Презентация на тему: ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Перво Ó бразная:
Пример:
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример:
Неопределённый интеграл:
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Свойства неопределённого интеграла
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Таблица неопределенных интегралов
Таблица неопределенных интегралов (для замены переменной х на u )
Таблица неопределенных интегралов
Таблица неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования подстановкой
Метод интегрирования по частям
Теоремы
Интегрирование рациональных выражений
Пример 1. Вычислить интеграл
Пример 2. Вычислить интеграл
Пример 3. Вычислить интеграл
Пример 4. Вычислить интеграл
Пример 5. Вычислить интеграл
Пример 6. Вычислить интеграл
Пример 7. Вычислить интеграл
Пример 8. Вычислить интеграл
Пример 9. Вычислить интеграл
Пример 10. Вычислить интеграл
1/33
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 69)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1321 Кб)
1

Первый слайд презентации: ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Изображение слайда
2

Слайд 2: Перво Ó бразная:

Задача дифференциального исчисления (предыдущая тема) : по данной функции найти её производную. Задача интегрального исчисления : найти функцию, зная её производную. Функция F( x ) называется первообразной для функции f( x ) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство F ʹ( x ) = f ( x )

Изображение слайда
3

Слайд 3: Пример:

Найти первообразные для функций:

Изображение слайда
4

Слайд 4

Для всякой ли функции f(x) существует первообразная? Теорема. Если функция непрерывна на каком- нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Найти первообразную для функции f ( x )=4 x 3 : Т.о. функция f ( x )=4 x 3, х ∈ R имеет бесконечное множество первообразных.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Теорема. Если функция F( x ) является первообразной для функции f ( x ) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C, где C ∈ R. Геометрически: Первообразная F ( x ) + C представляет собой семейство кривых - интегральных, получаемых из каждой из них параллельным переносом вдоль оси ОУ. y x 0 С интегральная кривая

Изображение слайда
7

Слайд 7: Пример:

y x 0 -2 3 -5 Найти все первообразные функции f ( x ) = 2x и изобразить их геометрически. решение: 1) Исходя из определения первообразной получим: 2) f ( x ) = 2x F ʹ(x) = f ( x ) 

Изображение слайда
8

Слайд 8: Неопределённый интеграл:

Множество всех первообразных F(x)+C функции f ( x ) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается символом, т.е

Изображение слайда
9

Слайд 9

– подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; - знак неопределённого интеграла; х – переменная интегрирования; F(x)+C – множество всех первообразных; С – постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел математики – интегральным исчислением.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Свойства неопределённого интеграла

1 0. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Изображение слайда
11

Слайд 11

Доказательство: То есть правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Равенство: верно, так как

Изображение слайда
12

Слайд 12

2 0. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.: Доказательство:

Изображение слайда
13

Слайд 13

3 0. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы ( разности ) двух или нескольких функций равен алгебраической суммы ( разности ) их интегралов, т.е.: Доказательство: воспользуемся свойством 1 0.

Изображение слайда
14

Слайд 14

4 0. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е Доказательство: воспользуемся свойством 1 0 :

Изображение слайда
15

Слайд 15: Таблица неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование – процесс обратный дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения формул дифференцирования и использования свойств неопределенного интеграла Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменой.

Изображение слайда
16

Слайд 16: Таблица неопределенных интегралов (для замены переменной х на u )

Изображение слайда
17

Слайд 17: Таблица неопределенных интегралов

Изображение слайда
18

Слайд 18: Таблица неопределенных интегралов

Изображение слайда
19

Слайд 19: Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путём применения к ним основных свойств неопределённого интеграла. При этом подынтегральную функцию обычно соответствующим образом преобразуют.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Метод интегрирования подстановкой

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки ). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае удачной подстановки) Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где функция имеющая непрерывную производную тогда На основании инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получим формулу интегрирования подстановкой Эта формула называется формулой интегрирования заменой переменой в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t к переменой x

Изображение слайда
21

Слайд 21: Метод интегрирования по частям

Формула где и функции имеющие непрерывные производные называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла. Что значительно проще вычисления исходного интеграла. Вообще сущность метода интегрирования по частям в том что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким либо образом в виде произведения двух сомножителей и после этого используется непосредственно формула интегрирования по частям.

Изображение слайда
22

Слайд 22: Теоремы

Корень многочлена – такое значение переменой при котором многочлен обращается в нуль Если корень многочлена то многочлен делится без остатка на - Многочлен степени Теорема 1 ( основная теорема ) Всякий многочлен имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный Теорема 2 Всякий многочлен можно представить в виде:

Изображение слайда
23

Слайд 23: Интегрирование рациональных выражений

Рассмотрим способы нахождения интегралов вида где и некоторые многочлены от переменой Простейшие случаи относятся к табличным таким как 1. 2. 3. 4.

Изображение слайда
24

Слайд 24: Пример 1. Вычислить интеграл

Изображение слайда
25

Слайд 25: Пример 2. Вычислить интеграл

Изображение слайда
26

Слайд 26: Пример 3. Вычислить интеграл

Изображение слайда
27

Слайд 27: Пример 4. Вычислить интеграл

Изображение слайда
28

Слайд 28: Пример 5. Вычислить интеграл

Изображение слайда
29

Слайд 29: Пример 6. Вычислить интеграл

Изображение слайда
30

Слайд 30: Пример 7. Вычислить интеграл

Изображение слайда
31

Слайд 31: Пример 8. Вычислить интеграл

Изображение слайда
32

Слайд 32: Пример 9. Вычислить интеграл

Изображение слайда
33

Последний слайд презентации: ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: Пример 10. Вычислить интеграл

Изображение слайда