Презентация на тему: Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикулярные прямые в пространстве
Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой
Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
1/8
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 13)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (162 Кб)
1

Первый слайд презентации: Перпендикулярность прямой и плоскости

Изображение слайда
2

Слайд 2: Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 °. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся

Изображение слайда
3

Слайд 3: Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а ⃦ b и а ⊥ с. Доказать: b ⊥ c. Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥ с, то ∠ АМС = 90 ° Т.к. а ⃦ b, а ⃦ МА, то b ⃦ МА. Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС, ∠ АМС = 90 °, т. е. b ⊥ c. Лемма доказана.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Дано : а ║ а 1, а ⊥ α. Доказать: а 1 ║ α Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а 1 перпендикулярна α. Теорема доказана.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны

Дано: a ⊥ α, b ⊥ α (а) Доказать : a ║ b. Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 ⊥ α. Докажем,что прямая b 1 совпадает с прямой b.Тем самым будет доказано,что a ║ b. Допустим,что прямые b и b 1 не совпадают. Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a ║ b. Теорема доказана.

Изображение слайда
7

Слайд 7: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ⊥ р, а ⊥ q, р и q лежат в плоскости α. р ⋂ q = О. Доказать: а ┴ α Доказательство: Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L. Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и А Q =В Q. Следовательно, Δ АР Q = Δ ВР Q по трём сторонам, поэтому углы АР Q и ВР Q равны Δ АР L = Δ ВР L, поэтому А L = BL. Следовательно Δ АВ L -равнобедренный и l ⊥ а. Т.к. l ║ m, l ⊥ а, то m ⊥ а. Итак а ⊥ α. Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а 1 ║ а. По лемме а 1 ⊥ р и а 1 ⊥ q, поэтому а 1 ⊥ α. Отсюда, а ⊥ α. Теорема доказана.

Изображение слайда
8

Последний слайд презентации: Перпендикулярность прямой и плоскости: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна. Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскость β, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и е сть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с ⊥ b по по построению и с ⊥ а, так как ( β ⊥ α ). 2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через с1 ), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с 1 ║ с, что невозможно, т. к. прямые с 1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости α. Теорема доказана.

Изображение слайда