Презентация на тему: Тема 12. Уравнения и неравенства

Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Алгоритм решения системы уравнений
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
Тема 12. Уравнения и неравенства
1/46
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 60)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (878 Кб)
1

Первый слайд презентации: Тема 12. Уравнения и неравенства

12.5. Решение неравенств с одной переменной. Системы и совокупности неравенств https://youtu.be/jDj1r4ltSdw

Изображение слайда
2

Слайд 2

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств

Изображение слайда
3

Слайд 3

Решить систему неравенств – значит найти все её частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).

Изображение слайда
4

Слайд 4

Решение системы неравенств – это пересечение решений неравенств, входящих в систему. Запомните! Решение системы неравенств – это пересечение решений неравенств, входящих в систему. Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной: 1. отдельно решить каждое неравенство; 2. найти пересечение найденных решений. Это пересечение и является множеством решений системы неравенств

Изображение слайда
6

Слайд 6

Пример 1. Решить систему неравенств Решение. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Решение первого неравенства помечено штриховкой снизу, второго неравенства – штриховкой сверху. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств, то есть промежуток, на котором обе штриховки совпали. В итоге получаем полуинтервал от семи вторых до шести, включая шесть.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Пример 2. Решить систему неравенств Решение. Решим первое неравенство — х 2 +х-6>0 Рассмотрим функцию у= х 2 +х-6 Нули функции: х 1 = -3, х 2 =2. Изображая схематически параболу, найдем, что решением первого неравенства является объединение открытых числовых лучей у>0 при х ∈(-∞;-3) U(2;+∞).

Изображение слайда
8

Слайд 8

Пример 2. Решить систему неравенств Решение. х 2 + х + 6 > 0 ; у = х 2 + х + 6; D = –23 < 0; y x Рассмотрим функцию у= х 2 +х+6. Решим второе неравенство системы х 2 +х+6>0. Дискриминант равен D = -23<0, значит, функция не имеет нулей. Парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу, найдем, что решением неравенства является множество всех чисел

Изображение слайда
9

Слайд 9

Пример 2. Решить систему неравенств Решение. х 2 + х + 6 > 0 ; у = х 2 + х + 6; D = –23 < 0; Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы. Из рисунка видно, что решением системы является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности. Ответ: объединение открытых числовых лучей от минуса бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Изображение слайда
10

Слайд 10

Пример 3. Решить систему неравенств log 2 (х 2 – 13х + 42) ≥ 1. Решение. х 2 – 13х + 40 > 0; х 2 – 13х + 42 > 0 ; х 2 – 13х + 42 ≥ 2 ; ОДЗ неравенства задается условием х 2 -13х +42>0 Представим число один как логарифм двух по основанию два и получим неравенство — log 2 (х 2 -13х +42)≥1 Видим, что основание логарифма равно двум больше одного, то приходим к равносильному неравенству log 2 (х 2 -13х +42)≥ log 2 2. Следовательно, решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы двух квадратных неравенств. Причем легко заметить, если выполнено второе неравенство, то тем более выполняется первое неравенство. Поэтому первое неравенство – следствие второго, и его можно отбросить. Второе неравенство преобразуем и запишем в виде: икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок больше нуля. Решением его является объединение двух числовых лучей х∈(-∞;5] U[8;+∞) Ответ: объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности. открытых числовых лучей

Изображение слайда
11

Слайд 11

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.

Изображение слайда
12

Слайд 12

Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств. Запомните! Решение совокупности неравенств – объединение решений неравенств, входящих в совокупность. Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Алгоритм решения совокупности неравенств: 1. отдельно решить каждое неравенство; 2. найти объединение найденных решений. Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Пример 4. Решить совокупность неравенств Решение. Решение Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств Для первого неравенства множеством решений служит промежуток от семи третьих до плюс бесконечности, а для второго – промежуток от одной четвертой до плюс бесконечности. Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам икс больше семи третьих и икс больше одной четвертой. Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности. Ответ: открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Изображение слайда
16

Слайд 16

Пример 5. Решить совокупность неравенств Решение. (2; +∞); Ответ: (2; +∞). Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств: икс больше двух и икс больше либо равно четырем. Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам. Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности. Ответ: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Тема 12. Уравнения и неравенства

12.6. Решение неравенств с одной переменной. Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем https://youtu.be/3_w-X34vGWw

Изображение слайда
18

Слайд 18

Рассмотрим решение неравенства

Изображение слайда
19

Слайд 19

1. ОДЗ: f (х) ≥ 0 ; 2. g(х) > 0. При g(х) ≤ 0 неравенство не имеет решения. 1) ОДЗ неравенства задается условием f (х)≥0. 2) правая часть первого неравенства должна быть положительной, то есть g (х)>0. При g (х)≤0 неравенство (1) не имеет решения 3. обе части первого неравенства неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат при этом знак неравенства сохраняется): f (х) < g 2 (х). Таким образом, данное иррациональное неравенство равносильно системе неравенств

Изображение слайда
20

Слайд 20

Решение. х 2 – х – 2 > 0 ; х 1 = – 1, х 2 = 2 ; Это неравенство равносильно системе неравенств Выполним преобразования в первом и третьем неравенствах Решим квадратное неравенство Графически. Для этого найдем корни квадратного трехчлена Геометрическая модель помогает найти решение неравенства

Изображение слайда
21

Слайд 21

Решение. х 1 = –2, х 2 = 7; Это неравенство равносильно системе неравенств Выполним преобразования в каждом неравенстве системы, получим систему, в которой Решим квадратное неравенство графическим способом. Вычислим корни квадратного трехчлена

Изображение слайда
22

Слайд 22

3.

Изображение слайда
23

Слайд 23

Решение. х ∈ ( – ∞; –2 ). х 1 = – 2, х 2 = 1; Решение Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: Первая система : три минус икс больше либо равно нулю, икс минус один меньше нуля; Вторая система : икс минус один больше либо равно нулю, три минус икс больше квадрата разности икс и единицы. Решим первую систему неравенств икс меньше либо равно трем, икс меньше единицы. Решением является открытый числовой луч от минус бесконечности до единицы. Решим вторую систему неравенств. Решением является полуинтервал от единицы до двух, включая один. Решением совокупности системы неравенств является объединение двух открытых лучей — это открытый луч от минус бесконечности до двух. Решение данного иррационального неравенства — открытый луч от минус бесконечности до двух. Ответ: открытый луч от минус бесконечности до двух.

Изображение слайда
24

Слайд 24

Решение. х ∈ ( 2 ; + ∞) ; х ∈ ( – ∞; –2 ) ; х 1 = – 2, х 2 = 1; Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств

Изображение слайда
25

Слайд 25: Тема 12. Уравнения и неравенства

12.7. Решение систем уравнений второй степени https://youtu.be/9uV7TPwLpTI

Изображение слайда
26

Слайд 26

Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя переменными, составленные из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки.

Изображение слайда
27

Слайд 27

Для этого выполняют следующий алгоритм действий: — выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую; — подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате приходят к уравнению с одной переменной; — решают получившееся уравнение с одной переменной; — находят соответствующие значения второй переменной.

Изображение слайда
28

Слайд 28

Пример 1 : Решить систему уравнений Решение: Ответ: (-1, 25 ; 0,75 ) ; (1,6; - 0,2) Выразим из второго уравнения переменную х через у Подставим это выражение в первое уравнение вместо х После упрощения получим равносильное уравнение Соответствующие значения х можно найти, подставив найденные значения у в одно из уравнений системы

Изображение слайда
29

Слайд 29

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти её решения обычно трудно. В отдельных случаях такие системы можно решить способом подстановки или способом сложения.

Изображение слайда
30

Слайд 30

Пример 2: Решить систему уравнений Решение: Ответ: (-2 ; -1) ; ( 2 ; 1) x ≠ 0

Изображение слайда
31

Слайд 31: Тема 12. Уравнения и неравенства

12.8. Системы уравнений https://youtu.be/RJg-GrAcv10

Изображение слайда
32

Слайд 32

Метод подстановки ; метод алгебраического сложения ; метод введения новых переменных ; графический метод. Для решения систем уравнений с двумя переменными использовались такие способы:

Изображение слайда
33

Слайд 33

Если поставлена задача – найти такие пары (х; у), которые одновременно удовлетворяют уравнению р(х; у) = 0 и уравнению q (х; у) = 0, то говорят, что данные уравнения образуют систему уравнений р(х; у) =0, q (х; у) =0.

Изображение слайда
34

Слайд 34

Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Изображение слайда
35

Слайд 35

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что решений нет.

Изображение слайда
36

Слайд 36

р(х; у; z ) =0 q (х; у; z ) =0 r (х; у; z ) =0 Система трех уравнений с тремя неизвестными При этом надо найти тройки х; у; z удовлетворяющие каждое уравнение системы. Вообще, можно говорить о системах с любым количеством уравнений и неизвестных.

Изображение слайда
37

Слайд 37: Алгоритм решения системы уравнений

постепенный переход от сложного уравнения к более простому, но при этом выполнять равносильные преобразования. стремиться получить хотя бы одно линейное уравнение, а если происходит переход к уравнению-следствию, то обязательна проверка корней.

Изображение слайда
38

Слайд 38

Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или решений не имеют.

Изображение слайда
39

Слайд 39

метод подстановки ; метод алгебраического сложения ; введения новых переменных. Равносильные способы решения систем уравнений:

Изображение слайда
40

Слайд 40

возведение в квадрат обеих частей уравнения ; умножение уравнений системы ; преобразования, приводящие к расширению области определения. Проверка решений их подстановкой в исходную систему обязательна. Неравносильные преобразования: Запомните!

Изображение слайда
41

Слайд 41

Пример 1. Решить систему уравнений х + у + 2 z = 4, 2х + у + z =1, х + 2у + z =3. Решение. 4х + 4у + 4 z = 8 ; х + у + z = 2 ; х + (х + у + z ) = 1 ; х + 2 = 1 ; х = – 1 ; (х + у+ z ) + у = 3 ; 2 + у = 3 ; у = 1 ; (х + у + z ) + z = 4 ; 2+ z = 4 ; z = 2 ; Ответ: ( – 1; 1; 2). Обратите внимание на рациональность решения системы. Сложим все три уравнения( это равносильное преобразование) и получим:4х+4у+4 z =8. Разделим почленно обе части уравнения на четыре, получим; х+у+ z =2 Из второго уравнения системы имеем: х+( х+у+ z )=1 Из третьего уравнения получаем: (х+у+ z )+у=3 Из первого уравнения имеем: ( х+у+ z )+ z =4 Итак, система уравнений имеет единственное решение (-1;1;2).

Изображение слайда
42

Слайд 42

Пример 2. Решить систему уравнений х + у = 1, log 3 х = log 3 (1 – у). Решение. log 3 х = log 3 х ; х = α (α > 0) ; у = 1 – α ; Ответ: (α; 1 – α), α > 0. у = 1 – x, log 3 х = log 3 х ; Выразим y через x из первого уравнения системы и, подставляя его вместо y во второе уравнение, у = 1 – x ; получаем уравнение: log 3 х= log 3 (1-у). Решениями этого уравнения являются все положительные числа. Каждому такому значению х = α (α > 0), соответствует значение у = 1 – α. Следовательно, решениями исходной системы являются все пары чисел α и 1 – α, где α — положительное число. Способ подстановки – равносильное преобразование. Ответ: пара чисел: альфа и один минус альфа, где альфа — положительное число

Изображение слайда
43

Слайд 43

Пример 3. Решить систему уравнений Решение. (1; 1), ( – 1; – 1) ;

Изображение слайда
44

Слайд 44

Задание 3 Решить систему уравнений: игрек квадрат плюс два икс игрек минус три икс квадрат равно нулю и игрек квадрат плюс три икс в квадрате равно четырем. Решение Можно заметить, что первое уравнение системы – однородное. Считая игрек неизвестной величиной, а икс – постоянной, решим его. Получим: игрек первое равно икс и игрек второе равно минус три икс. Тем самым мы получили линейные уравнения. Исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений: первая система состоит из уравнений: игрек равен икс, игрек квадрат плюс три икс в квадрате равно четырем. Вторая система состоит из уравнений: игрек равен минус три икс, игрек квадрат плюс три икс в квадрате равно четырем. Решения первой системы — пара чисел: один и один и пара чисел: минус один, минус один. Вторую систему решаем способом подстановки. Решениями системы является пара чисел: один, деленное на квадратный корень из трех и минус квадратный корень из трех, вторая пара: минус один, деленное на квадратный корень из трех и квадратный корень из трех. При решении исходной системы все преобразования были равносильными, поэтому проверка не нужна. Ответ: пара чисел: один и один; пара чисел: минус один, минус один; пара чисел: один, деленное на квадратный корень из трех, и минус квадратный корень из трех; пара: минус один, деленное на квадратный корень из трех, и квадратный корень из трех.

Изображение слайда
45

Слайд 45

Пример 4. Решить систему уравнений Решение. Ответ: (1; 0). (1; 0), ( – 2; 3) ; х = – 2, у = 3 : Проверка. 1 = 1 – верное равенство ; – неопределён ;

Изображение слайда
46

Последний слайд презентации: Тема 12. Уравнения и неравенства

Задание 4 Решить систему уравнений Первое уравнение – икс плюс игрек равно единице. Второе — два икс в квадрате плюс два квадратных корней из икс минус икс равно игрек в квадрате минус один плюс два, умноженное на один плюс квадратный корень из икс. Решение Выразим игрек из первого уравнения и подставим во второе, перенесем во втором уравнении все члены в левую часть и, приведя подобные слагаемые, получим систему уравнений: игрек равен один минус икс и икс в квадрате плюс икс минус два равно нулю. Решением системы является пара чисел: один и ноль и пара чисел: минус два и три. Эта система является следствием исходной, поэтому проверка обязательна. Проверка Проверим подстановкой в исходную систему уравнений, является ли каждая пара чисел решением данной системы. Проверим первое уравнение. Если икс равен единице, игрек равен нулю, то получаем верное равенство, и во втором уравнении получаем верное равенство. Значит, пара чисел: один и ноль — решение системы. Проверяем вторую пару чисел: минус два и три. Если икс равен минус двум, игрек равен трем, то первое уравнение системы — верное равенство. А второе уравнение неверно, так как квадратный корень из минус двух не определён, поэтому пара чисел: минус два и три не является решением системы. Ответ: пара чисел: один и ноль.

Изображение слайда