Презентация на тему: Пример:

Пример:
Статистика прямых линий. Регрессионный анализ.
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
1/14
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 79)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (138 Кб)
1

Первый слайд презентации: Пример:

При анализе пробы азота на приборе NOI -5 были получены следующие значения концентрации 15 N – 1,90; 1,8 8 ; 1,76; 1,93; 1,91 ат. %. Видно, что значение 1,76 подозрительно мало и похоже на грубую ошибку. Упорядочиваем полученные значения по возрастанию и получаем следующий ряд значений (ат. %): х 1 = 1,76; х 2 = 1,88; х 3 = 1,90; х 4 = 1,91; х 5 = 1,93. Рассчитываем Q : Задаваясь вероятностью Р = 95 %, в справочнике находим Q ( P = 0,95, n = 5 ) = 0,64. Поскольку Q > Q ( P, n ), значение х 1 = 1,76 ат. % является грубой ошибкой и его следует исключить из результатов анализа.

Изображение слайда
2

Слайд 2: Статистика прямых линий. Регрессионный анализ

При проведении изотопного анализа инструментальными методами задачей аналитика является установление взаимосвязи между измеряемым параметром и концентрацией изотопа. При этом аналитик должен найти градуировочную функцию исходя из заданного содержания изотопа в эталонных пробах и измеренных значений, определить неизвестную концентрацию в пробе, а также получить сведения о точности проведенного анализа. Взаимная зависимость между параметрами х и у характеризуется коэффициентом корреляции r, который для n пар точек рассчитывается по формуле:

Изображение слайда
3

Слайд 3

Между величинами х и у имеет место линейная зависимость в случае, когда коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. f Р =0,95 Р =0,99 1 1,00 1,00 2 0,95 0,99 3 0,88 0,96 4 0,81 0,92 5 0,75 0,87 6 0,71 0,83 7 0,67 0,80 8 0,63 0,77 9 0,60 0,74 10 0,58 0,71 По Р. А. Фишеру для t -распределения с f = п  2 степенями свободы и вероятностью Р величины х и у считаются коррелированными, если рассчитанный коэффициент корреляции r оказывается не меньше, чем граничное значение r ( P, f ).

Изображение слайда
4

Слайд 4

Обычно при изотопном анализе между истинной концентрацией х и измеряемой величиной у наблюдается линейная зависимость вида Y = a x + b, где х – истинное значение концентрации; Y – измеряемая величина; а, b – коэффициенты регрессии. В случае графической интерпретации данной зависимости значение коэффициента а определяет тангенс угла наклона прямой и характеризует чувствительность метода анализа, а коэффициент b показывает величину отрезка, отсекаемого на оси ординат, что соответствует значению холостого опыта. Пусть имеется n ( n > 2) пар значений ( х i, y i ) между которыми существует линейная зависимость, и нужно вычислить коэффициенты регрессии этой функции a и b. Расчет a и b с одновременной оценкой их доверительного интервала позволяет сделать алгоритм, предложенный Гауссом.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Коэффициенты регрессии рассчитываются по формулам: Из условия

Изображение слайда
6

Слайд 6

Поскольку найденные значения a и b – случайные величины, то для них можно указать доверительный интервал. Вычисляют дисперсию, характеризующую разброс между измеренными yi и рассчитанными Yi значениями: Дисперсии для коэффициентов a и b : В данном случае имеем число степеней свободы f = n  2, так как для проведения прямой требуется не менее двух точек.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Для коэффициента a дисперсия s a 2 тем меньше, чем дальше от среднего значения удалены значения х, т.е. чем шире выбрана область эксперимента. Доверительный интервал для a и b определяется по формулам: где t ( P, f ) – значение t -критерия при заданной вероятности Р и степенях свободы f = n – 2. Значения t ( P, f ) – табличные. Зная  a и  b, находят количество десятичных знаков для a и b.

Изображение слайда
8

Слайд 8

Если значение b невелико или сопоставимо с  b, то возникает предположение, что отклонение этого коэффициента от нуля носит случайный характер, и можно предположить, что для описания экспериментальных данных будет справедливо уравнение вида В этом случае проводят расчет коэффициента регрессии а  и дисперсии s  0 2 (число степеней свободы f = n – 1) по формулам:

Изображение слайда
9

Слайд 9

Затем проводят проверку с использованием F -критерия, который рассчитывают как отношение дисперсий: Полученную величину сравнивают с табличным граничным значением F -критерия F ( P, f 1 = n  1, f 2 = n  2). При этом для перехода к уравнению вида Y=a x имеются основания только при условии

Изображение слайда
10

Слайд 10

Если данное условие соблюдается, то вычисляют: – дисперсию коэффициента регрессии а  : – доверительный интервал для а  с числом степеней свободы f = n – 1 : Результатом проведенных вычислений является уравнение вида: или

Изображение слайда
11

Слайд 11

С использованием данных зависимостей для пробы с известной концентрацией х К можно рассчитать ожидаемое значение аналитического сигнала Y К, которое, вследствие наличия ошибок в определении коэффициентов a, b или a , также является случайной величиной. Среднюю квадратичную ошибку определения Y К получают по соотношению: где s = s 0 или s = s 0  в зависимости от вида градуировочной зависимости;  среднее значение величин х i на всём интервале градуировочной прямой. Доверительный интервал для значения Y К определяется следующим образом:

Изображение слайда
12

Слайд 12

На практике наибольший интерес для аналитика представляет решение обратной задачи, а именно – определение неизвестной концентрации по величине измеренного аналитического сигнала. Пусть при анализе пробы с неизвестной концентраций X К получили m значений у К j. На основании этих измерений рассчитывают среднее значение аналитического сигнала : Решая соответствующее градуировочное уравнение относительно переменной х, находят искомую величину X К. Ошибка в определении концентрации в этом случае складывается из ошибок в определении коэффициентов a, b (или a  ), и ошибки измерения, которые суммируются по закону сложения ошибок.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Тогда средняя квадратичная ошибка для концентрации в неизвестной пробе вычисляется следующим образом: где s = s 0 или s = s 0  в зависимости от вида градуировочной зависимости;  среднее значение аналитического сигнала для калибровочных проб. Доверительный интервал для концентрации в пробе К равен: где f = n – 2 для уравнения вида Y=a  x+b или f = n – 1 для уравнения вида Y = a   x.

Изображение слайда
14

Последний слайд презентации: Пример:

При проведении регрессионного анализа рекомендуется составить таблицу по образцу. Внимание! При заполнении таблицы рекомендуется вносить все значения параллельных измерений параметра y i и поставить каждому из них в соответствие x i (значение истинной концентрации). Данные для регрессионного анализа n x i y i x i y i x i 2 y i 2 1 x1 y1 1 x1  y1 1 x1 2 y 1 1 2 2 x1 y1 2 x1  y1 2 x1 2 y1 2 2 3 x1 y1 3 x1  y1 3 x1 2 y1 3 2 4 x2 y 2 1 x2  y2 1 x2 2 y2 1 2 … … … … … … n xn yn 3 xn  yn 3 xn 2 yn 3 2 n =  x i = (  x i ) 2 =  y i =  x i y i  x i 2  y i 2

Изображение слайда