Презентация на тему: ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Теорема о существовании определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Теорема о среднем
Вычисление определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определённого интеграла
Пример
Вычисление интеграла
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример
ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример
Несобственный интеграл
Пример
Пример
1. Вычисление площадей
Вычисление площадей
Вычисление площадей
Вычисление площадей
Примеры
Продолжение
Примеры
Пример
Вычисление длины дуги
Длина дуги в декартовых координатах
Длина дуги в полярных координатах
Примеры
Вычисление объема тела вращения.
Вычисление объема тела вращения
Вычисление объема тела вращения
Решение
1/54
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 64)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1841 Кб)
1

Первый слайд презентации: ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Изображение слайда
2

Слайд 2: Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Изображение слайда
3

Слайд 3

Решение различных задач привело к одной и той же математической модели: Для функции y=f(x) на отрезке [a;b] : Разбить отрезок [a;b] на n равных частей Составить сумму S n =f(x 0 )·∆x 0 +…+ f(x n )·∆x n Вычислить предел этой суммы при n→∞

Изображение слайда
4

Слайд 4

Пусть графически задана функция f (x), непрерывная на своей области определения D (f) у= f(x) 0 x y

Изображение слайда
5

Слайд 5

Будем рассматривать её на отрезке y У= f(x) 0 x а b

Изображение слайда
6

Слайд 6

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f ( x ), прямыми x = а, x = b и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD : у = f(x) 0 x Поставим задачу нахождения её площади S а b x = a B C D A x = b y = 0

Изображение слайда
7

Слайд 7

Разделим основание [ А D] трапеции ABCD точками х 0 =а;х 1 ;х 2 ;…; х n = b ( x 0 = a<x 1 <x 2 <…<x i <x i+1 <x n =b ) произвольным образом 0 x y В С А D Через точки деления проведём прямые у = а, у=х 1, у = х 2, … у = х i, y= x i+ 1,…, y= b. Этими прямыми трапеция ABCD разбивается на полосы. x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 7 x 0 x n

Изображение слайда
8

Слайд 8

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок [x i ;x i+1 ], а смежная сторона – это отрезок f(x i ) (i=0…n-1) 0 x y В С А D Криволинейная трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 7 x 0 x n

Изображение слайда
9

Слайд 9

Основание i- го прямоугольника равно разности x i+1 -х i, которую мы будем обозначать через Высота i- го прямоугольника равна f(x i ) 0 x y В С A D x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 7 x 0 x n

Изображение слайда
10

Слайд 10

Площадь i- го прямоугольника равна: Сложив площади всех прямоугольников, получаем приближенное значение площади S криволинейной трапеции:

Изображение слайда
11

Слайд 11

Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников Для обозначения предельных сумм вида f ( x i ) x i немецки й учёный В.Лейбниц ввёл символ - интеграл функции f ( x ) от а до b

Изображение слайда
12

Слайд 12

Если предел функции f ( x ) существует, то f ( x ) называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Числа а и b называются нижним и верхним пределом интегрирования. При постоянных предела х интегрирования определённый интеграл представляет собой определённое число.

Изображение слайда
13

Слайд 13

- верхний предел интегрирования. - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - нижний предел интегрирования;

Изображение слайда
14

Слайд 14

Определенный интеграл не зависит от выбора первообразной для интегрирования функции. Теорема. Теорема. Для всякой, непрерывной на отрезке функции, существует соответствующий определенный интеграл. Доказательство основано на теореме Коши, т.е. существует определенный интеграл, значит, существует разность значений первообразной.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Свойства определенного интеграла Пусть на отрезке существует определенный интеграл где

Изображение слайда
16

Слайд 16

4. Константу как множитель можно выносить за знак определенного интеграла. 5. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме определенных интегралов от этих функций.

Изображение слайда
17

Слайд 17

6. Если подынтегральная функция неотрицательна, то и определенный интеграл от нее неотрицателен. 7. Теорема о среднем Если - непрерывная функция, то определенный интеграл равен:

Изображение слайда
18

Слайд 18

Геометрический смысл определенного интеграла Теорема. Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной на отрезке и численно равен площади прямолинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми с и и графиком функции

Изображение слайда
19

Слайд 19

Следствие. Если линейная трапеция ограничена графиком функции прямыми б б б б для площадь вычисляется по формуле:

Изображение слайда
20

Слайд 20

Связь и отличие определенных и неопределенных интегралов Связь: Как в неопределенном, так и в определенном интеграле нужно находить первообразную для функции

Изображение слайда
21

Слайд 21

Отличие: Неопределенный интеграл – общее выражение для всех первообразных, определенный интеграл – это число.

Изображение слайда
22

Слайд 22: Теорема о существовании определенного интеграла

Изображение слайда
23

Слайд 23: Свойства определенного интеграла

Изображение слайда
24

Слайд 24: Свойства определенного интеграла

Изображение слайда
25

Слайд 25: Теорема о среднем

Если функция непрерывна на то существует такая точка что

Изображение слайда
26

Слайд 26: Вычисление определенного интеграла

Изображение слайда
27

Слайд 27: Формула Ньютона-Лейбница

где F(x) – первообразная для функции f(x) Исаак Ньютон 1642-1727 Готфрид Лейбниц 1646-1716 Или Формула Ньютона-Лейбница:

Изображение слайда
28

Слайд 28: Вычисление определённого интеграла

Вычислить интеграл: Вычисление определённого интеграла Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла Формула Ньютона-Лейбница:

Изображение слайда
29

Слайд 29: Пример

Вычислить.

Изображение слайда
30

Слайд 30: Вычисление интеграла

Изображение слайда
31

Слайд 31

Теорема. Дано: Введем новую переменную, связанную с формулой b непрерывна на отрезке при этом

Изображение слайда
32

Слайд 32

тогда

Изображение слайда
33

Слайд 33: Пример

Изображение слайда
34

Слайд 34

Изображение слайда
35

Слайд 35: Пример

Изображение слайда
36

Слайд 36: Несобственный интеграл

Изображение слайда
37

Слайд 37: Пример

. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) . Этот несобственный интеграл расходится.

Изображение слайда
38

Слайд 38: Пример

Несобственный интеграл

Изображение слайда
39

Слайд 39: 1. Вычисление площадей

Площадь фигуры в декартовых координатах: 0 Геометрические приложения определенного интеграла

Изображение слайда
40

Слайд 40: Вычисление площадей

Изображение слайда
41

Слайд 41: Вычисление площадей

В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямыми, осью Ох и кривой вычисляют по формуле где пределы интегрирования определяют из уравнений. .

Изображение слайда
42

Слайд 42: Вычисление площадей

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле . α β

Изображение слайда
43

Слайд 43: Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Изображение слайда
44

Слайд 44: Продолжение

Получим

Изображение слайда
45

Слайд 45: Примеры

Найти площадь эллипса. Параметрические уравнения эллипса у о х

Изображение слайда
46

Слайд 46: Пример

Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли и лежащей вне круга радиуса :

Изображение слайда
47

Слайд 47: Вычисление длины дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями,, то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги.

Изображение слайда
48

Слайд 48: Длина дуги в декартовых координатах

Если кривая задана уравнением, то, где a, b –абсциссы начала и конца дуги. Если кривая задана уравнением , то, где c, d –ординаты начала и конца дуги

Изображение слайда
49

Слайд 49: Длина дуги в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги.

Изображение слайда
50

Слайд 50: Примеры

Вычислить длину дуги кривой от точки до. , тогда

Изображение слайда
51

Слайд 51: Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой, отрезком оси абсцисс и прямыми, вычисляется по формуле.

Изображение слайда
52

Слайд 52: Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой, отрезком оси ординат и прямыми, вычисляется по формуле .

Изображение слайда
53

Слайд 53: Вычисление объема тела вращения

Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями и Рис. 14 А 0 1 1 y

Изображение слайда
54

Последний слайд презентации: ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: Решение

Тогда

Изображение слайда