Презентация на тему: Предел функции

Предел функции
Предел функции в точке
Предел функции в точке
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Предел функции при x стремящемся к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Основные теоремы о пределах
Основные теоремы о пределах
Вычисление пределов
Вычисление пределов
Первый замечательный предел
Первый замечательный предел
Первый замечательный предел
Первый замечательный предел
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
Предел функции
1/30
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 15)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (375 Кб)
1

Первый слайд презентации: Предел функции

Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Изображение слайда
2

Слайд 2: Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может самой точки x 0. Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Изображение слайда
3

Слайд 3: Предел функции в точке

y 0 х х 0 А δ окрестность точки x 0 ε окрестность точки А Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε, ограниченной прямыми: у = А + ε, у = А - ε.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Односторонние пределы

В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0. Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так: Пример, когда есть предел слева и когда есть предел справа.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Односторонние пределы

Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0, если Предел справа записывают так: y 0 х А 1 х 0 А 2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2 y 0 х А 1 =А 2 =А х 0

Изображение слайда
6

Слайд 6: Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке. Число А называют пределом функции при, если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε, ограниченной прямыми: у = А + ε, у = А - ε. y 0 х М А

Изображение слайда
7

Слайд 7: Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением:. Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Изображение слайда
8

Слайд 8: Основные теоремы о пределах

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции:

Изображение слайда
9

Слайд 9: Основные теоремы о пределах

Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x 0 или при x > x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:

Изображение слайда
10

Слайд 10: Вычисление пределов

Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Изображение слайда
11

Слайд 11: Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Изображение слайда
12

Слайд 12: Первый замечательный предел

Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при О А В С М Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA, S 2 - площадь сектора OM А, S 3 - площадь треугольника O СА, Из рисунка видно, что S 1 < S 2 < S 3 x

Изображение слайда
13

Слайд 13: Первый замечательный предел

О А В С М x

Изображение слайда
14

Слайд 14: Первый замечательный предел

Следствия: Формула справедлива также при x < 0

Изображение слайда
15

Слайд 15: Первый замечательный предел

Изображение слайда
16

Слайд 16

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ Рассмотрим числовую последовательность где a 1 =2, a 2 =2.25, a 3 =2.37 … Можно предположить, что эта последовательность будет возрастающей.

Изображение слайда
17

Слайд 17

Воспользуемся формулой где m – любое действительное число. В нашем случае: Бинома Ньютона:

Изображение слайда
18

Слайд 18

Изображение слайда
19

Слайд 19

Видно, что с ростом n увеличивается число положительных слагаемых, которых всего будет n+1, и растет величина каждого слагаемого, т.е. Это значит, что данная последовательность возрастает. Теперь покажем, что она является ограниченной. Поскольку каждая скобка меньше единицы, отбрасываем эти скобки и получаем неравенство:

Изображение слайда
20

Слайд 20

Теперь каждую дробь в правой части заменяем большей дробью с двойкой в знаменателе: Получаем:

Изображение слайда
21

Слайд 21

Сумма есть сумма n - 1 членов геометрической прогрессии, где первый член и знаменатель По формуле суммы членов геометрической прогрессии имеем:

Изображение слайда
22

Слайд 22

Т.к. S n-1 <1, то Действительно, данная последовательность является ограниченной.

Изображение слайда
23

Слайд 23

Согласно признаку существования предела, монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Числом е или вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности

Изображение слайда
24

Слайд 24

е – число Эйлера е=2,718281… Можно показать, что функция при где х пробегает все значения, а не только целые, тоже имеет предел, равный е:

Изображение слайда
25

Слайд 25

Второй замечательный предел

Изображение слайда
26

Слайд 26

Пусть , тогда Второй замечательный предел

Изображение слайда
27

Слайд 27

Примеры. 1 Вычислить

Изображение слайда
28

Слайд 28

Решение:

Изображение слайда
29

Слайд 29

2 Вычислить

Изображение слайда
30

Последний слайд презентации: Предел функции

Решение:

Изображение слайда