Презентация на тему: Параллельность прямых, прямой и плоскости

Параллельность прямых, прямой и плоскости
1. Параллельные прямые в пространстве
Теорема 2.  Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.
Теорема 3.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Параллельность прямых, прямой и плоскости
Теорема 4.  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Параллельность прямых, прямой и плоскости
2. Параллельность прямой и плоскости
Теорема 5 „Признак параллельности прямой и плоскости”. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта
Параллельность прямых, прямой и плоскости
Теорема 6. Если плоскость  β  проходит через данную прямую  a, параллельную плоскости  α, и пересекает эту плоскость по прямой  b, то  b ∥ a.
1/11
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 35)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (745 Кб)
1

Первый слайд презентации: Параллельность прямых, прямой и плоскости

Теплов Н.В.

Изображение слайда
2

Слайд 2: 1. Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются  параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых  a  и  b  обозначается так:  a ∥ b   или b ∥ a. Teорема 1.  Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну. Доказательство: 1.  Так как прямые  a  и  b  параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость  α. 2.  Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой  a  обозначаем точки  B  и  C, а на прямой  b  точку  A. 3.  Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то  α  является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые  a  и  b.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Теорема 2.  Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну

Доказательство: 1.  Через данную прямую  a  и точку  M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость  α. 2.  Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну). 3.  А в плоскости  α  через точку  M  можно провести только одну прямую  b, которая параллельна прямой  a.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Теорема 3.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость

Рис. 1 Рис. 2

Изображение слайда
5

Слайд 5

Доказательство: Рассмотрим две параллельные прямые  a  и  b  и допустим, что прямая  b  пересекает плоскость  α  в точке  M  (1. рис.). Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые  a  и  b  можно провести только одну плоскость  β. Так как точка  M  находится на прямой  b, то  M  также принадлежит плоскости  β (2. рис.). Если у плоскостей  α  и  β  есть общая точка  M, то у этих плоскостей есть общая прямая  c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома). Прямые  a,  b  и  c  находятся в плоскости  β. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых  b  пересекает прямую  c, то вторая прямая  a  тоже пересекает  c. Точку пересечения прямых  a  и  c  обозначим за  K. Так как точка  K  находится на прямой  c, то  K  находится в плоскости  α  и является единственной общей точкой прямой  a  и плоскости  α. Значит, прямая  a  пересекает плоскость  α  в точке  K.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Теорема 4.  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

Изображение слайда
7

Слайд 7

Дано:  a ∥ c и b ∥ c Доказать:  a ∥ b Доказательство: Выберем точку  M  на прямой  b. Через точку  M  и прямую  a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость  α  (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость). Возможны два случая: 1) прямая  b  пересекает плоскость  α  или 2) прямая  b  находится в плоскости  α. Пусть прямая  b  пересекает плоскость  α. Значит, прямая  c, которая параллельна прямой  b, тоже пересекает плоскость  α. Так как  a ∥ c, то получается, что  a  тоже пересекает эту плоскость. Но прямая  a  не может одновременно пересекать плоскость  α  и находиться в плоскости  α. Получаем противоречие, следовательно,  предположение, что прямая  b  пересекает плоскость  α, является  неверным. Значит, прямая  b  находится в плоскости  α. Теперь нужно доказать, что прямые  a  и  b  параллельны. Пусть у прямых  a  и  b  есть общая точка  L. Это означает, что через точку  L  проведены две прямые  a  и  b, которые параллельны прямой  c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые  a  и  b  не имеют общих точек. Так как прямые  a  и  b  находятся в одной плоскости  α  и у них нет общих точек, то они параллельны. Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется  пучком параллельных прямых. Выводы: 1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой. 2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность:  если a ∥ b и b ∥ c, то a ∥ c.

Изображение слайда
8

Слайд 8: 2. Параллельность прямой и плоскости

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: 1) прямая лежит (находится) в плоскости 2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются) 3) прямая и плоскость не имеют общих точек Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Изображение слайда
9

Слайд 9: Теорема 5 „Признак параллельности прямой и плоскости”. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости

Изображение слайда
10

Слайд 10

Доказательство: Доказательство проведем от противного. Пусть  a  не параллельна плоскости  α, тогда прямая  a  пересекает плоскость в некоторой точке  A. Причем  A  не находится на  b, так как  a ∥ b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые  a  и  b  скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации  a ∥ b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая  a  должна быть параллельна плоскости  α.

Изображение слайда
11

Последний слайд презентации: Параллельность прямых, прямой и плоскости: Теорема 6. Если плоскость  β  проходит через данную прямую  a, параллельную плоскости  α, и пересекает эту плоскость по прямой  b, то  b ∥ a

Прямую  b  иногда называют следом плоскости  β  на плоскости  α. Теорема 7. Если одна из двух параллельных прямых  a ∥ b  параллельна данной плоскости  α, то другая прямая либо параллельна этой плоскости либо лежит в этой плоскости.

Изображение слайда