Презентация на тему: Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через

Реклама. Продолжение ниже
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через
1/19
Средняя оценка: 4.7/5 (всего оценок: 99)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (924 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации

Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через заданные погрешности аргументов. Пусть u=f(x 1,x 2,…,x n ) – дифференцируемая функция, Δ x i - погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность функции Тогда можно записать: (1) Отсюда для предельной абсолютной погрешности функции получаем: Оценка относительной погрешности u : // обе части неравенства (1) делим на u Следовательно, предельная относительная погрешность функции u : Тема: Прямая задача теории погрешности

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2

Прямая задача теории погрешности. Пример. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности объёма шара , если диаметр d = 3,7 см ±0,05 см, а π  3,14.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
3

Слайд 3

Суть - оценивание погрешностей аргументов произвольной функции нескольких переменных, обеспечивающих заданную или меньшую погрешность функции. В такой постановке задача некорректна, так как допускает множество разных решений. Нужны дополнительные предположения. Принцип равных влияний. Все частные дифференциалы вносят одинаковый вклад в образование общей абсолютной погрешности функции. Пусть величина абсолютной погрешности функции Δ u задана. Воспользуемся формулой предыдущего раздела: Согласно принципу равных влияний: Отсюда получаем: ( 2 ) Обратная задача теории погрешности

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4

Обратная задача теории погрешности. Пример.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
5

Слайд 5

Тема: Вычисление значений функций 2. Вычисление значения алгебраического полинома. Схема Горнера. Рассмотрим полином Наша задача – найти значение этого полинома при x = ξ. То есть вычислить Для рационального вычисление перепишем P (  ) в виде Отсюда легко сконструировать нужную последовательность вычислений, начиная с самых внутренних скобок: b 0 =a n ; b 1 =a n-1 +b 0 ξ ; b 2 =a n-2 +b 1 ξ ; ……… b n-1 =a 1 +b n-2 ξ ; b n =a 0 +b n-1 ξ.  это искомое значение:.

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

Сравним эффективность предложенного варианта вычислений (схемы Горнера) с прямым вычислением «в лоб». В качестве критерия будем использовать количество операций умножения. При вычислении по формуле нам потребуется выполнить 1+2+3+…+ n = n ( n +1)/2 операций умножения. А по схеме Горнера только n операций. Вычисление значений функций. Схема Горнера.

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

Тема: Вычисление значений функций Покажем, что числа являются коэффициентами полинома Q ( x ), полученного в качестве частного при делении данного полинома P ( x ) на двучлен x - .

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных сумм, где. Задача. Найти сумму S сходящегося числового ряда с нужной точностью ε ( ε – абсолютная погрешность). Решение. Сумма сходящегося ряда всегда представляется в виде: где S n – n - ая частичная сумма, R n – остаток ряда, причем при. Остаток ряда характеризует остаточную погрешность. Источники погрешности при суммировании сходящегося ряда: 1.остаточная погрешность, 2. погрешность вычисления самих элементов ряда, 3. погрешность при округлении результата. Процедура вычислений такова. Выбираем три положительных числа ε 1, ε 2, ε 3, таких, что ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε. Количество ‘n’ слагаемых в частичной сумме S n выберем столь большим, чтобы остаточная погрешность |R n | ≤ ε 1. Вычисление значений функций. 2. Приближенное суммирование числовых рядов

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9

Процедура вычислений. Выбираем три положительных числа ε 1, ε 2, ε 3, таких, что 1) остаточная погрешность ( ε 1 ) : Количество ‘ n ’ слагаемых в частичной сумме S n выберем столь большим, чтобы остаточная погрешность 2) погрешность вычисления самих элементов ряда ( ε 2 ) : Каждое из слагаемых a i частичной суммы вычисляем с предельной абсолютной погрешностью, не превышающей и пусть - соответствующие приближенные значения членов ряда, и выполняется: Вычисление значений функций. 2. Приближенное суммирование числовых рядов

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10

Тогда для частичной суммы погрешность действий (суммирования) удовлетворяет неравенству 3) Погрешность при округлении результата ( ε 3 ). Результат округлим до так, чтобы для погрешности округления результата выполнялось соотношение: При выполнении такой процедуры суммирования ряда, полученный результат будет соответствовать искомой сумме с погрешностью не более ε. В самом деле, Разбиение числа  на положительные слагаемые чаще всего производят следующим образом:

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

Теорема 1. Если члены ряда представляют собой соответствующие значения положительной монотонно убывающей функции f(x), то есть , тогда Теорема 2. Если ряд знакочередующийся и модули его членов монотонно убывают, тогда

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
12

Слайд 12

Найти сумму ряда с точностью 0,004. Решение. Округлять результат и слагаемые не будем. Тогда погрешность вычисления суммы равна остаточной погрешности: Члены ряда представляют собой значения монотонно убывающей функции Поэтому для n - го остатка ряда имеем оценку (по теореме 1): Решая неравенство: Получим Следовательно, n =45. Вычисление значений функций. 2. Приближенное суммирование числовых рядов Пример.

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13

Функция f ( x ) аналитическая в точке x = ξ, если в окрестности этой точки она разлагается в ряд Тейлора, то есть ее можно представить в виде (1) Остаточный член разложения R n ( x ) представляет собой ошибку при замене функции отрезком ряда Тейлора: Для остаточного члена существует несколько форм представления. Одна из них такая Вычисление значений функций. 3. Вычисление значений аналитических функций

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14

Если f ( ξ ) известно и требуется найти значение f ( ξ + h ), где h – «малая поправка», то формулу (1) выгодно записать в виде: где Вычисление значений функций. 3. Вычисление значений аналитических функций

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15

Вычисление экспоненты ( е х ). Известно из курса математического анализа, что экспоненциальная функция в окрестности точки 0 разлагается в ряд Тейлора вида: Остаточный член этого ряда имеет вид: Непосредственно в таком виде использовать представление экспоненты неэффективно, так как х n +1 сильно растет, когда |x|>1. Для достижения требуемой точности придется использовать много членов разложения (большая трудоемкость). Для обхода этих затруднений предлагается следующая процедура. Представим аргумент х в виде: х = Е ( х ) + q, Е ( х ) – целая часть числа х, q – дробная часть (| q |<1 ). Тогда

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
17

Слайд 17

Число е = 2.71828182… известно с очень высокой точностью. Поэтому величину е Е(х) = е*е*е*…*е можно считать вычисляемой с какой угодно точностью. Второй сомножитель е q будем вычислять, пользуясь разложением в ряд Тейлора. Очевидно, что при |q|<1 сходимость ряда будет быстрой, то есть потребуется мало членов разложения. Для величины остаточного члена можно получить более точную оценку. В самом деле, по определению остатка, можем записать

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18

Если учесть, что, то получим Если обозначить, u n - последний сохраненный член частичной суммы, тогда для остаточного члена можно записать Если нам задана остаточная погрешность ( ε r ), тогда количество слагаемых частичной суммы ряда легко определить в процессе вычисления. Находить новые слагаемые и суммировать их можно прекратить, как только для очередного слагаемого выполниться условие

Изображение слайда
1/1
19

Последний слайд презентации: Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных через

Таким образом вычисление экспоненциальной функции сводится е х = u 0 + u 1 + u 2 +…+ u n, где u 0 =1, u k = xu k-1 /k. Предложенный ранее вариант определения количества слагаемых можно уточнить (дать более точные условия прекращения суммирования) если предположить, что выполняются следующие нежесткие условия, а именно: n ≥ 2 |x| >0. В этом случае С учетом принятого предположения, вторая дробь не может быть больше 2 Тогда, Отсюда вывод, процесс суммирования можно прекратить, если последний вычисленный член u n по модулю не превосходит ε r, то есть |u n |< ε r.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже