Презентация на тему: Решение уравнений и систем уравнений

Решение уравнений и систем уравнений Постановка задачи Метод деления отрезка пополам Численное решение СЛАУ. Постановка задачи Прямые методы Прямые методы Прямые методы Итерационные методы Определения Достаточное условие сходимости метода простой итерации Критерий сходимости метода простой итерации Численное решение нелинейных уравнений и систем уравнений Сжимающее отображение. Определения Теоремы о сжимающем отображении Теоремы о сжимающем отображении Метод Ньютона
1/16
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 36)
Скачать (213 Кб)
Код скопирован в буфер обмена
1

Первый слайд презентации: Решение уравнений и систем уравнений

1

2

Слайд 2: Постановка задачи

2 Задана система уравнений: Функции могут иметь произвольный вид: Могут быть линейными Не линейными Не заданными аналитически Ex 1. Ex 2. Ex 2. (1)

3

Слайд 3: Метод деления отрезка пополам

3 Th.1 Алгоритм: Определить координату точки с - середины [a, b] и вычислить значение f(c) Если sgn [f(c)]= sgn [f(a)], то переносим точку а в с. Если sgn [f(c)]= sgn [f(b)], то переносим точку b в с. Повторяем до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность: a b f( b) f( a) c

4

Слайд 4: Численное решение СЛАУ. Постановка задачи

4 - невырожденная квадратная матрица - вектор-столбец решений - вектор-столбец правой части (2)

5

Слайд 5: Прямые методы

5 - определитель матрицы, полученной заменой в А i - го столбца на столбец правой части Прямой ход: исключением из всех уравнений, начиная со второго, x1, начиная с третьего – х2, … сводим матрицу А к треугольной Метод Крамера Метод Гаусса Обратный ход: определение элементов вектора x, начиная с последнего (3) (4)

6

Слайд 6: Прямые методы

6 Метод Гаусса. LU- разложение. Это представление матрицы А называется LU - разложением. Прямой ход метода Гаусса является LU - разложением. (5)

7

Слайд 7: Прямые методы

7 Метод Гаусса. LU- разложение. Если все главные миноры А отличны от 0, то существует LU - разложение А Если А представима в виде LU - разложения, то Th. 2 (6)

8

Слайд 8: Итерационные методы

8 Метод простой итерации Алгоритм: Выбрать произвольный вектор x 0 (обычно выбирают нулевой вектор) Рассчитать элементы итерационной последовательности по формуле Если предел итерационной последовательности существует, говорят о сходимости итераций (7) (8)

9

Слайд 9: Определения

9 Def.1. Норма вектора Def. 2. Норма матрицы Def. 3. Собственные числа и собственные векторы Пусть. Тогда х – собственный вектор, - собственное число

10

Слайд 10: Достаточное условие сходимости метода простой итерации

10 Th. 3 Итерационный процесс (8) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии, если выполняется условие Доказательство - точное решение q.e.d.

11

Слайд 11: Критерий сходимости метода простой итерации

11 Th. 4 Для сходимости итерационного процесса необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы В по абсолютной величине были меньше единицы Следствие из Th.3 - заданная точность. Число итераций Число вычислительных операций для итерационного алгоритма, а для метода Гаусса. В реальных задачах I<<n, поэтому метод итераций, как правило, предпочтительнее (9)

12

Слайд 12: Численное решение нелинейных уравнений и систем уравнений

12 Система нелинейных уравнений путем эквивалентных преобразований может быть представлена в виде (10) (11) Поставим в соответствие системе (11) итерационный процесс, т.е. процесс последовательного приближения к решению ( 12)

13

Слайд 13: Сжимающее отображение. Определения

13 Def. 4. Отображение – правило, по которому каждому элементу х некоторого множества Х ставится в соответствие элемент y множества Y ( X может совпадать с Y ). При этом говорят, что отображение действует из множества X в Y. Если множества X и Y совпадают, то отображение преобразует множество Х в себя Def. 5. Область Ω называется выпуклой, если Ex.4. не выпуклая область в ыпуклая область Def. 6. Отображение в замкнутой выпуклой области Ω сжимающее, если - расстояние между элементами множества

14

Слайд 14: Теоремы о сжимающем отображении

14 Th. 5. ( Принцип сжимающих отображений) Всякое сжимающее отображение имеет одну и только одну неподвижную точку Th. 6. Последовательность, порожденная итерационным процессом сходится к решению системы уравнений, если отображение является сжимающим. При этом справедливо: Доказательство D ef.6 q.e.d.

15

Слайд 15: Теоремы о сжимающем отображении

15 Th.7. ( Принцип сжимающих отображений) Пусть - выпуклая область. Пусть компоненты F имеют непрерывные производные первого порядка. Пусть норма матрицы Якоби Тогда отображение v = F ( u ) – сжимающее в области Ω

16

Последний слайд презентации: Решение уравнений и систем уравнений: Метод Ньютона

16 Построим итерационную последовательность, исходя из следующих соображений.

Похожие презентации

Ничего не найдено