Презентация на тему: Проект по теме «Формула Пика»

Проект по теме «Формула Пика»
Георг Пик
Образование и работы
Преподавательская деятельность
Формула Пика
Доказательство
Доказательство
Доказательство Произвольный треугольник можно получить, отрезав от прямоугольника прямоугольные треугольники и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для
Доказательство для многоугольника
Доказательство для многоугольника
Применение (Задания ОГЭ и ЕГЭ)
Применение (Задания ОГЭ и ЕГЭ)
Применение (Задания ОГЭ и ЕГЭ)
1/13
Средняя оценка: 4.7/5 (всего оценок: 72)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1265 Кб)
1

Первый слайд презентации: Проект по теме «Формула Пика»

Автор: Усольцев М.А. 10Е класс

Изображение слайда
2

Слайд 2: Георг Пик

Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер. Отец — Адольф Йозеф Пик.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Образование и работы

Его обучал отец, возглавлявший частный институт В 16 лет он окончил школу и поступил в Венский университет В 20 лет получил право преподавать физику и математику 16 апреля 1880 года защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов» Им написано более 50 работ. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники

Изображение слайда
4

Слайд 4: Преподавательская деятельность

В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Формула Пика

Теорема Пика: Пусть L - число целочисленных точек внутри многоугольника, B- количество целочисленных точек на его границе, S — его площадь. Тогда справедлива формула Пика : S=L+B/2-1 Дл многоугольника на рисунке L=23( желтые точки ), B =7(синие точки), значит S=23+3,5-1=25, 5 клеток

Изображение слайда
6

Слайд 6: Доказательство

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны X и Y. Имеем в этом случае: L=(X-1)(Y-1) B=2X+2Y S= XY-X-Y+1 +X+Y -1=XY

Изображение слайда
7

Слайд 7: Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, II осям координат Такой треугольник получается при разрезании прямоугольника по диагонали Пусть на диагонали лежит С точек. L=((X-1)(Y-1)-C+2)/2 B=X+Y+C-1 S= 0,5XY-0,5X-0,5Y+0,5-0,5C+1 + 0,5X+0,5Y+0,5C-0,5 -1 S=0,5XY -0,5X -0,5Y +0,5 -0,5C +1 +0,5X +0,5Y +0,5C -0,5 -1 S=0,5XY

Изображение слайда
8

Слайд 8: Доказательство Произвольный треугольник можно получить, отрезав от прямоугольника прямоугольные треугольники и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника

Изображение слайда
9

Слайд 9: Доказательство для многоугольника

Пусть многоугольник M и треугольник T имеют общую сторону. Предположим, что для M формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из M добавлением T. Так как M и T имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через c и получим L MT =L M +L T +(c-2) — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, B MT =B M +B T -2(c-2)-2 — число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем L M +L P =L MT -(c-2),B M +B P =B MT +2(c-2)+2.

Изображение слайда
10

Слайд 10: Доказательство для многоугольника

Так как мы предположили, что теорема верна для M и для T по отдельности, то S MT =S M +S T =(L M +B M /2-1)+(L T +B T /2-1)= =(L M +L T )+(B M +B T )/2-2= = L MT -(c-2)+(B MT +2(c-2)+2)/2-2= =L MT +B MT /2-1. Тем самым, формула Пика доказана.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Применение (Задания ОГЭ и ЕГЭ)

Желтые точки – точки внутри фигуры(4) Синие точки – точки на границах(15) 4 + 15/2 – 1 = 4 + 7,5 – 1 = 10,5

Изображение слайда
12

Слайд 12: Применение (Задания ОГЭ и ЕГЭ)

Желтые точки – точки внутри фигуры(7) Синие точки – точки на границах(16) 7 + 16/2 – 1 = 7 + 8 – 1 = 14

Изображение слайда
13

Последний слайд презентации: Проект по теме «Формула Пика»: Применение (Задания ОГЭ и ЕГЭ)

Желтые точки – точки внутри фигуры(2) Синие точки – точки на границах(9) 2 + 9/2 – 1 = 2 + 4,5 – 1 = 5,5

Изображение слайда