Презентация на тему: Тема: «Применение производной»

Тема: «Применение производной»
И. Ньютон
Цели урока:
Ход урока:
Вопросы к кроссворду:
Ответы:
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
История возникновения понятия «производная»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Найти соответствие
Ответы к таблице
И. Ньютон
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Найти производную функции
Найти производную функции
Ответы к самостоятельной работе
Г. Лейбниц
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Тема: «Применение производной»
Физический смысл производной
Задача по химии:
Тема: «Применение производной»
П рименение производной в биологии
Тема: «Применение производной»
Применение производной в географии
Тема: «Применение производной»
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично
Решение:
Применение производной в экономике
Применение производной в нашей жизни
Тема: «Применение производной»
Задача
Решение
Задача
Решение
Задача
Решение
Задача
Решение
Рефлексия
Заключение
Тема: «Применение производной»
1/51
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 6)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (2460 Кб)
1

Первый слайд презентации

Тема: «Применение производной»

Изображение слайда
2

Слайд 2: И. Ньютон

« Лишь дифференциальное исчисление дает возможность естествознанию изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».

Изображение слайда
3

Слайд 3: Цели урока:

Общеобразовательные - Закрепить навыки вычисления производных; - Систематизировать и углубить знаний по теме; - Формировать умения комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Ход урока:

Кроссворд

Изображение слайда
5

Слайд 5: Вопросы к кроссворду:

1. Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль траектории движущегося тела. 2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости 3. Одна из основных характеристик движения. 4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа. 5. Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения. 6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени. 7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики. 8. Какие величины определяют положение тела в выбранной системе отсчета 9. Физическая теория, устанавливающая закономерности взаимных перемещений тел в пространстве, и происходящих при этом взаимодействий 10. Наука, изучающая применение производных в физике. 11. То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Ответы:

Изображение слайда
7

Слайд 7

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: - определение скорости прямолинейного движения ; - построение касательной к кривой. Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: - определение скорости прямолинейного движения ; - построение касательной к кривой. Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: - определение скорости прямолинейного движения ; - построение касательной к кривой.

Изображение слайда
8

Слайд 8

Изображение слайда
9

Слайд 9: История возникновения понятия «производная»

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых

Изображение слайда
10

Слайд 10

Термин « производная » является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввёл в 1797 году Жозеф Луи Лагранж (1736-1813). Он же ввёл современное обозначение у/, f /(х).

Изображение слайда
11

Слайд 11

Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Изображение слайда
12

Слайд 12

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Различные изложения стали встречаться в работах у Р. Декарта, французского математика Ж.Роберваля, английского ученого Д. Грегори.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Большой вклад в изучение дифференциаль-ного исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Эйлер, Гаусс.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Найти соответствие

c 1 sin ( kx+b ) 2 kx 3 e kx+b 4 k* x n 5 a x 6 - sin ( kx+b ) 8 - ksin ( kx+b ) 10 cos ( kx+b ) 11 ke kx+b 12 x:ln a 13 0 15 log a x 16 e kx+b 17 kx n+1 19 a x lna 20 k 22 kcos ( kx+b ) 23 c 24 k nx n-1 25

Изображение слайда
16

Слайд 16: Ответы к таблице

1 15 2 23 3 22 4 12 5 25 6 20 11 10 16 9 21 14

Изображение слайда
17

Слайд 17: И. Ньютон

Не найти другого учёного, исследования которого оказали бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. О нём писали: «Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самым значительным, наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона».

Изображение слайда
18

Слайд 18

Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат дифференциального исчисления, которым мы и пользуемся в настоящее время. И.Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной.

Изображение слайда
19

Слайд 19

Для нахождения мгновенной скорости, скорости в данный момент, необходимо найти отношение приращения пути (по современной терминологии) к приращению времени, а затем — предел этого отношения, т. е. взять «последнее отношение», когда приращение времени стремится к нулю. Так Ньютон ввел отыскание «последних отношений», производных, которые он называл флюксиями...

Изображение слайда
20

Слайд 20

Свои открытия Ньютон сделал раньше Лейбница, но своевременно не опубликовал их; все его математические сочинения были изданы после того, как он стал знаменитым. «Метод флюксий» увидел свет только после смерти автора в 1736 году.

Изображение слайда
21

Слайд 21: Найти производную функции

Изображение слайда
22

Слайд 22: Найти производную функции

Изображение слайда
23

Слайд 23: Ответы к самостоятельной работе

Изображение слайда
24

Слайд 24: Г. Лейбниц

ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (1646-1716), немецкий философ, математик, физик, языковед. В 1676 году Лейбниц выработал первые основания великого математического метода, известного под названием «дифференциальное исчисление».

Изображение слайда
25

Слайд 25

В отличие от И. Ньютона, Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой величины. Факты с достаточной убедительностью доказывают, что Лейбниц хотя и не знал о методе флюксий, но был подведен к открытию письмами Ньютона. Открытие Лейбница по общности, удобству обозначения и подробной разработке метода стало орудием анализа значительно могущественнее и популярнее метода флюксий Ньютона.

Изображение слайда
26

Слайд 26

Все свое свободное время он посвятил обработке изобретенного им дифференциального исчисления и в промежуток времени между 1677 и 1684 годами успел создать целую новую отрасль математики.

Изображение слайда
27

Слайд 27

Долгое время Ньютон и не подозревал, что на континенте успешно занимается подобной проблемой немец Лейбниц. До поры до времени высоко ценившие заслуги друг друга, в конце концов, ученые втянулись в полемику о приоритете открытия исчисления бесконечно малых.

Изображение слайда
28

Слайд 28

В письме, написанном в июне 1677 года, Лейбниц прямо раскрывал Ньютону свой метод дифференциального исчисления. Тот на письмо Лейбница не ответил. Ньютон считал, что открытие принадлежит ему навечно. Ученый искренне считал: своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед Богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым.

Изображение слайда
29

Слайд 29: Физический смысл производной

Производная в физике есть быстрота или скорость изменения какой-либо величины с течением времени. υ ( t ) = х / ( t ) – скорость a ( t ) = υ / ( t ) – ускорение J ( t ) = q / ( t ) - сила тока C ( t ) = Q / ( t ) - теплоемкость ω ( t )= φ / ( t ) - угловая скорость N ( t ) = A / ( t ) - мощность

Изображение слайда
30

Слайд 30: Задача по химии:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью : р (t) = t 2 /2 + 3 t –3 ( моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Изображение слайда
31

Слайд 31

Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество в-ва в момент времени t 0 p = p (t 0 ) Функция Интервал времени ∆t = t– t 0 Приращение аргумента Изменение количества в-ва ∆p= p (t 0 + ∆ t ) – p (t 0 ) Приращение функции Средняя скорость химической реакции ∆p/∆t Отношение приращёния функции к приращёнию аргумента V (t) = p ‘(t) Решение:

Изображение слайда
32

Слайд 32: П рименение производной в биологии

Задача: По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Изображение слайда
33

Слайд 33

Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t 1 x = x (t) Функция Интервал времени ∆t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение численности популяции ∆x = x (t 2 ) – x (t 1 ) Приращение функции Скорость изменения численности популяции ∆x /∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента Производная Р = х ‘ ( t)

Изображение слайда
34

Слайд 34: Применение производной в географии

Изображение слайда
35

Слайд 35

Задача : Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Рост численности населения ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я

Изображение слайда
36

Слайд 36: Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции

Изображение слайда
37

Слайд 37: Решение:

Пусть у=у( t )- численность населения. Рассмотрим прирост населения за  t=t-t 0  y=k y  t, где к = к р – к с –коэффициент прироста (к р – коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности)  y/  t=k y При  t 0 получим lim  y/  t= у ’ у ’ =к у

Изображение слайда
38

Слайд 38: Применение производной в экономике

Производительность труда есть производная от объема произведенной продукции по времени. П= V‘ (t) Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени.

Изображение слайда
39

Слайд 39: Применение производной в нашей жизни

Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Изображение слайда
40

Слайд 40

Применение производной в физике

Изображение слайда
41

Слайд 41: Задача

Тело массой 10 кг движется по закону s=t 3 /3-6t (s в метрах, t в секундах). Найдите силу, действующую на тело, и его кинетическую энергию через 3 с от начала движения.

Изображение слайда
42

Слайд 42: Решение

1) найдём кинетическую энергию данного тела для любого момента времени : Е к = (mv 2 )/2, но v=s ' =(t 3 /3-6t) ' =t 2 -6. Таким образом, E к =(m * (t 2 -6) 2 )/2 (E k) t=3 =(10 * (3 2 -6) 2 )/2= ( 10*9 ) /2=45( Дж) 2) силу,действующую на тело в момент времени t, найдём по формуле: F=ma,где а = s " = ( s ‘)‘= V ' ; a=v ' =(t 2 -6) ' =2t. Таким образом, F=m*2t ; и значение F для момента времени 3 с : F t=3 =10*2*3=60 (H).

Изображение слайда
43

Слайд 43: Задача

Тело движется вертикально вверх по закону : s=40t – (qt 2 )/2 (s в метрах, q – ускорение свободного падения,принять равным 10 м/с 2 ). Найти максимальную высоту подъёма данного тела.

Изображение слайда
44

Слайд 44: Решение

Очевидно,что,чтобы узнать максимальную высоту подъёма тела, надо знать время его подъёма. Время подъёма найдем из следующих соображений : в момент подъёма тела на максимальную высоту его скорость обращается в 0. А так как v=s ' =(40t-(qt 2 )/2) ' =40-qt,то имеем: 40- qt =0,следовательно qt=40 => t=40/q=4 (c). Таким образом, h max =( s ) t=4 =40*4-10*8=160-80=80 ( м)

Изображение слайда
45

Слайд 45: Задача

Температура тела изменяется по закону T=0.2t 2 (t в секундах, T в градусах). С какой скоростью нагревается тело через 10 с после начала нагревания?

Изображение слайда
46

Слайд 46: Решение

При нагревании тела его температура изменяется в зависимости от времени нагрева, т.е. T=f (t) – температура является функцией от времени. Скорость нагревания тела есть производная температуры по времени, т.е v нагрев T ' = d T / d t =(0.2t 2 ) ' =0.4t (d T/d t ) t=10 =0,4*10= 4 ( град/с) Ответ: в момент времени t=10 c тело нагревается со скоростью 4 градуса в секунду

Изображение слайда
47

Слайд 47: Задача

В электрической цепи с активным сопротивлением R=5 O м протекает заряд Q, изменяющийся от времени по закону : Q=t 3 /3 (t в секундах,заряд в Кл). Найти мощность, поглощаемую (выделяемую) нагрузкой (источником тока), через 2 с от начала включения источника тока.

Изображение слайда
48

Слайд 48: Решение

Мощность, поглощаемая нагрузкой, находится по формуле: P=I 2 *R, где I – мгновенное значение силы тока, R – сопротивление нагрузки. Сила тока – это быстрота изменения заряда, т.е. I=Q ' =dQ/dt. Найдём силу тока для любого значения времени : I=Q ' = ( t 3 / 3) ' = t 2. Для t = 2 c: I t=2 =2 2 = 4(A) Ответ: мощность, поглощаемая нагрузкой, P=4 2 *50= 800( Вт)

Изображение слайда
49

Слайд 49: Рефлексия

Оценим нашу работу на уроке. Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал…” “Сегодня на уроке я научился…” “Сегодня на уроке я познакомился…” “Сегодня на уроке я повторил…”

Изображение слайда
50

Слайд 50: Заключение

“ Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать глаз, Поэзия – пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, А математика и физика способны достичь всех этих целей”. Американский математик Морис Клайн.

Изображение слайда
51

Последний слайд презентации: Тема: «Применение производной»

Спасибо за работу!

Изображение слайда