Презентация на тему: Основы теории вероятностей. Случайные события

Реклама. Продолжение ниже
Основы теории вероятностей. Случайные события
Историческая справка
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, присущие случайным событиям массового характера
Основы теории вероятностей. Случайные события
Пример
Основы теории вероятностей. Случайные события
Пример 1
Классификация случайных событий:
Основы теории вероятностей. Случайные события
Основы теории вероятностей. Случайные события
Основы теории вероятностей. Случайные события
Основы теории вероятностей. Случайные события
Данные В. Феллера:
Относительная частота случайного события обладает свойством статистической устойчивости в том смысле, что при многокрактом повторении серии испытаний ее
3. Понятие вероятности случайного события
Основы теории вероятностей. Случайные события
Классическое определение вероятности случайного события (1812 г. – Лапласс )
Пример 1
4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основы теории вероятностей. Случайные события
4.2. Сложение событий. Теоремы сложения случайных событий Суммой событий А и В называется такое событие С, которое состоит в том, что происходит по крайней
Задача: Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найдите
4.3. Формула полной вероятности
Задача: Известно, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин страдает дальтонизмом. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом
4.4. Формула Байеса (формула проверки гипотез)
4.5. Если испытания независимые
Запомните, что
4.5.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Основы теории вероятностей. Случайные события
4.5.3.Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Основы теории вероятностей. Случайные события
4.5.4. Формула Пуассона (вероятность редких событий)
Задача: Среди 1100 студентов левши составляют 1%. Чему равна вероятность того, что из общего количества студентов а) ровно 11 левшей; б) не менее 20 левшей
Основы теории вероятностей. Случайные события
1/34
Средняя оценка: 5.0/5 (всего оценок: 96)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1854 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Основы теории вероятностей. Случайные события

Лекция по математике «Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе» А. Дюма Случайные события. Определение. Классификация Относительная частота случайного события. Свойство статистической устойчивости Вероятность случайного события. Аксиомы теории вероятности Основные теоремы теории вероятностей

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
2

Слайд 2: Историческая справка

Основателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма, жившие в середине XVII века. Одно из первых исследований в области теории вероятностей работа Х. Гюйгенса «О расчетах при игре в кости». Большой вклад в развитие теории вероятностей внес швейцарский ученый XVIII в. Я. Бернулли, значительное влияние на ее развитие оказали А. Муавр (XVII в.), Т. Байес, П. Лаплас, К. Гаусс, С. Пуассон (XVIII в.). Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли и русские ученые XIX-XX веков – П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.Н. Колмогоров. Б. Паскаль П. Ферма Х. Гюйгенс П.Л. Чебышев А.Н. Колмогоров Т. Байес Я. Бернулли С. Пуассон К. Гаусс П. Лаплас А.М Ляпунов А. Муавр

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/13
3

Слайд 3: Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, присущие случайным событиям массового характера

Теория вероятностей изучает Случайные события Случайные величины Случайные процессы

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4

«Глядя на мир, нельзя не удивляться» Козьма Прутков С точки зрения математики событие является исходом опыта (или испытания). Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. При этом под опытом (испытанием) понимается воспроизведение какого-либо комплекса условий для наблюдения исследуемого явления. Человека окружает мир событий

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
5

Слайд 5: Пример

Испытание – спортсменка стреляет из лука по мишени Событие – выбитое количество очков События принято обозначать : A,B,C.D…

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
6

Слайд 6

События, которые происходят всегда при данных условиях, называются достоверными. События, которые не могут произойти при данных условиях, называются невозможными. События, которые в данных условиях либо происходят, либо нет называются случайными.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/6
7

Слайд 7: Пример 1

Исход опыта, в котором наблюдается интересующее нас событие, называется благоприятствующим этому событию (или просто благоприятным исходом ). Бросание монеты. Испытание имеет два возможных исхода – выпадение «герба» или «решки». Исходы называются равновозможными, если есть основания считать, что ни один из них не является более возможным, чем другие. Пример 2 Бросание игральной кости. Испытание имеет следующие возможные исходы – выпадение «1», «2», «3», «4», «5», «6». Случайные события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. События A k (k = 1, 2,..., n) образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и при испытании неизбежно произойдет одно из этих событий.

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Классификация случайных событий:

несовместные События А,В,С… называются несовместными, если наступление какого-либо из них исключает возможность появления другого события этой совокупности (в условиях данного испытания !)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
9

Слайд 9

совместные События А,В,С… называются совместными, если в условиях данного испытания появление одного из них не исключает возможность появления другого события этой совокупности (в условиях данного испытания!)

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
10

Слайд 10

равновозможные События А,В,С… называются равновозможными, если в условиях данного испытания нет оснований предполагать большую возможность появления одного из них по отношению к другим

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
11

Слайд 11

единственно возможные События А,В,С… называются единственновозможными, если в условиях данного испытания хотя бы одно из них обязательно происходит

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
12

Слайд 12

противоположные Пример: при бросании игральной кости - выпадение «1» - выпадение «только не 1» Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными и

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
13

Слайд 13: Данные В. Феллера:

2. Относительной частотой события p* в рассматриваемой серии опытов называется отношение числа повторений события m A к общему числу произведенных испытаний n : Выполнено 10 серий испытаний по бросанию монеты. В каждой серии 1000 испытаний. Событие – выпадение орла в каждой из серий: 501, 485, 509, 536, 485, 488, 500, 497, 494, 484. Очевидно, что относительная частота события в каждой из серий соответственно равна: Данные В. Феллера: Очевидно, в данном примере Случайность Относительная частота события определяется лишь после того, как результаты опыта становятся известными ? !

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
14

Слайд 14: Относительная частота случайного события обладает свойством статистической устойчивости в том смысле, что при многокрактом повторении серии испытаний ее значение мало меняется

Пример 1 На 1000 детей в Европе в среднем рождается 515 мальчиков (А) и 485 девочек (В) Пример 2 Из 1000 европейцев в среднем 390 имеют группу крови О, А – 369, В – 235, АВ - 6

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: 3. Понятие вероятности случайного события

Существует несколько определений вероятности случайного события: - классическое - статистическое - геометрическое Числовой характеристикой объективной возможности наступления случайного события в определенных условиях служит вероятность случайного события

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16

Статистическое определение вероятности ( Мизес – нем. мат) Пример: Вероятность того, что наугад выбранный донор имеет 4 группу крови = 0.006 Геометрическое определение вероятности

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
17

Слайд 17: Классическое определение вероятности случайного события (1812 г. – Лапласс )

Если события равновозможные, то Вероятность случайного события A определяется по формуле: где m – число благоприятных исходов события; n – общее число возможных исходов. АКСИОМЫ (свойства вероятности): Вероятность достоверного события равна 1 (так как m = n ). Вероятность невозможного события равна 0 (так как m = 0 ). 3. Вероятность случайного события: Противоположным событию A называется такое событие, которое заключается в том, что событие A не происходит. Два противоположных события образуют полную группу событий. 4.Вероятность противоположного события можно определить из формулы:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
Изображение для работы со слайдом
1/3
18

Слайд 18: Пример 1

Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». Пример 2 Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа. 1-е бросание 2-е бросание герб решка решка герб герб герб решка решка Событие А – при бросании монеты хотя бы один раз появится «герб». Решение («2», «4», «6»), («1», «2», «3», «4», «5», «6»). Решение Вероятность выпадения нечетного числа : Событие А – выпадение на игральной кости четного числа. Пример 3 Какова вероятность с первого раза наугад открыть кодовый замок, содержащий четыре диска с десятью цифрами? Решение

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
19

Слайд 19: 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Произведением событий А и В называется такое событие С, которое состоит в том, что происходит и событие А и событие В Здесь надо различать зависимые и независимые события. События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет (верно и обратное утверждение) Событие А и В называются зависимыми, если вероятность события А зависит от того произошло событие В или нет Вероятности зависимых событий называются условными и обозначаются 4.1. Произведение событий. Теоремы умножения

Изображение слайда
1/1
20

Слайд 20

Теорема умножения: Вероятность совместного появления событий А и В равна произведению их вероятностей Для независимых событий Для зависимых событий

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21: 4.2. Сложение событий. Теоремы сложения случайных событий Суммой событий А и В называется такое событие С, которое состоит в том, что происходит по крайней мере одно из них (С= А или В)

Теорема сложения: Вероятность появления события А или В равна сумме их вероятностей Для несовместных событий Для совместных событий

Изображение слайда
1/1
22

Слайд 22: Задача: Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найдите вероятность того, что он а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза

Вначале введем обозначения Событие А – попадание при первом выстреле Событие В – попадание при втором выстреле Событие С – попадание при третьем выстреле Решение а) событие D – три промаха из трех б) событие К – хотя бы одно попадание из трех в) событие М – два попадания из трех

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23: 4.3. Формула полной вероятности

Пусть события Н 1, Н2, Н3… Hn образуют полную систему, и их вероятности известны Имеется некоторое событие А, которое может произойти при условии, что произойдет одно из событий Тогда вероятность появления события А будет определяться по формуле полной вероятности например, вероятность заболевания Например, наличие какого-нибудь симптома А при данном заболевании Например, наличие симптома А у произвольно взятого больного

Изображение слайда
1/1
24

Слайд 24: Задача: Известно, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин страдает дальтонизмом. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом

Введем обозначения: Событие А – выбранный человек страдает дальтонизмом Событие Н 1 – выбранный человек- мужчина Событие Н 2 - выбранный человек – женщина Пусть По условию Решение Событие А может проявиться, если выбранный человек мужчина и дальтоник или если выбранный человек – женщина и дальтоник Т.е. мы воспользовались формулой полной вероятности

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25: 4.4. Формула Байеса (формула проверки гипотез)

Пусть событие А имело место (произошло), тогда условные вероятности событий Находятся по формуле Байеса Пример: выбранный человек оказался дальтоником (событие А произошло). Какова вероятность, что этот человек – мужчина?

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26: 4.5. Если испытания независимые

4.5.1.Формула Бернулли Вероятность того, что событие А произойдет m раз из n испытаний определяется по формуле Бернулли р - вероятность события А в отдельном испытании

Изображение слайда
1/1
27

Слайд 27: Запомните, что

Задача: В сентябре в среднем 8 дней дождливые. Какова вероятность, что из 10 дней отгула только 1 окажется дождливым Ведем обозначения: Событие А – дождливый день Тогда по формуле Бернулли

Изображение слайда
1/1
28

Слайд 28: 4.5.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если число испытаний велико ( n>20), то пользоваться формулой Бернулли затруднительно. В этом случае используют приближенные формулы вычисления вероятностей. При n>20 и p> 0.1 вероятность появления события А m раз из n испытаний приближенно вычисляется по локальной теореме Муавра-Лапласа где - аргумент четной функции Лапласа

Изображение слайда
1/1
29

Слайд 29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001

Изображение слайда
1/1
30

Слайд 30: 4.5.3.Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность того, что событие А из n испытаний появится не менее m1 и не более m2 раз определяется приближенно по интегральной теореме Муавра-Лапласа где - аргументы нечетной функции Лапласа

Изображение слайда
1/1
31

Слайд 31

x Ф( x ) x Ф( x ) x Ф( x ) x Ф( x ) 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3401 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 04131 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4985 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997

Изображение слайда
1/1
32

Слайд 32: 4.5.4. Формула Пуассона (вероятность редких событий)

Если n – велико, а событие А редкое, т.е. ( р <0.1), то необходимо вычислить Если используем формулы Муавра Лапласа Если используем формулу Пуассона где

Изображение слайда
1/1
33

Слайд 33: Задача: Среди 1100 студентов левши составляют 1%. Чему равна вероятность того, что из общего количества студентов а) ровно 11 левшей; б) не менее 20 левшей

Анализируем: n=1100 – велико p =0.01 – мало ( <0.1) Следовательно, формула Бернулли будет громоздка. Вычисляем npq, где q=1-p=0.99 npq =1100*0.01*0.99=10.89>9 Можно использовать формулы Муавра -Лапласа

Изображение слайда
1/1
34

Последний слайд презентации: Основы теории вероятностей. Случайные события

а) Вероятность того, что из 1100 студентов ровно 11 являются левшами б) вероятность того, что из 1100 студентов не менее 20 левшей, т.е. ( 20<m<1100)

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже