Презентация на тему: Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры

Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
История предмета теории игр
История предмета теории игр
История предмета теории игр
История предмета теории игр
История предмета теории игр
История предмета теории игр
Представление игры
Представление игры
Представление игры
Представление игры
Экстенсивная форма
Нормальная форма
Нормальная форма
2. Классификация игр
2. Классификация игр
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Платежная матрица
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Схема максимина и минимакса
Орлянка. Нижняя цена игры. максимин
Орлянка. Верхняя цена. Минимакс.
Игра мора. Нижняя цена максимин
Игра мора. Верхняя цена Минимакс.
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Решение матричных игр в чистых стратегиях
Матричные игры
Матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Чистые и смешанные стратегии игроков
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Определение. Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Методы решения матричных игр
Методы решения матричных игр
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Методы решения матричных игр
Методы решения матричных игр Решение игр вида 2хn и mх2
Методы решения матричных игр
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Методы решения матричных игр
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Методы решения матричных игр
Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий.
Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий.
Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий.
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример 2 - упростить игру
Дублирование и доминирование
Методы решения матричных игр
Пример 3
Методы решения матричных игр
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Понятие об игре с природой
Понятие об игре с природой
Понятие об игре с природой
Понятие об игре с природой
Понятие об игре с природой
Пример:
Понятие об игре с природой
Понятие об игре с природой
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Пример
Пример
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры
1/94
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 37)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (474 Кб)
1

Первый слайд презентации

Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры

Изображение слайда
2

Слайд 2: История предмета теории игр

Теория игр является частью теории принятия решений. В теории принятия решений у лица, принимающего решения ( ЛПР ), имеется ряд альтернатив и его целью является выбор наилучшей альтернативы, принятие оптимального решения. Различают задачу оптимизации – принятие оптимального решения одним ЛПР в бесконфликтной ситуации – и задачу теории игр, занимающуюся отысканием оптимальных решений для нескольких ЛПР ( игроков), в рамках их конфликтного взаимодействия, обусловленного несовпадением их интересов. 29.01.2014 2

Изображение слайда
3

Слайд 3: История предмета теории игр

Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Теория игр – это совокупность математических методов анализа и оценки конфликтных ситуаций. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр изучает ситуации принятия решений несколькими взаимодействующими игроками. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках. 29.01.2014 3

Изображение слайда
4

Слайд 4: История предмета теории игр

Содержание теории игр : установление принципов оптимального поведения в условиях неопределенности (конфликта), доказательство существования решений, удовлетворяющих этим принципам, указание алгоритмов нахождения решений, их реализация. Моделями теории игр можно описать биологические, экономические, правовые, классовые, военные конфликты, взаимодействие человека с природой. Все такие модели в теории игр принято называть играми. 29.01.2014 4

Изображение слайда
5

Слайд 5: История предмета теории игр

Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж.Бертраном. В начале XX в. Э.Ласкер, Э.Цермело, Э.Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов. Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» 29.01.2014 5

Изображение слайда
6

Слайд 6: История предмета теории игр

Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. В Принстонском университете Дж.Нэш посещал лекции Дж. Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия « равновесие по Нэшу », или « некооперативное равновесие ». 29.01.2014 6

Изображение слайда
7

Слайд 7: История предмета теории игр

Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А.Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других. 29.01.2014 7

Изображение слайда
8

Слайд 8: Представление игры

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. 29.01.2014 8

Изображение слайда
9

Слайд 9: Представление игры

Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации: наличие нескольких участников ; неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий; различие (несовпадение) интересов участников ; взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников; наличие правил поведения, известных всем участникам. 29.01.2014 9

Изображение слайда
10

Слайд 10: Представление игры

Определение : Игра – математическая модель конфликтной ситуации. Определение : Ход в игре – выбор и осуществление игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. Определение : Стратегия – последовательность всех ходов до окончания игры. 29.01.2014 10

Изображение слайда
11

Слайд 11: Представление игры

Анализ конфликтной ситуации начинается с построения формальной модели, т.е. превращения ее в игру. Существует несколько способов представления игры: Развернутая ( экстенсивная, или позиционная) форма; Стратегическая (нормальная) форма; Байесова форма. 29.01.2014 11

Изображение слайда
12

Слайд 12: Экстенсивная форма

29.01.2014 12 Игры в экстенсивной, или расширенной, развернутой форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой (конечной) вершиной.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Нормальная форма

В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрок а, а столбцы — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении мы видим ( −1, −1 ), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку. 29.01.2014 13

Изображение слайда
14

Слайд 14: Нормальная форма

Игрок 2 стратегия 1 Игрок 2 стратегия 2 Игрок 1 стратегия 1 4, 3 –1, –1 Игрок 1 стратегия 2 0, 0 3, 4 Нормальная форма для игры с 2 игроками, у каждого из которых по 2 стратегии. 29.01.2014 14

Изображение слайда
15

Слайд 15: 2. Классификация игр

Игры можно классифицировать по различным признакам: стратегические и чисто случайные, бескоалиционные и коалиционные, игры 1, 2, …, n лиц ( по числу игроков ), конечные и бесконечные ( по числу стратегий ), игры в нормальной форме и динамические, с нулевой суммой (« антагонистические ») и с ненулевой суммой. Метаигры. 29.01.2014 15

Изображение слайда
16

Слайд 16: 2. Классификация игр

Определение: В играх с нулевой суммой одни игроки выигрывают за счет других, т.е. суммарный выигрыш всех игроков равен нулю. Определение: Парные игры с нулевой суммой называются антагонистическими. Определение: Конечные антагонистические игры называются матричными играми. 29.01.2014 16

Изображение слайда
17

Слайд 17: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Рассмотрим простейшую модель – игру, в которой участвуют два игрока, множество стратегий каждого игрока конечно, а выигрыш одного игрока равен проигрышу другого ( бескоалиционная, конечная, антагонистическая игра двух лиц ). Такую игру (Г) называют матричной. Она определяется тройкой Г=(X,Y,K), где Х – множество стратегий 1-го игрока, Y – множество стратегий 2-го игрока, K=K( x,y ) – функция выигрыша (выигрыш 1-го игрока и соответственно проигрыш 2-го при условии, что 1-й игрок выбрал стратегию x, а 2-й – стратегию y ). Пару ( x,y ) называют ситуацией в игре Г. 29.01.2014 17

Изображение слайда
18

Слайд 18: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Пусть игрок Р 1 располагает m стратегиями (a 1, …, a i, …, a m ), а игрок Р 2 располагает n стратегиями (a 1, …, a j, …, a n ). Выбор игроком Р 1 стратегии a i (строки a i матрицы A ) и выбор игроком Р 2 стратегии a j (столбца a j матрицы A ) приводит к тому, что игрок Р 1 выигрывает некоторую величину a ij ( a ij >0), а игрок Р 2 ее проигрывает. Стратегии называются чистыми. Далее везде для игрока Р 1 используем термин выигрыш, а для игрока Р 2 проигрыш. Тогда игра Г полностью определяется заданием матрицы A. Матрица А = ( a ij ) mn называется матрицей игры или платежной матрицей. 29.01.2014 18

Изображение слайда
19

Слайд 19: Платежная матрица

Стратегии игрока Р 2 a 1 … a j … a n Стратегии игрока Р 1 a 1 a 11 … a 1j … a 1n … … … … … … a i a i1 … a ij … a in … … … … … … a m a m1 … a mj … a mn 29.01.2014 19

Изображение слайда
20

Слайд 20: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Если 1-й игрок выбрал стратегию i, то в худшем случае он выиграет min (j) a ij при 1 < j < n. Поэтому он всегда может гарантировать себе выигрыш ά = max (i) α i = max (i) min (j) a ij, обозначим его ά – нижняя цена игры, или максимин, соответствующая стратегия 1-го игрока называется максиминной. Таким образом нижняя цена игры ά есть максимальный гарантированный выигрыш 1-го игрока, какую бы стратегию не выбрал 2-ой игрок. 29.01.2014 20

Изображение слайда
21

Слайд 21: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Второй игрок, выбрав стратегию j, в худшем случае проиграет max (i) a ij при 1 < i < m, а значит, может гарантировать себе проигрыш, α = min (j) α j = min (j) max (i) a ij обозначим его α – верхняя цена игры, или минимакс, соответствующая стратегия 2-го игрока называется минимаксной. Итак, верхняя цена игры α есть минимально гарантированный проигрыш 2-го игрока при любом выборе стратегии 1-ым игроком. 29.01.2014 21

Изображение слайда
22

Слайд 22: Схема максимина и минимакса

a 11 … a 1j … a 1n α 1 … … … … … … a i1 … a ij … a in α i … … … … … … a m1 … a mj … a mn α m α 1 … α j … α n min max 29.01.2014 22

Изображение слайда
23

Слайд 23: Орлянка. Нижняя цена игры. максимин

1 - 1 -1 - 1 1 -1 -1 29.01.2014 23 α 1 = α 2 = -1, α = -1 - нижняя цена игры

Изображение слайда
24

Слайд 24: Орлянка. Верхняя цена. Минимакс

1 -1 -1 1 1 1 1 29.01.2014 24 α 1 = α 2 = 1, ά = 1 - верхняя цена игры α = -1 нижняя цена игры < 1 = ά

Изображение слайда
25

Слайд 25: Игра мора. Нижняя цена максимин

0 -3 2 0 -3 3 0 0 - 4 -4 - 2 0 0 3 -2 0 4 - 3 0 -3 -2 29.01.2014 25 α 1 = -3, α 2 = -4, α 3 = -2, α 4 = -3, α = -2 нижняя цена

Изображение слайда
26

Слайд 26: Игра мора. Верхняя цена Минимакс

0 -3 2 0 3 0 0 -4 -2 0 0 3 0 4 -3 0 3 4 2 3 2 29.01.2014 26 α 1 = 3, α 2 = 4, α 3 = 2, α 4 = 3, ά = 2. α = -2 нижняя цена игры < 2 = ά

Изображение слайда
27

Слайд 27: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Справедливо неравенство : α < ά. В игре Г естественно считать оптимальной такую ситуацию ( i,j ), от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться. Ситуация (i*, j *) называется ситуацией равновесия, или седловой точкой, если для любых 1 < i < m, 1 < j < n, выполняется неравенство a ij* < a i*j* < a i*j. Соответствующие стратегии i*, j * называются оптимальными чистыми стратегиями 1-го и 2-го игроков, а число a i*j* называется ценой игры. Элемент a i*j* является одновременно минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце. Ситуация равновесия существует тогда и только тогда, когда α = ά (это значение и является ценой игры ). 29.01.2014 27

Изображение слайда
28

Слайд 28: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Если α = ά, то говорят, что матричная игра имеет решение в чистых стратегиях. Соответствующие максиминная и минимаксная стратегии ( a i 0 и a j 0 ) называются оптимальными (чистыми) стратегиями матричной игры. Цена игры α = ά равна максимальному гарантированному выигрышу 1-го игрока и минимальному гарантированному проигрышу 2-го игрока. При α = ά имеет место наилучшее решение для обоих игроков. Если α < ά, то говорят, что матричная игра не имеет решения (в чистых стратегиях). Для одних игр выполняется равенство, а для других неравенство (орлянка, мора). 29.01.2014 28

Изображение слайда
29

Слайд 29: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Появление равенства α = ά или неравенства α < ά целиком обусловлено только платежной матрицей А. Для любой матрицы А с размерами m x n справедливо следующее утверждение: если max (i) min (j) a ij = min (j) max (i) a ij = ν, то существует элемент a i 0 j 0 матрицы А такой, что для любого номера i (1,2,3,….m) и j (1,2,3,…n) имеет место цепочка неравенств: a i j 0 < a i0 j0 < a i0 j и ν = a i0 j0. ( это седловой элемент ( седловая точка) матрицы А. Справедливо и обратное утверждение. 29.01.2014 29

Изображение слайда
30

Слайд 30: Решение матричных игр в чистых стратегиях

- 2 0 4 2 5 -2 0 -1 3 1 - 3 -3 2 1 * 5 3 6 1* - 1 0 2 2 4 -1 2 1* 5 3 6 1* 29.01.2014 30 Цена матричной игры если существует, то единственна, но седловой элемент может быть единственным или множественным.

Изображение слайда
31

Слайд 31: Решение матричных игр в чистых стратегиях

Доминирование в теории игр — ситуация, при которой одна из стратегий некоторого игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов. Обратное понятие, нетранзитивность, возникает, если некоторая стратегия может давать меньшие выигрыши, чем другая, в зависимости от поведения остальных участников. Понятие доминирования используется при решении или упрощении некоторых типов некооперативных игр. 29.01.2014 31

Изображение слайда
32

Слайд 32: Матричные игры

Рассмотрим матричную игру ( конечная игра двух лиц с нулевой суммой, антагонистичная игра ). Первый игрок располагает m стратегиями. Второй игрок - n стратегиями. При выборе игроками A i и B j стратегий возникает ситуация характеризующаяся выигрышем первого игрока, равным a ij. Числа a ij являются элементами матрицы A с размерностью m на n.

Изображение слайда
33

Слайд 33: Матричные игры

Изображение слайда
34

Слайд 34

B 1 B 2 B n A 1 a 11 a 12 … a 1n A 2 a 21 a 22 … a 2n … … … … … A m a m1 a m2 … a mn Платежная матрица матричной игры

Изображение слайда
35

Слайд 35

B 1 B 2 B n  A 1 a 11 a 12 … a 1n  1 A 2 a 21 a 22 … a 2n  2 … … … … … … A m a m1 a m2 … a mn  m   1  2 …  n Нижняя цена игры (максимин): Верхняя цена игры (минимакс):

Изображение слайда
36

Слайд 36

Пример 1. Найти нижнюю и верхнюю чистые цены матричной игры:

Изображение слайда
37

Слайд 37

Пример 2. Найти нижнюю и верхнюю чистые цены матричной игры:

Изображение слайда
38

Слайд 38: Чистые и смешанные стратегии игроков

Определение : Чистая стратегия игрока – это возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью, равной единице.

Изображение слайда
39

Слайд 39

Но в некоторых играх естественно ввести в рассмотрение также смешанные стратегии. Под смешанной стратегией понимают распределение вероятностей на чистых стратегиях. В частном случае, когда множество чистых стратегий каждого игрока конечно, X i = {x 1 i,..., x ni i } (соответствующая игра называется конечной ), смешанная стратегия представляется вектором вероятностей соответствующих чистых стратегий : μ i = ( μ 1 i,..., μ ni i ). 29.01.2014 39

Изображение слайда
40

Слайд 40

Обозначим множество смешанных стратегий i -го игрока через M i : Стандартное предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш —случайная величина, то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш. Ожидаемый выигрыш i - го игрока, соответствующий набору смешанных стратегий всех игроков ( μ 1,..., μ m ), вычисляется по формуле: 29.01.2014 40

Изображение слайда
41

Слайд 41

Ожидание рассчитывается в предположении, что игроки выбирают стратегии независимо (в статистическом смысле). Поскольку игрок максимизирует ожидаемый выигрыш, то он будет смешивать несколько разных стратегий, только если они дают ему одинаковый выигрыш (при данных стратегиях других игроков). Смешанные стратегии можно представить как результат рандомизации игроком своих действий, т. е. как результат их случайного выбора. 29.01.2014 41

Изображение слайда
42

Слайд 42

Набор смешанных стратегий μ = (μ 1,..., μ m ) является равновесием Нэша в смешанных стратегиях, если стратегия μ * i каждого игрока i = 1,..., n является наилучшим для него откликом на стратегии других игроков μ * −i : 29.01.2014 42

Изображение слайда
43

Слайд 43: Определение. Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор

Определение. Если x i >0, y j >0, игра называется активной

Изображение слайда
44

Слайд 44

Платежная функция игры: Определение. Стратегии называются оптимальными, если для произвольных стратегий выполняется условие

Изображение слайда
45

Слайд 45

Определение. Решением игры называется совокупность оптимальных стратегий и цены игры Цена игры: Теорема (об активных стратегиях). Если один игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, если другой игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Изображение слайда
46

Слайд 46

Теорема фон Неймана (основная теорема матричных игр). Любая матричная игра имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях – две оптимальные стратегии и соответствующую им цену:

Изображение слайда
47

Слайд 47: Методы решения матричных игр

Игра имеет седловой элемент в платежной матрице. В этом случае игрок 1 имеет чистую максиминную стратегию, а игрок 2 - чистую минимаксную стратегию, и при этом α =  = . Тогда говорят, что игра решается в чистых стратегиях.

Изображение слайда
48

Слайд 48: Методы решения матричных игр

Игра с платежной матрицей 2х2 без седлового элемента. B 1 B 2 A 1 a 11 a 12 х 1 A 2 a 21 a 22 х 2 у 1 у 2 (если 2-й игрок играет только В 1 ) (если 2-й игрок играет только В 2 )

Изображение слайда
49

Слайд 49

Изображение слайда
50

Слайд 50

(если 1 - й игрок играет только A 1 ) (если 1 - й игрок играет только A 2 )

Изображение слайда
51

Слайд 51

Пример. Найти смешанные стратегии игроков для игры с матрицей

Изображение слайда
52

Слайд 52: Методы решения матричных игр

2 ’. Графическое решение игры 2х2. I I II II 3(B 2 ) 1(B 1 ) 2(B 1 ) 1(B 2 ) 1 K L M

Изображение слайда
53

Слайд 53: Методы решения матричных игр Решение игр вида 2хn и mх2

У таких игр всегда имеется решение, содержащее не более двух активных стратегий для каждого из игроков. Если найти эти активные стратегии, то игра 2 х n или m х 2 сводится к игре 2 х 2, которую мы уже умеем решать. Поэтому игры 2 х n и m х 2 решают обычно графоаналитическим методом. Следовательно активные стратегии позволяют упростить задачу также, как и доминирование.

Изображение слайда
54

Слайд 54: Методы решения матричных игр

Графо-аналитическое решение игры 2х n. 12 (B 2 ) 1(B 3 ) 3 (B 1 ) 1(B 2 ) 1 K 11 (B 1 ) 4 (B 3 )

Изображение слайда
55

Слайд 55

Изображение слайда
56

Слайд 56: Методы решения матричных игр

Графо-аналитическое решение игры mx 2. 4(A 1 ) -1(A 3 ) 3 (A 1 ) 4(A 2 ) 1 K 2(A 2 ) 8(A 3 ) B 1 B 2

Изображение слайда
57

Слайд 57

Изображение слайда
58

Слайд 58: Методы решения матричных игр

Игры с доминирующими и дублирующими стратегиями.

Изображение слайда
59

Слайд 59: Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий

Если i -я строка поэлементно не меньше ( ≥ ) j - й строки, то говорят, что i -я строка доминирует над j - й строкой. Поэтому игрок A не использует j - ю стратегию, так как его выигрыш при i - й стратегии не меньше, чем при j - й стратегии, вне зависимости от того, как играет игрок B.

Изображение слайда
60

Слайд 60: Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий

Если i - й столбец поэлементно не меньше ( ≥ ) j -го столбца, то говорят, что j - й столбец доминирует над i -м столбцом. Поэтому игрок B не использует i - ю стратегию, так как его проигрыш ( равный выигрышу игрока A ) при j - й стратегии не больше ( ≤ ), чем при i - й стратегии, вне зависимости от того, как играет игрок A.

Изображение слайда
61

Слайд 61: Первый метод, используемый для уменьшения размерности матрицы, основан на одном из важнейших понятий в теории игр - понятии доминирования стратегий

Стратегии, над которыми доминируют другие стратегии, надо отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется. Зато размер матрицы игры понизится. С этого и нужно начинать решение игры. Частный случай доминирования является дублирование стратегий.

Изображение слайда
62

Слайд 62: Пример

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 8 9 9 4 p 2 6 5 8 7 p 3 3 4 8 6 p 4 8 9 9 4

Изображение слайда
63

Слайд 63: Пример

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 8 9 9 4 p 2 6 5 8 7 p 3 3 4 8 6 p 4 8 9 9 4

Изображение слайда
64

Слайд 64: Пример

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 8 9 9 4 p 2 6 5 8 7 p 3 3 4 8 6 p4 =0

Изображение слайда
65

Слайд 65: Пример

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 8 9 9 4 p 2 6 5 8 7 p 3 3 4 8 6 p4 =0

Изображение слайда
66

Слайд 66: Пример

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 8 9 9 4 p 2 6 5 8 7 p3 =0 p4 =0

Изображение слайда
67

Слайд 67: Пример

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 8 9 9 4 p 2 6 5 8 7 p3 =0 p4 =0

Изображение слайда
68

Слайд 68: Пример

q 1 q 2 q3 =0 q 4 p 1 8 9 4 p 2 6 5 7 p3 =0 p4 =0 Дальнейшее упрощение невозможно. Мы свели игру 4×4 к игре 2×3.

Изображение слайда
69

Слайд 69: Пример 2 - упростить игру

q 1 q 2 q 3 q 4 p 1 4 5 6 7 p 2 3 4 6 5 p 3 7 6 10 8 p 4 8 5 4 3

Изображение слайда
70

Слайд 70: Дублирование и доминирование

Замечание. Если игра m×n имеет седловую точку, то после упрощений платёжной матрицы мы всегда получим игру 1×1.

Изображение слайда
71

Слайд 71: Методы решения матричных игр

Эквивалентное преобразование платежной матрицы. Теорема. Оптимальные смешанные стратегии х * и у* соответственно 1-го и 2-го игроков в матричной игре с ценой v будут оптимальными и в матричной игре с ценой v’= bv+c, где Пример:

Изображение слайда
72

Слайд 72: Пример 3

Задана платежная матрица: 400 -300 600 -200 -400 500 800 700 -100 Необходимо упростить матрицу. 8 1 10 2 0 9 12 11 3 b=0.01 c=4

Изображение слайда
73

Слайд 73: Методы решения матричных игр

Решение матричной игры mxn (общий случай). Здесь матричная игра сводится к задаче линейного программирования. Пусть дана игра с матрицей: y 1 y 2 y n x 1 a 11 a 12 … a 1n x 2 a 21 a 22 … a 2n … … … … … x m a m1 a m2 … a mn Все элементы матрицы при этом считаются неотрицательными; Т огда цена игры будет положительной, v >0. Вводятся новые переменные:

Изображение слайда
74

Слайд 74

Теперь матричная игра сводится к следующей задаче линейного программирования относительно 1-го игрока:

Изображение слайда
75

Слайд 75

или к двойственной ей – для 2-го игрока:

Изображение слайда
76

Слайд 76: Понятие об игре с природой

П 1 П 2 П n A 1 a 11 a 12 … a 1n A 2 a 21 a 22 … a 2n … … … … … A m a m1 a m2 … a mn p p 1 p 2 … p n Матрица рисков:

Изображение слайда
77

Слайд 77: Понятие об игре с природой

Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под " природой " понимается совокупность неопределенных факторов ; влияющих на эффективность принимаемых решений. Безразличие природы к игре (выигрышу) к возможности получения экономистом (статистиком) дополнительной информации о ее состоянии отличают игру экономиста с природой от обычной матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока. Данный тип задач относится к задачам принятия решений в условиях неопределенности.

Изображение слайда
78

Слайд 78: Понятие об игре с природой

Предположим, что ЛПР рассматривает несколько возможных решений: i = 1,…, m. Ситуация, в которой действует ЛПР, является неопределенной. Известно лишь, что наличествует какой-то из вариантов: j = 1,…, n. Если будет принято i -e решение, а ситуация есть j -я, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход a ij. Матрица A = ( a ij ) называется матрицей последствий (возможных решений).

Изображение слайда
79

Слайд 79: Понятие об игре с природой

В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Оценим риск, который несет i- e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть j -я, то было бы принято решение, дающее доход a ij.

Изображение слайда
80

Слайд 80: Понятие об игре с природой

Значит, принимая i - e решение мы рискуем получить не a j, а только a ij, значит принятие i -го решения несет риск недобрать r ij = a j - a ij. Матрица R = ( r ij ) называется матрицей рис ков. Уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.

Изображение слайда
81

Слайд 81: Пример:

Пусть матрица последствий есть: Q = Составим матрицу рисков. Имеем q 1 = max (q i1 ) = 8, q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12. Следовательно, матрица рисков есть r ij = q j - q ij. R = ( r ij ) R =

Изображение слайда
82

Слайд 82: Понятие об игре с природой

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Изображение слайда
83

Слайд 83: Понятие об игре с природой

Правило Вальда ( правило крайнего пессимизма ). Рассматривая i -e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход a i Но теперь уж выберем решение i 0 с наибольшим a i0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i 0, такое что: a i0 = max a i = max ( min a ij ) i i j

Изображение слайда
84

Слайд 84

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е. a = max ( min a ij ) Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации. Так, в вышеуказанном примере, имеем a 1 = 2, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 1. Из этих чисел максимальным является число 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.

Изображение слайда
85

Слайд 85

Правило Сэвиджа ( правило минимального риска ). При применении этого правила анализируется матрица рисков R = ( r ij ). Рассматривая i -e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска b i = max [ r ij ], Но теперь уж выберем решение i 0 с наименьшим b i0. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i 0, такое что b i0 =min b i = min ( max r ij ) i i j

Изображение слайда
86

Слайд 86

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается: a = min ( max r ij ) K ритерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации. В рассматриваемом примере имеем b 1 = 8, b 2 = 6, b 3 = 5, b 4 = 7. Минимальным из этих чисел является число 5. Т.е. правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.

Изображение слайда
87

Слайд 87

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i, на котором достигается максимум: λ min q ij + (1- λ ) max q ij где 0 < λ < 1 j j Значение λ выбирается из субъективных соображений. Если λ приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении λ к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма" (догадайтесь сами, что это значит). ( максимакс )

Изображение слайда
88

Слайд 88

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается λ ? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем λ ближе к 1. В вышеуказанном примере при λ = 1/2 правило Гурвица рекомендует 2-е решение.

Изображение слайда
89

Слайд 89

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности p j того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации i -го решения, является случайной величиной Q i с рядом распределения. Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Изображение слайда
90

Слайд 90

4а. По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A i, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r - max ∑( a ij p j ) 4б. Критерий Лапласа. Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.: q 1 = q 2 =... = q n = 1/ n.

Изображение слайда
91

Слайд 91: Пример

Предположим, что в схеме из предыдущего примера вероятности есть ( 1/2, 1/6, 1/6, 1/6 ). Математическое ожидание M[Qi] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый. Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход. Тогда Максимальный средний ожидаемый доход равен 7, соответствует третьему решению.

Изображение слайда
92

Слайд 92: Пример

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем: Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6, соответствует третьему решению. По правилу Лапласа просчитать самостоятельно! В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше одного, то для определения лучшего решения применяется взвешивающая формула

Изображение слайда
93

Слайд 93

Критерий Байеса: Критерий Вальда : Критерий Сэвиджа :

Изображение слайда
94

Последний слайд презентации: Теория игр Лекция 1 -2 Введение в матричные игры

Критерий Гурвица: - «коэффициент пессимизма» - ситуация «крайнего оптимизма» - критерий Вальда

Изображение слайда