Презентация на тему: Определённый интеграл

Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Подведём итоги.
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
Определённый интеграл
1/21
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 87)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (584 Кб)
1

Первый слайд презентации: Определённый интеграл

Изображение слайда
2

Слайд 2

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

Изображение слайда
3

Слайд 3

Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат х0у дана фигура, ограниченная осью 0х, прямыми х=а, х= b (а< b ) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [ а; b ] функции y=f(x) ; назовём эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.

Изображение слайда
4

Слайд 4

у х 0 y=f(x) x 1 x 2 x 3 х n -1 x k x k+1 a b Разобьём отрезок [ а; b ] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек х 1, х 2, х 3, …, x k, x k+1, …, x n-1. Тогда заданная трапеция разобьётся на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Изображение слайда
5

Слайд 5

у х 0 y=f(x) x 1 x 2 x 3 x n -1 x k x k+1 a b Рассмотрим отдельно k - ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [ х k ; х k +1 ]. Площадь прямоугольника равна f (х k )· Δ х, где Δ х – длина отрезка [х k ; х k +1 ]; естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k -го столбика. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f (х k ).

Изображение слайда
6

Слайд 6

у х 0 y=f(x) x 1 x 2 x 3 x n -1 x k x k+1 a b Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь заданной криволинейной трапеции приближённо равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем: S n = f(x 0 ) Δ x 0 + f(x 1 ) Δ x 1 + f(x 2 ) Δ x 2 + + … + f( x k ) Δ x k + … + f(x n-1 ) Δ x n-1. Здесь ради единообразия обозначений мы считаем что а=х 0, b =х n, Δ x 0 – длина отрезка [ x 0 ; x 1 ], Δ x 1 – длина отрезка [ x 1 ; x 2 ] и т.д. Итак, S ≈ S n, причём это приближённое равенство тем больше, чем больше n.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Принято считать, что искомая площадь есть предел последовательности ( S n )

Изображение слайда
8

Слайд 8

Задача 2 (о вычислении массы стержня). Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке х вычисляется по формуле р = р (x). Найти массу стержня.

Изображение слайда
9

Слайд 9

Как известно из курса физики, m = ρ· V, но этот закон действует только для однородных тел, т.е. в тех случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня используется тот же метод, что был применён при решении задачи 1. х х n-1 =b x k+1 x k x 2 x 1 х 0 =a I I I I I I I Разобьём отрезок [ а; b ] на n равных частей; Рассмотрим отдельно k - ый участок [ х k ; х k +1 ] и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке х k. Итак, считаем, что ρ = ρ ( x k ). Н айдём приближённое значение массы m k k - го участка: m k ≈ ρ ( x k )· Δ x k, Где Δ x k, как и в предыдущей задаче, - длина отрезка [ х k ; х k +1 ].

Изображение слайда
10

Слайд 10

4) Найдём приближённое значение массы m стержня: m ≈ S n, Где S n = m 0 + m 1 + m 2 + … + m k + … + m n-1 = ρ (x 0 ) Δ x 0 + ρ (x 1 ) Δ x 1 + ρ (x 2 ) Δ x 2 + + … + ρ ( x k ) Δ x k + … + ρ (x n-1 ) Δ x n-1. 5) Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

Изображение слайда
11

Слайд 11

Задача 3 (о перемещении точки). По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t) ; пусть для определённости v(t )> 0. Найти перемещение точки за промежуток времени [ a ; b ].

Изображение слайда
12

Слайд 12

Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-a). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач. Разобьём отрезок [ а; b ] на n равных частей. Рассмотрим отдельно k - ый участок [ t k ; t k +1 ] и будем считать, что скорость на этом промежутке времени постоянна, а именно такая, как, например, в момент времени t k. Итак, считаем, что v = v ( t k ). Н айдём приближённое значение перемещения точки s k за промежуток времени [ t k ; t k +1 ] : s k ≈ v( t k )· Δ t k, 4) Найдём приближённое значение перемещения s : s ≈ S n, Где S n = s 0 + s 1 + s 2 + … + s k + … + s n-1 = v( t 0 ) Δ t 0 + v( t 1 ) Δ t 1 + v( t 2 ) Δ t 2 + + … + v( t k ) Δ t k + … + v( t n-1 ) Δ t n-1. 5) Точное значение перемещения вычисляется по формуле:

Изображение слайда
13

Слайд 13: Подведём итоги

Три различные задачи привели при их решении к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить, т.е.: а) присвоить ей новый термин; б) ввести для неё обозначение; в) научиться с ней работать. Этим и займёмся.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Понятие определённого интеграла. Дадим определение той модели, которая была построена в трёх рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но обязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [ а; b ]: Разбивают отрезок [ а; b ] на n равных частей. Составляют сумму: S n = f(x 0 ) Δ x 0 + f(x 1 ) Δ x 1 + f(x 2 ) Δ x 2 + + … + f( x k ) Δ x k + … + f(x n-1 ) Δ x n-1. 3) Вычисляют lim S n n→∞ В курсе математического анализа доказано, что при указанных условиях этот предел существует. Его называют определённым интегралом от функции y = f(x ) по отрезку [ а; b ] и обозначают так:

Изображение слайда
15

Слайд 15

Результат, полученный в 1 задаче, можно переписать так: Где S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла. Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью ρ (x) вычисляется по формуле В этом состоит физический смысл определённого интеграла. Из решения задачи 3 следует, что перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток времени от t=a до t=b, вычисляется по формуле Это ещё одно физическое истолкование определённого интеграла.

Изображение слайда
16

Слайд 16

Формула Ньютона - Лейбница

Изображение слайда
17

Слайд 17

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то справедлива формула Где F(x) – первообразная для f(x). Приведённую формулу обычно называют формулой Ньютона – Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646-1716), получивших её независимо друг от друга и практически одновременно.

Изображение слайда
18

Слайд 18

Изображение слайда
19

Слайд 19

Примеры 1. 2.

Изображение слайда
20

Слайд 20

3. 4. 5.

Изображение слайда
21

Последний слайд презентации: Определённый интеграл

6.

Изображение слайда