Презентация на тему: Тема 2.3 Метод Ньютона. Метод Хорд

Тема 2.3 Метод Ньютона. Метод Хорд
Метод Ньютона (метод касательных)
Метод Ньютона (метод касательных)
Геометрический смысл метода
Геометрический смысл метода
Геометрический смысл метода
Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона
Метод Ньютона (метод касательных)
Задание
Метод хорд
Метод хорд
Метод хорд
Метод хорд
Метод хорд
Схема алгоритма уточнения корня методом хорд
Метод хорд
Задание
1/17
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 53)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (313 Кб)
1

Первый слайд презентации: Тема 2.3 Метод Ньютона. Метод Хорд

Изображение слайда
2

Слайд 2: Метод Ньютона (метод касательных)

При уточнении корня рассматриваемыми ниже методами касательных и хорд необходимо, чтобы значения f ( а ) и f ( b ) функции f на концах отрезка имели разные знаки и, кроме того, функция f имела непрерывные производные f' u f" с отличными от нуля и сохраняющими постоянный знак значениями при всех х  [ a ; b ].

Изображение слайда
3

Слайд 3: Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона основан на замене f ( x ) в точке начального приближения x=x 0 касательной, пересечение которой с осью Ox дает первое приближение x 1 и т. д. Таким образом, итерационный процесс схождения к корню реализуется формулой до тех пор, пока соблюдается условие | x n+1 –x n | ≤ e, где e — заданная погрешность вычисления корня.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Геометрический смысл метода

Геометрический смысл метода заключается в том, что приближения по нему равны абсциссам точек пересечения оси Ох и касательных к графику функции у=f ( x ).

Изображение слайда
5

Слайд 5: Геометрический смысл метода

Возьмем х 0 =b и проведем касательную к графику функции в точке В 0 ( х 0 ; f ( x 0 )). Ее уравнение: y–f ( x 0 ) = f' ( х 0 )( х–х 0 ). Касательная пересечет ось Ох при у= 0. Подставив у= 0 в уравнение, получим абсциссу точки пересечения Записав уравнение касательной к графику в точке В 1 (х 1, f(x 1 )), при у=0 получим

Изображение слайда
6

Слайд 6: Геометрический смысл метода

Каждый раз абсциссы точек пересечения касательных с осью Ох вычисляются по формуле причем всегда а < t ≤ х n+ 1 < х n ≤ b. Если f' и f" одного знака на отрезке [ a ; b ], следует брать х 0 = b, а если они разных знаков, то x 0 =a.

Изображение слайда
7

Слайд 7: Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона

Изображение слайда
8

Слайд 8: Метод Ньютона (метод касательных)

Пример. Найдем методом касательных приближение x 1 к корню t  [1;2] уравнения х 3 – х– 1=0. Поскольку f' ( x ) = 3 x 2 –1 > 0 и f" ( x )=6 х > 0 на [ a ; b ], то выбираем х 0 = 2. Рекуррентная формула: Подставим в правую часть х 0 и получим х 1 = 1,55.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Задание

Корень уравнения 1+ x – x 4 =0 изолирован на отрезке [1;2]. Вычислите приближения x 1, x 2 методом касательных.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Метод хорд

Пусть производные f' и f" имеют одинаковые знаки (обе положительные или обе отрицательные) на [ а ; b ]. Тогда f ( а )<0, f ( b )>0

Изображение слайда
11

Слайд 11: Метод хорд

Построим итерационную последовательность, взяв в качестве х 0 левый конец отрезка — число a. Соединим точки А 0 ( х 0 ; f ( x 0 )) и B ( b ; f ( b )) отрезком (хордой). Абсциссу точки пересечения хорды А 0 В с осью Ох возьмем в качестве х 1. Уравнение хорды:

Изображение слайда
12

Слайд 12: Метод хорд

Положив в этом уравнении у= 0, получим х=х 1. Следовательно, Далее напишем уравнение хорды, соединяющей точки А 1 ( х 1 ; f{x 1 )) и В ( b ; f ( b )), и при у= 0 получим х=х 2 (абсциссу точки пересечения хорды А 1 В с осью Ох ):

Изображение слайда
13

Слайд 13: Метод хорд

Продолжая подобным образом, получим итерационную последовательность, вычисляемую по рекуррентной формуле где в качестве x 0 выбран левый конец а отрезка [ a ; b ], a правый конец b этого отрезка остается неподвижным. Итерационный процесс схождения к корню продолжается до тех пор, пока соблюдается условие | x n+1 –x n | ≥ e, где e — заданная погрешность вычисления корня.

Изображение слайда
14

Слайд 14: Метод хорд

Если знаки f' и f" на [ а ; b ] различны, рекуррентная формула имеет вид: при этом надо брать x 0 =b (левый конец a неподвижен).

Изображение слайда
15

Слайд 15: Схема алгоритма уточнения корня методом хорд

Изображение слайда
16

Слайд 16: Метод хорд

Пример. Корень уравнения х 3 –х– 1=0 изолирован в отрезке [0;2], причем f (0)=–1 < 0, f (2)=5 > 0, однако на этом отрезке необходимые для применения метода хорд условия не выполняются, так как f' ( x ) = 3 х 2 – 1 меняет знак в точке, а f" ( х ) = 6 х =0 при х =0. Легко проверить, что на более узком отрезке изоляции [1;2] для уточнения корня применима рекуррентная формула с х 0 = 1. Запишем ее для данного уравнения и вычислим х 1. Здесь b =2, f ( b )=5, f ( x n ) =х n 3 –х n –1, поэтому Подставив x 0 =1, получим х 1 = 1,17.

Изображение слайда
17

Последний слайд презентации: Тема 2.3 Метод Ньютона. Метод Хорд: Задание

Убедитесь в применимости метода хорд для уравнения на отрезке [0,5;2] изоляции его корня и вычислите с тремя значащими цифрами приближения x 1, x 2.

Изображение слайда