Презентация на тему: Применение векторов при решении задач и доказательстве теорем

Реклама. Продолжение ниже
Применение векторов при решении задач и доказательстве теорем
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
КООРДИНАТЫ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1/15
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 61)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (980 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Применение векторов при решении задач и доказательстве теорем

Разработал студент группы А-11 Мельников Лев

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2: Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3 1 КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 4 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ 5 2.2. ВЕКТОРЫ 5 3 КООРДИНАТЫ 7 4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ И СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 8 4.2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМ 8 4.3 НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ 9 5 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 1 0 5.2 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЯ 10 5.3 ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ 1 2 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 14 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15 Содержание

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3: ВВЕДЕНИЕ

Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. Именно таким методом и является векторно-координатный. «Векторный» путь построения геометрии предложил в 1918 году известный немецкий математик Герман Вейль. Векторы можно использовать как для решения планиметрических задач, так и для стереометрических. Векторно-координатный метод решения задач позволяет с лёгкостью решать даже самые большие и сложные задачи, избегать долгих доказательств теорем. С помощью векторов можно вычислять расстояния и углы, доказывать теоремы, строить перпендикулярные и параллельные прямые и отрезки, строить сечения, доказывать равенство геометрических фигур и многое другое. В настоящее время векторно-координатный метод используется в алгебре, геометрии, физике, механике; понятие векторного пространства используется в теории вероятностей, математической экономике, биологии, лингвистике и т.д. 3 ВВЕДЕНИЕ

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4: КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX веке в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например:√2, √5), не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном, а труде Евклида «Начала», сложения и вычитания сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям. Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях над векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями. 4 КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

2.2. ВЕКТОРЫ Вектор-это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом. Направление вектора на рисунке (от начала к концу) отмечается стрелкой.(рисунок 1) 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ Рисунок 1 - Изображение вектора Любая точка пространства также может считаться вектором. В таком случае вектор называется нулевым. Начало и конец этого вектора совпадают.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
6

Слайд 6: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

Рисунок 2 - Изображение правила треугольника Рисунок 3 - Изображение правила параллелограмма Рисунок 4 - Изображение правила многоугольника Рисунок 5 - Изображения правила параллелепипеда 6

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/5
7

Слайд 7: КООРДИНАТЫ

Если через некоторую точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что выбрана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обычно обозначается буквой О. Оси обозначаются так: Ох, Оу, Оz – и имеют названия: «ось абсцисс», «ось ординат», «ось аппликат». Вся система координат называется Oxyz. Три плоскости, проходящие через оси координат называются координатными плоскостями. Точка О разделяет каждую из осей координат на на два дополнительных луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а дополнительный к нему луч – отрицательной полуосью. 7 КООРДИНАТЫ

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ

4.2 Доказательство некоторых теорем Пусть точки А, В, С и Р такие, что ОР= mOA+nOB+рОС (OА, ОС и ОВ линейно независимы).Тогда необходимое и достаточное условие их принадлежности одной прямой состоит в следующем: m+n+р =1. (рис 7 ) 8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ Пусть точки А, В, С и Р лежат в одной плоскости, тогда векторы АР=ОР-ОА, АВ=ОВ-ОА, АС=ОС-ОА будут линейно зависимыми, следовательно ОР-ОА=n(OB-OA)+p(OC-OA), OP=(1- n- p) OA+nOB+pOC. И в силу единственности разложения вектора OP по векторам ОА, ОВ, ОС получим m=1- n –p или m+ n+ p=1 Доказательство достаточности: Пусть m+n+p =1, тогда OP-OA= mOA+nOB+pOC-OA = mOA+nOB+pOC -( m+n+p )*OA=n(OB-OA)+p(OC-OA) Отсюда АР= nAB+pAС и по определению P принадлежит плоскости АВС. Рисунок 7 - Изображение фигуры

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
9

Слайд 9: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ

4.3 Нахождение расстояний и углов На рёбрах DA,DB,AC тетраэдра DABC взяты соответственно точки L, N, F так, что DL=1/2DA,DN=1/3DB,AF=1/4AC. В каком отношении плоскость, проходящая через точки L,N,F делит ребро BC? (рис 8) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ Решение: Пусть М – точка пересечения рассматриваемой плоскости с ребром BC и DA=a, DB=b, DC=c. Так как точки M,N,L,F лежат в одной плоскости, причём последние три точки не лежат на одной прямой, то по формуле DM= kDL+lDN +(1 – k – l)DF= ka /2+lb/3+(1 – k – l)(3/4a+1/4c). С другой стороны, по формуле (1) DM=(1-m) b+mc где m – отношение ВМ:ВС. Так как векторы а,b,с не компланарны, то на основании утверждения о разложении вектора по трём некомпланарным, мы получим систему: k/2+(1 – k – l)3/4=0, l/3=1 – m, (1 – k – l)1/4=m. 9 Отсюда m=2/5 и ВМ:МС=2/3. Рисунок 8 - Изображение фигуры

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
10

Слайд 10: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ

5.2 Задачи на построения Вершина В прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 с отношением рёбер AB:DA:AA1=1:2:3 принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы ВА, 1/2ВС и 1/3ВВ1 приняты соответственно за единичные векторы i, j, k. Построить сечение параллелепипеда плоскостью α, заданной в этой системе координат уравнением 4x + y - 2z - 2=0. (рис 9) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ Рисунок 9 - Изображение фигуры Для построения данного сечения найдём три точки, принадлежащие плоскости α, но не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости α с осями координат. Так, если плоскость α пересекает ось Вх в точке К, то точка К имеет координаты (к;0;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α,получим к=1/2. Таким образом, плоскость α пересекает ось Вх в точке К(1/2;0;0). Построим эту точку. 10

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
11

Слайд 11: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ

Аналогично если плоскость α пересекает ось Ву в точке L, то точка L имеет координаты (0;l;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α, найдем, что L(0;2;0). Построим точку L (она совпала с точкой С). Точно так же находим, что плоскость α пересекает ось Вz в точке М(0;0;-построим эту точку и затем построим сечение призмы плоскостью α, проходящей через точки К,L,M. Получаем четырёхугольник КСD2A2. 11 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ

5.3 Задачи на вычисления расстояний и углов В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45 гр. На ребре МВ взята точка К – середина этого ребра. Найдём угол между прямой АК и плоскостью МВС. (рис 10) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ Установив, что медианно МО грани МАВ является высотой пирамиды, т.е. МО┴АВ и МО┴ОС, и что ОА =ОС=ОМ, зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz, как показано на рисунке. OA=i ; OC=j ; OM=k В этой системе координат O(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), M(0,0,1) Находим далее координаты точек В и К, вектора АК, коллинеарного прямой АК, и 12

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
13

Слайд 13: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ

векторов ВС и ВМ. Получаем B(-1;0;0;), K(-1/2;0;1/2), AK(-3/2;0;1/2), BC(1;1;0), BM (1;0;1). Если вектор n( k;l;m ) перпендикулярен плоскости МВС, то n┴BC и n┴BM, или в координатах: k*1+l*1+m*0=0 k*1+l*0+m*1=0 откуда, полагая, например, что k=1, находим, что l=-1, m=-1, т.е. n(1;-1;-1 ). Пусть φ – это искомый угол. Тогда 13 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ Рисунок 11 - продолжение решения задачи Таким образом, угол между прямой АК и плоскостью МВС равен arcsin (2√30)/1 5 Содержание

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
14

Слайд 14: ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая вышеизложенные доводы, мы удостоверились, что использование векторно-координатного метода позволяет с лёгкостью решать множество задач самых разных видов, избегать больших доказательств теорем. Решение таким методом задачи, помогает сэкономить время и силы. Такое решение задач хорошо тем, что человек не механически действует по образцу решения задач данного типа, повторяя одни и те же действия, а творчески подходит к работе. 14 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Последний слайд презентации: Применение векторов при решении задач и доказательстве теорем: СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. В.Б. Некрасов, Б.М. Беккер, «Применение векторов для решения задач», СПб, СМИО Пресс 2002г. 2. В.Н. Литвиненко «Сборник задач по стереометрии с методами решений» М., изд. «Просвещение», 1998г 3. Н.М. Рогановский, А.А. Столяр «Векторное построение стереометрии» изд. «Народная асвета»,1974г. 4. Ионин Ю.И., Некрасов В.Б. «Векторы в геометрических задачах» 5. Болтянский В.Г., Ягиом И.Н. «Векторы и их применение в геометрии в книге: Энциклопедия элементарной математики», том 4 М., Главное издательство физмат литературы, 1963г. 6. Журнал «Математика», №39, 2001г. 7. Зив Б.Г. «Задачи к урокам геометрии 7-11»СПб, МПО «Мир и семья – 95», изд. ООО «Акация», 1996г. 8. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. учебник «Геометрия 9-10»Изд. «Просвещение», 1982г. 15 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже