ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (дневное обучение) Модуль: М-09 Специальности: - математические методы в экономике; - финансы и кредит; - менеджмент Профессор: В.М.Дуплякин Самара - 2012 В.М.Дуплякин
2 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Определение. Случайные величины в своей совокупности образуют систему, если свойства этой совокупности невозможно выяснить, исследуя свойства отдельных величин, входящих в данную систему Близкий, но не адекватный синоним: случайный вектор.
3 Примеры систем случайных величин В.М.Дуплякин 1. ( X, Y ) X – рост человека, Y- вес. 2. ( X 1, Х 2 ) X 1 – месячный фонд заработной платы в некоторой фирме; Х 2 – стоимость закупок сырья в течение месяца.
4 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Определение. Функцией системы двух случайных величин ( X, Y ) называется функция, которая определяет вероятность совместного выполнения двух неравенств Примечание. Здесь рассматривается логическое умножение, т.е. логическое «и », обозначаемое зачастую как &.
5 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН при неограниченном изменении аргументов В.М.Дуплякин
6 ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН при заданной области изменения аргументов В.М.Дуплякин
7 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин
8 В.М.Дуплякин М
9 В.М.Дуплякин М
10 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин
11 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин
12 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Вероятность попадания случайной точки M ( X, Y ) в прямоугольную область R, ограниченную абсциссами a, b и ординатами g, d. В.М.Дуплякин
13 В.М.Дуплякин
14 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин
15 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Что мы получили? Как это называется в математике?
16 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Если функция F ( x,y ) не только непрерывна, но и дифференцируема, то получим выражение для плотности распределения системы в виде, т.е. формально плотность вероятности системы двух случайных величин равна второй смешанной частной производной от функции распределения. А по существу?
По существу: Плотность вероятности системы двух случайных величин представляет собой предел отношения вероятности попадания на некоторую элементарную площадку к площади этой площадки А вычисляется она как вторая смешанная частная производная от функции распределения. 17 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин
18 СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Определение вероятности попадания в произвольную область D с использованием плотности вероятности D
19 СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Определение вероятности попадания в произвольную прямоугольную область R с использованием плотности вероятности
20 СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Это свойство следует из того, что плотность вероятности является пределом отношения двух положительных величин, а именно
21 СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Это свойство заключается в том, что любая точка со случайными координатами принадлежит ничем неограниченной плоскости с вероятностью равной единице (достоверное событие). Примечание. Такое свойство ещё называется нормировкой.
22 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН, ВХОДЯЩИХ В СИСТЕМЫ В.М.Дуплякин ? ?
23 В.М.Дуплякин
24 В.М.Дуплякин Вывод : Из законов распределения системы случайных величин можно получить законы распределения отдельных величин, входящих в данную систему. Вопрос : Можно ли решить обратную задачу – построить закон распределения системы по законам распределения отдельных случайных величин, входящих в данную систему ?
25 В.М.Дуплякин Ответ : В общем случае это невозможно, т.к. для этого требуется так называемый условный закон распределения.
26 Условный закон распределения В.М.Дуплякин Определение. Условным законом распределения величины Х, входящей в систему ( Х, Y ), называется её закон распределения, найденный при условии, что другая величина Y приняла определённое значение y.
27 УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин
Функционально ЗАВИСИМЫЕ величины 28 ЗАВИСИМЫЕ и НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В.М.Дуплякин НЕЗАВИСИМЫЕ величины СЛУЧАЙНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗАВИСИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
29 ЗАВИСИМЫЕ и НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В.М.Дуплякин Условие статистической независимости случайных величин: Условие статистической зависимости случайных величин: Следствие для статистически независимых случайных величин:
30 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В.М.Дуплякин Начальные моменты порядка k, s (характеристики положения) Центральные моменты порядка k, s (характеристики рассеивания)
31 Формулы для вычисления моментов дискретных случайных величин В.М.Дуплякин
32 Формулы для вычисления моментов непрерывных случайных величин В.М.Дуплякин
33 ПЕРВЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ В.М.Дуплякин Первые начальные моменты представляют собой математические ожидания величин, входящих в систему
34 ПЕРВЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ В.М.Дуплякин Первые центральные моменты всегда равны нулю
35 ВТОРЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ В.М.Дуплякин Вторые центральные моменты представляют собой дисперсии величин, входящих в систему
36 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЗАИМОСВЯЗИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ В.М.Дуплякин Особую роль при анализе систем случайных величин играет смешанный центральный момент, который получил название «корреляционный момент» Формулы для вычислений корреляционного момента: А. Дискретные случайные величины Б. Непрерывные случайные величины
37 Частные случаи корреляционного момента – перерождение в дисперсии В.М.Дуплякин
38 Свойства корреляционного момента В.М.Дуплякин Корреляционный момент характеризует взаимосвязь между случайными величинами : Если корреляционный момент положительный, то это свидетельствует о склонности к положительному взаимодействию, когда с ростом одной величины, другая обычно тоже увеличивается. Если корреляционный момент отрицательный, то с ростом одной величины, другая обычно уменьшается. Если случайные величины статистически независимы, то корреляционный момент равен нулю.
39 Доказательство равенства нулю корреляционного момента для статистически независимых случайных величин В.М.Дуплякин Если X и Y статистически независимы, то плотность вероятности системы этих величин может быть представлена в виде произведения Воспользуемся формулой корреляционного момента Примечание. Аналогичный результат имеет место и для дискретных сл. величин.
40 В.М.Дуплякин Примеры изменения корреляционного момента
41 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ В.М.Дуплякин Корреляционный момент в качестве меры склонности к взаимодействию между случайными величинами имеет ряд недостатков: Реагирует на изменение дисперсии. Численные значения зависят от масштаба измерения случайных величин.
42 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ В.М.Дуплякин Чтобы избавиться от недостатков корреляционного момента, вводится корреляционный коэффициент Он не зависит от дисперсии X и Y, являясь индикатором только лишь уровня взаимодействия рассматриваемых случайных величин.
43 В.М.Дуплякин Уточнение. Корреляционный коэффициент, так же как и корреляционный момент, отражает склонность именно к линейному взаимодействию.
44 Свойства корреляционного коэффициента В.М.Дуплякин 1. Интервал всех возможных значений 2. Статистически независимые случайные величины 3. Детерминированная линейная возрастающая зависимость 4. Детерминированная линейная убывающая зависимость
45 Примеры корреляции случайных величин В.М.Дуплякин
46 СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И НЕКОРРЕЛИРОВАННОСТЬ В.М.Дуплякин Статистически независимые случайные величины всегда некоррелируемы. Некоррелированные сл. величины, как правило, статистически независимы (исключения имеют весьма искусственный характер). Следствие. На практике, именно по отсутствию корреляции, судят о статистической независимости, хотя это и не вполне корректно.
47 КОНЕЦ МОДУЛЯ М-09 ЗАВЕРШЕНИЕ КУРСА ! ВПЕРЕДИ ИТОГОВОЕ СЕМЕСТРОВОЕ ОЦЕНИВАНИЕ !! Надеюсь, что изучение курса теории вероятностей не только обеспечит усвоение методик статистического анализа выборочных данных, но и укрепит здоровый оптимизм, поскольку теперь ясно, что в будущем для любого неприятного события существует вероятность весьма благоприятного противоположного события! УСПЕХОВ !!! В.М.Дуплякин
Slide-Share