Презентация на тему: Производная функции

Производная функции
Определение производной
Определение производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Пример
Пример
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование
1/16
Средняя оценка: 4.7/5 (всего оценок: 46)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (345 Кб)
1

Первый слайд презентации: Производная функции

Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование

Изображение слайда
2

Слайд 2: Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале ( a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение : y 0 х х f(x ) x + Δ x f(x+ Δ x ) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Изображение слайда
3

Слайд 3: Определение производной

Итак, по определению: Функция y = f(x), имеющая производную в каждой точке интервала ( a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x 0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М 1 : y 0 х х f(x ) x + Δ x М М 1 f(x+ Δ x ) Через точки М и М 1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей. φ При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М 1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ 1 переходит в касательную. y 0 х х f(x ) α М

Изображение слайда
5

Слайд 5: Геометрический смысл производной

Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты ( x 0 ; y 0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x 0 ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали

Изображение слайда
6

Слайд 6: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Изображение слайда
7

Слайд 7: Производные основных элементарных функций

1 Формула бинома Ньютона: Степенная функция: Придадим аргументу x приращение, тогда функция получит приращение: K – факториал

Изображение слайда
8

Слайд 8: Производные основных элементарных функций

По формуле бинома Ньютона имеем: Тогда:

Изображение слайда
9

Слайд 9: Производные основных элементарных функций

2 Логарифмическая функция: Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Правила дифференцирования

Пусть u(x), v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале ( a; b) функции, С – постоянная.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ (x), тогда y = f( φ (x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Если функция u = φ (x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция имеет производную, которая находится по формуле: Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Изображение слайда
12

Слайд 12: Пример

Вычислить производную функции

Изображение слайда
13

Слайд 13: Пример

Вычислить производную функции Данную функцию можно представить следующим образом: Коротко:

Изображение слайда
14

Слайд 14: Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением y = f( х ), разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде. Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y :

Изображение слайда
15

Слайд 15: Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Изображение слайда
16

Последний слайд презентации: Производная функции: Логарифмическое дифференцирование

Функция называется степенно – показательной. Пусть u = u(x) и v = v (x) – дифференцируемые функции. Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.

Изображение слайда