Презентация на тему: Простые числа

Простые числа Простые числа Например: Классификация натуральных чисел Свойства простых чисел Простые числа Простые числа Доказательство: Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Способ распознавания простых чисел: Простые числа Простые числа Простые числа Историческая справка Теорема Эвклида: Простые числа Простые числа Основная теорема арифметики. Простые числа Доказательство существования разложения Простые числа Простые числа Простые числа Единственность разложения составного числа на простые множители Доказательство: Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа Простые числа
1/47
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 41)
Скачать (195 Кб)
Код скопирован в буфер обмена
1

Первый слайд презентации: Простые числа

Лекция 8 2 курс

2

Слайд 2

Определение: Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

3

Слайд 3: Например:

Число 7 – простое. Число 2 – простое. (единственное простое четное число). Числа 3,11,19, 23, 11 3... являются простыми, так как эти числа имеют по два делителя. Число 1 ……?

4

Слайд 4: Классификация натуральных чисел

Основание классификации - признак: быть простым числом

5

Слайд 5: Свойства простых чисел

Свойство1. Если простое число p делится на натуральное число n, отличное от 1, то оно совпадает с n. Если p - простое, а Из того, что

6

Слайд 6

Доказательство: Предположим, что число p – простое, p ≠n, и делится на n. Тогда, по условию число р имеет три делителя: 1, n,p. Следовательно число p не простое. Противоречие. Значит наше предположение не верно, а верно то, что требовалось доказать.

7

Слайд 7

Свойство 2. Если p и g различные простые числа, то p не делится на g. Например: 7 и 13. 13 не делится на7 23 и 5. 23=5 · 4+3

8

Слайд 8: Доказательство:

Если p – простое число, то оно делится на 1 и p. По условию g- простое число, g ≠p, и g≠1. Поэтому g не является делителем p. Что и требовалось доказать.

9

Слайд 9

Свойство 3. Если натуральное число a не делится на простое число p, то a и p – взаимно простые. Например: 25 и 7; но 25:7 17 и 13; но 17:13 Гипотеза : наибольший общий делитель этих чисел равен 1.

10

Слайд 10

Доказательство: Пусть D(a;p)=d – наибольший общий делитель. Но p - простое число и не может делится на d, если d ≠p или d≠1 Тогда d=p или d=1 .

11

Слайд 11

Если d=p, то а кратно p. Это противоречит условию. Значит, d=1, тогда числа a и p – взаимно простые числа. Что и требовалось доказать.

12

Слайд 12

Свойство 4. Если произведение двух натуральных чисел (a ·b) делится на простое число p, то хотя бы одно из них делится на p. Например: (12 · 5) кратно3, так как 12 кратно 3, хотя 5 не кратно 3.

13

Слайд 13

Доказательство: Пусть a и p взаимно простые числа ( a не кратно p ). Тогда по свойству делимости произведения натуральных чисел, следует, что b кратно p. Что и требовалось доказать.

14

Слайд 14

Свойство 5. Если натуральное число больше 1, то оно имеет хотя бы один простой делитель. Например: 2 > 1 и 2= 2 · 1 27 >1 и 27= 3 · 9

15

Слайд 15

Доказательство: Предположим противное: пусть существуют натуральные числа, большие 1 и не имеющие ни одного простого делителя. Множество таких чисел обозначим символом А.

16

Слайд 16

Если все элементы множества А есть натуральные числа, большие 1. Значит во множестве А есть наименьший элемент. Обозначим его символом а. А= { а, в,с… }

17

Слайд 17

Число a>1, и оно либо простое, либо составное. Если a – простое, то оно не может принадлежать множеству А по условию. Если a –составное, то оно имеет нату-ральный делитель, отличный от 1 и a. Назовем этот натуральный делитель b.

18

Слайд 18

b < a, ( a наименьшее число во множестве А). Значит b не принадлежит множеству А, и следовательно, число b имеет простой делитель. Пусть этот делитель - натуральное число p.

19

Слайд 19

Число а кратно b, а число b кратно р, тогда число а кратно p (свойство транзитивности отношения делимости) Следовательно, число а имеет простой делитель. Противоречие с выбором множества А. Значит, сделанное предположение не верно и чисел, больших 1, но не имеющих простых делителей не существует.

20

Слайд 20

Свойство 6. Наименьший простой делитель составного числа a не превосходит Определите, является ли число 137 простым или составным.

21

Слайд 21

Действительно: Если р наименьший простой делитель числа а, то а=р ·g. Так как р наименьший простой делитель, то р ≤ g. Умножим неравенство р ≤ g на р Имеем

22

Слайд 22: Способ распознавания простых чисел:

Если натуральное число а, больше единицы, и не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит а, то число а простое. Способ распознавания простых чисел:

23

Слайд 23

Например: Определите является ли число 137 простым. 121 <137<144 Выпишем все простые числа, не превышающие 11 Это - 2, 3, 5, 7, 11

24

Слайд 24

137 не делится на 2 137 не делится на 3 137 не делится на 5 137 не делится на 7 137 не делится на 11 Вывод: 137 – простое число

25

Слайд 25

Определите, какие числа простые, а какие числа составные? 161, 252, 391, 837.

26

Слайд 26: Историческая справка

Эратосфен – греческий математик и астроном ( III в. до н.э.) – способ определения простых чисел – решето Эратосфена. Евклид – греческий математик (около 300г. до н.э.), доказавший теорему : множество простых чисел бесконечно. Историческая справка

27

Слайд 27: Теорема Эвклида:

Множество простых чисел бесконечно. Доказательство: Предположим противное: множество простых чисел конечно. Всякое конечное множество содержит наибольшее число.

28

Слайд 28

Обозначим множество простых чисел символом М. М= {2,3,5,7,11,13,…p}, где p - самое большое простое число. Рассмотрим число а, составленное так: а= 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … ·p+1

29

Слайд 29

Число а либо простое, либо составное. Но число а не может быть простым по предположению, так как оно больше самого большого простого числа. И не может быть составным, так как дает остаток 1 при делении на любое простое число. Противоречие, которое доказывает, что наше предположение не верно, то есть простых чисел бесконечное множество.

30

Слайд 30: Основная теорема арифметики

Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей

31

Слайд 31

Теорема содержит два утверждения: 1. Разложение на простые множители любого составного натурального числа существует. 2. Разложение на простые множители любого составного натурального числа единственно.

32

Слайд 32: Доказательство существования разложения

Пусть а составное число. Тогда ( по свойству 5 простых чисел) найдется простой делитель такой что где a натуральное число.

33

Слайд 33

Если -простое число, то составное число а представлено в виде простых множителей Если - составное, то у него найдется простой делитель (Свойство 5 простых чисел) такой, что произведения

34

Слайд 34

заметим, что Этот процесс конечен. Значит наступит момент, когда последний множитель в разложении составного числа a будет простым числом и будет получено разложение числа a на простые множители.

35

Слайд 35

В полученном разложении одинаковые множители могут повторятся. Например: 900=2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5

36

Слайд 36: Единственность разложения составного числа на простые множители

Доказать: разложение составных чисел на простые множители определено однозначно. (два разложения составного числа на простые множители могут отличатся друг от друга лишь порядком множителей)

37

Слайд 37: Доказательство:

Пусть Тогда Правая часть равенства делится на Значит и левая часть делится на

38

Слайд 38

По свойству 4 простых чисел один из множителей в левой части равенства делится Пусть это будет множитель Так как p и g простые числа, то Разделим обе части равенства на Получим: Аналогично устанавливаем, что левая часть делится на

39

Слайд 39

Пусть Разделив обе части равенства Имеем: И так,

40

Слайд 40

Продолжая рассуждения, придем: 1) при n=l к тому, что при делении на Все множители в левой части равенства сократятся. Следовательно, два представления числа a отличаются только порядком следования множителей

41

Слайд 41

2) при n<I к неверному равенству Так как произведение простых чисел не может быть равно 1. 3) При n>l так же к неверному равенству Следовательно, два разложения составного числа на простые множители могут отличатся друг от друга лишь порядком множителей. Теорема доказана.

42

Слайд 42

Разложение составного числа а на простые множители называется каноническим представлением натурального числа. Задание: представьте число n=12 6 в каноническом виде.

43

Слайд 43

126 2 63 3 21 3 7 7 1 Значит 126 =2 · 3 · 3 · 7

44

Слайд 44

НОК(126; 54) 126 : 54=2 (ост. 18), тогда Представим 126 и 54 в каноническом виде.

45

Слайд 45

54 2 27 3 9 3 3 3 1

46

Слайд 46

НОК (126;54)= НОД (126;54)=

47

Последний слайд презентации: Простые числа

Спасибо за внимание!

Похожие презентации

Ничего не найдено