Презентация на тему: Равносильные уравнения и неравенства

Равносильные уравнения и неравенства
Два неравенства f 1 (x)>g 1 (x) и f 2 (x)>g 2 (x) или два уравнения f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) называются равносильными, если каждое решение первого
Неравенства (уравнения) называются равносильными на Х, если множество решений этих неравенств (уравнений) совпадают
Определение 1.
Например:
Равносильные уравнения и неравенства
Преобразования уравнений:
Однако, не при любом преобразовании уравнение заменяется на равносильное.
Определение 2.
Из этого определения и определения равносильности уравнений следует:
Примеры равносильных уравнений и неравенств
Перенос членов уравнения (неравенства) из одной части в другую
Умножение или деление обеих частей уравнения(неравенства) на одно и то же число,отличное от нуля.
Замена части уравнения (неравенства) тождественно равным ему выражением
Решить уравнение
Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения
Корень x=1 второго уравнения не является корнем первого уравнения. Его называют посторонним корнем. Потеря корней может произойти при делении обеих частей
1/17
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 18)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (156 Кб)
1

Первый слайд презентации: Равносильные уравнения и неравенства

Изображение слайда
2

Слайд 2: Два неравенства f 1 (x)>g 1 (x) и f 2 (x)>g 2 (x) или два уравнения f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) называются равносильными, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству Х, является решением второго, и, наоборот

Изображение слайда
3

Слайд 3: Неравенства (уравнения) называются равносильными на Х, если множество решений этих неравенств (уравнений) совпадают

Изображение слайда
4

Слайд 4: Определение 1

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными

Изображение слайда
5

Слайд 5: Например:

Уравнения 9x-5=5x+3 и 4x=8 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень x=2. Уравнения ( x-3)(x+7)=0 и x 2 +4x-21=0 также равносильны, так как они имеют одни и те же корни x 1 =3, x 2 =-7. Уравнения 2x=4 и 3x 2 =12 не равносильны, так как первое имеет корень x=2, а второе – корни x 1 =2, x 2 =-2.

Изображение слайда
6

Слайд 6

Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, если каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Изображение слайда
7

Слайд 7: Преобразования уравнений:

Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изменив его знак на противоположный; Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение.

Изображение слайда
8

Слайд 8: Однако, не при любом преобразовании уравнение заменяется на равносильное

Например: При возведении в квадрат обеих частей уравнения √ x=x-2 получается уравнение x=(x-2) 2, не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень x=4, а второе – два корня x 1 = 4, x 2 = 1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Определение 2

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Из этого определения и определения равносильности уравнений следует:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого; Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Примеры равносильных уравнений и неравенств

Изображение слайда
12

Слайд 12: Перенос членов уравнения (неравенства) из одной части в другую

Уравнения 4х – 3 = 2х + 5 и 4х – 2х = 5 + 3 Неравенства х 2 > 1 и x 2 – 1 > 0

Изображение слайда
13

Слайд 13: Умножение или деление обеих частей уравнения(неравенства) на одно и то же число,отличное от нуля

Уравнения х 2 /4 = 1 и х 2 = 4 (х 2 -4)(х 2 + 4) =0 и х 2 – 4 =0 Неравенства ( х-3 ) / ( х 2 +1 ) < 0 и х – 3 < 0

Изображение слайда
14

Слайд 14: Замена части уравнения (неравенства) тождественно равным ему выражением

Уравнения х 2 +3х = 0 и х (х+3) = 0 Неравенства х 2 + 2х + 2 > 0 и (x + 1) 2 + 1 > ) ; √x 2 – 3 <= 2 |x|- 3 <= 2

Изображение слайда
15

Слайд 15: Решить уравнение

√х = х – 2 (1) х = (х – 2) 2 (2) х = х 2 – 4х + 4 х 2 – 5х + 4 = 0 х 1 = 4, х 2 = 1 Уравнение (1) имеет только один корень х = 4, а (2) – два корня: х 1 = 4, х 2 = 1. Уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Изображение слайда
16

Слайд 16: Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения

Изображение слайда
17

Последний слайд презентации: Равносильные уравнения и неравенства: Корень x=1 второго уравнения не является корнем первого уравнения. Его называют посторонним корнем. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное

Изображение слайда