дождь и т.д. считать независимыми. Решение. Случайная величина X принимает следующие значения: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5, x 7 = 6, x 8 = 7 Вероятность появления дождливого дня p =0,3. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 13

Изображение слайда
14

Слайд 14: Пример

Вероятности значений случайной величины X вычислим по формулам Бернулли: © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 14

Изображение слайда
15

Слайд 15: Пример

Закон распределения представим в виде таблицы © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 15 Наибольшую вероятность имеет событие, состоящее в том, что на неделе будет два дождливых дня. X 0 1 2 3 4 5 6 7 p i 0.0824 0.2472 0.3128 0.2263 0.0973 0.0250 0.0036 0.0002

Изображение слайда
16

Слайд 16: Замечание

Заметим, что сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной величины равна единице: © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 16

Изображение слайда
17

Слайд 17: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 17 X 2 3,2 4 5,1 7 8 p 0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 0,1 Закон распределения задан в виде таблицы Найти вероятности следующих событий: P(X<4); P(1≤X≤5,1); P(X>7); P(X<10). Решение. P(X<4) =0,3 ; P(1≤X≤5,1) =0,6 ; P(X>7) =0,1 ; P(X<10) =1.

Изображение слайда
18

Слайд 18: Функция распределения случайной величины

Закон распределения случайной величины, как дискретной, так и непрерывной, можно задать с помощью функции распределения : F(x)=P(X<x) Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 18

Изображение слайда
19

Слайд 19: Функция распределения вероятностей случайной величины

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 19 Функция распределения вероятностей случайной величины Значение функции распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем число x.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Свойства функции распределения

Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1] или 0≤F(x) ≤1 Функция F ( x ) является неубывающей для всех действительных x. Доказательство. Пусть x 2 > x 1. Тогда F ( x ) =0 для x≤ x min, F ( x ) =1 для x>x max © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 20

Изображение слайда
21

Слайд 21: Пример

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 21 Закон распределения задан в виде таблицы. X 0 1 2 3 p 0, 3 0, 4 0, 2 0, 1 Построить график функции распределения

Изображение слайда
22

Слайд 22: График функции распределения

Вывод. Функция распределения дискретной случайной величины является неубывающей; кусочно-постоянной; область значений [0; 1]. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 22

Изображение слайда
23

Слайд 23: Основные законы распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим более подробно некоторые законы распределения дискретной случайной величины: Биноминальное Геометрическое Гипергеометрическое Распределение Пуассона. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 23

Изображение слайда
24

Слайд 24: Биноминальное распределение

Примером биноминального распределения может служить случайная величина равная числу появлений случайного события в серии независимых испытаний. Если вероятность этого события в каждом испытании не меняется и равна p. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 24

Изображение слайда
25

Слайд 25: Геометрическое распределение

Примером геометрического распределения может служить случайная величина равная количеству проведённых экспериментов, если в серии независимых испытаний эксперименты проводятся до первого появления интересующего события. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 25

Изображение слайда
26

Слайд 26: Гипергеометрическое распределение

Для иллюстрации этого распределения рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных M< N. Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причём отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 26

Изображение слайда
27

Слайд 27: Гипергеометрическое распределение

Поэтому формула Бернулли здесь неприменима. Обозначим через X случайную величину, равную числу стандартных изделий среди n отобранных. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 27

Изображение слайда
28

Слайд 28: Гипергеометрическое распределение

Найдём вероятность события ( X=m ), т.е. что среди n отобранных изделий ровно m стандартных изделий. Используем для этого классическое определение вероятности. Общее число возможных исходов равно числу сочетаний. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 28

Изображение слайда
29

Слайд 29: Гипергеометрическое распределение

Найдём число исходов, благоприятствующих событию ( X=m ). Число способов, которыми можно извлечь m стандартных изделий из общего числа M стандартных изделий равно, при этом все остальные n-m изделий должны быть нестандартными. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 29

Изображение слайда
30

Слайд 30: Гипергеометрическое распределение

Взять n-m нестандартных изделий из общего числа N-M нестандартных изделий можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 30

Изображение слайда
31

Слайд 31: Гипергеометрическое распределение

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих событию исходов к общему числу всех элементарных исходов. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 31

Изображение слайда
32

Слайд 32: Закон распределения Пуассона

Для иллюстрации этого распределения рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 32

Изображение слайда
33

Слайд 33: Поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на АТС; поток самолётов, прибывающих в аэропорт, поток клиентов на предприятие бытового обслуживания и т.д. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 33

Изображение слайда
34

Слайд 34: Поток событий

Рассмотрим только однородные потоки событий. Тогда каждый поток определяется моментами времени, в которые эти события появляются. Отобразим эти моменты времени на числовой оси. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 34 t

Изображение слайда
35

Слайд 35: Поток событий

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Выделим на временной оси интервал длины τ и рассмотрим случайную величину X, равную числу событий, наступивших за этот временной интервал. Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2,…,,… © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 35

Изображение слайда
36

Слайд 36: Стационарный поток событий

Рассмотрим случайное событие ( X=k ). Поток событий называется стационарным, если вероятность этого события зависит только от продолжительности интервала τ и не зависит от того, где на временной оси расположен этот интервал. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 36

Изображение слайда
37

Слайд 37: Поток без последействия

Поток событий называется потоком без последействия, если для двух непересекающихся интервалов вероятность того, что ( X=k ) для одного интервала не зависит от того, сколько событий наступило на другом временном интервале. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 37

Изображение слайда
38

Слайд 38: Ординарный поток

Поток событий называется ординарным, ели вероятность появления двух и более событий за очень маленький интервал времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события за этот малый интервал времени. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 38

Изображение слайда
39

Слайд 39: Пуассоновский поток

Простейшим (пуассоновским ) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 39

Изображение слайда
40

Слайд 40: Пуассоновский поток

Можно доказать, что если интенсивность потока λ известна, то вероятность того, что за время τ появится k событий определяется формулой Пуассона: © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 40

Изображение слайда
41

Слайд 41

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 41 Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут на АТС поступит: а)2 вызова; б)менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов простейший.

Изображение слайда
42

Последний слайд презентации: Теория вероятностей

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей» 42 Решение. По условию λ =2, t= 5. Воспользуемся формулой Пуассона: а) заметим, что б) в) Это событие практически достоверное.

Изображение слайда