Презентация на тему: О законах распределения дискретных случайных величин

О законах распределения дискретных случайных величин
Биномиальное распределение
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
Задача
Решение ( батарейки возвращаются в коробку после проверки )
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
Полигон Гистограмма
Решение ( батарейки не возвращаются в коробку после проверки )
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
Задача
Задача
Задача
Задача
Распределение Пуассона.
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
Доказательство.
На рисунках показаны значения вероятностей для различных значений k и
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
О законах распределения дискретных случайных величин
Задача
Решение
Задача
Задача
Классическое определение вероятности
Для ряда распределения
Спасибо за внимание!
1/36
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 48)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (2592 Кб)
1

Первый слайд презентации: О законах распределения дискретных случайных величин

Ахмеджанова Т.Д.

Изображение слайда
2

Слайд 2: Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р, а непоявления - Какова вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз?

Изображение слайда
3

Слайд 3

Пусть событие А наступило в первых m испытаниях m раз и не наступило в n-m испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения: Общее число сложных событий, когда m раз наступает событие А, равно числу сочетаний из n по m элементов:.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Испытания независимы в совокупности и Р ( А ) = р,, вероятность каждого сложного события равна p m q n-m. В силу их несовместности вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, вероятность появления события А m раз в n испытаниях: ( формула Бернулли ).

Изображение слайда
5

Слайд 5: Задача

В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. Наудачу по одной извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины - числа исправных батареек среди извлеченных, построить графики, найти её основные числовые характеристики (рассмотреть оба случая). ? ? ?

Изображение слайда
6

Слайд 6: Решение ( батарейки возвращаются в коробку после проверки )

Пусть Х- дискретная случайная величина - число исправных батареек. Вероятность для каждой батарейки быть исправной (неисправной) определяем по формуле классической вероятности. Проводится n = 3 испытания Бернулли, в каждом из которых ?

Изображение слайда
7

Слайд 7

По формуле Бернулли ?

Изображение слайда
8

Слайд 8

X 0 1 2 3 p 0.012 0.123 0.410 0.455 Проверка: 0.012 + 0.123 + 0.410 + 0.455 = 1 M(X) = 0.123 + 0.82 + 1.365 = 2.308 D(X) = 0.123 + 1.64 + 4.095 - 5.3269 = 0.5312. Mo = 3 Me = 2 ?

Изображение слайда
9

Слайд 9: Полигон Гистограмма

Изображение слайда
10

Слайд 10: Решение ( батарейки не возвращаются в коробку после проверки )

Х- дискретная случайная величина - число исправных батареек. Вероятность для каждой батарейки быть исправной (неисправной) определяем с учётом зависимости рассматриваемых событий. X 0 1 2 3 p

Изображение слайда
11

Слайд 11

Рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений события А в n испытаниях. Возможными значениями величины Х будут числа 0, 1, 2,..., n -1, n.

Изображение слайда
12

Слайд 12

По формуле Бернулли найдем вероятности этих значений, а полученные данные запишем в виде таблицы распределения. Построенный закон дискретной случайной величины Х называется законом биномиального распределения. X 0 1 ... m ... n p … …

Изображение слайда
13

Слайд 13

X i 0 1 p i q p М( Х i ) = 0 q + 1 p = p, но так как Х = X 1 + X 2 +... +X n, то M(X) = np. D ( X i ) = p - p 2 = p (1 - p ) = pq. В силу независимости величин Х 1, Х 2,..., X n, D ( X) = D ( X 1 ) + D ( X 2 ) +... + D ( X n ) = npq. Пусть Х i - число появлений события А в каждом испытании - случайная величина с распределением следующего вида:

Изображение слайда
14

Слайд 14: Задача

Симпатичная студентка Люся Копейкина со своим приятелем Петей Чернышевым катаются на лыжах. Люся - первоклассная лыжница. Ей ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому же сделать пять поворотов. Что касается Пети, то его шансы упасть или не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Петя съедет с горы, упав не больше двух раз?

Изображение слайда
15

Слайд 15: Задача

Фасовщица Клава развешивает пряники в пакеты - по 1 кг в пакет. Пакеты Клава складывает в коробки - по 20 штук в коробку. Каждый из 10 пакетов Клава недовешивает. Контролер ОТК Иван Кузьмич подозревает Клаву в нечестности. Из 10 произвольных коробок он берет по одному пакету на проверку. Какова вероятность того, что у Ивана Кузьмича в руках окажется 3 недовешенных пакета?

Изображение слайда
16

Слайд 16: Задача

Самый правдивый человек на свете барон Мюнхгаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй - про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе, - хотя бы две абсолютно правдивые?

Изображение слайда
17

Слайд 17: Задача

Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного будильника, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 решки. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?

Изображение слайда
18

Слайд 18: Распределение Пуассона

Это распределение играет важную роль в ряде вопросов теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т. д. - в тех случаях, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.)

Изображение слайда
19

Слайд 19

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: 0, 1, 2,..., m,...(бесконечное, но счётное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой ( k = 0, 1, 2,...).

Изображение слайда
20

Слайд 20

Распределение Пуассона дает хорошую аппроксимацию биномиального распределения для больших значений n и малых значений р. Это распределение называют также законом редких явлений.

Изображение слайда
21

Слайд 21

Закон Пуассона зависит от одного параметра, смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Изображение слайда
22

Слайд 22: Доказательство

М( Х ) = Аналогично можно вычислить дисперсию случайной величины Х.

Изображение слайда
23

Слайд 23: На рисунках показаны значения вероятностей для различных значений k и

Изображение слайда
24

Слайд 24

При большом n и малом р действует приближенное соотношение: где = np

Изображение слайда
25

Слайд 25

Этот факт можно сформулировать в виде предельного утверждения: при любом k, ( k = 0, 1, 2,...) если существует

Изображение слайда
26

Слайд 26

Сумма n независимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с параметрами,,..., соответственно, имеет также распределение Пуассона с параметром

Изображение слайда
27

Слайд 27

Рассмотрим следующую задачу. Пусть на оси времени возникают точки - моменты появления каких-то однородных событий (например, приходов посетителей в магазин, поступлений вызовов на АТС etc.). Последовательность таких моментов обычно называют потоком событий. Предположим, что он обладает следующими свойствами:

Изображение слайда
28

Слайд 28

Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длины зависит только от его длины, а не от местоположения на оси. Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначим его а и назовем интенсивностью потока. Ординарность. Ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению вероятностью попадания на него одного события. Отсутствие последействия: вероятность попадания того или другого числа событий на заданный участок оси 0 t не зависит от того, сколько событий попало на любой другой непересекающийся с ним участок.

Изображение слайда
29

Слайд 29

Поток событий, обладающий этими тремя свойствами, называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком. NB! Условие стационарности потока не является обязательным для того, чтобы число событий, попадающих на участок длины, распределялось по закону Пуассона (достаточно, чтобы выполнялись условия 2 и 3).

Изображение слайда
30

Слайд 30: Задача

На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью а = 0.8 (вызов/мин). Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Изображение слайда
31

Слайд 31: Решение

Пусть Х - случайная величина - число вызовов за 2 минуты - распределена по закону Пуассона с параметром

Изображение слайда
32

Слайд 32: Задача

Известно, что на 100 булочек с изюмом попадается одна, в которой изюма нет вообще. Ученик 6б класса Костя Сидоров ставит одну жвачку Dirol против одной приятельской, что из купленной в школьном буфете булочки он выковыряет хотя бы 4 изюминки. Справедливо ли такое пари? (Указание: найти вероятность того, что в купленной булочке будет по крайней мере 4 изюминки, считая, что число изюминок в булочке подчиняется закону Пуассона.)

Изображение слайда
33

Слайд 33: Задача

В дневнике ученика 6б класса Кости Сидорова 60 страниц, и только одна из них без единого замечания, что является чистой случайностью. Сколько в дневнике страниц с тремя замечаниями? (Указание: найти вероятность того, что на произвольной странице имеется 3 замечания, считая, что число замечаний на странице подчиняется закону Пуассона.)

Изображение слайда
34

Слайд 34: Классическое определение вероятности

Изображение слайда
35

Слайд 35: Для ряда распределения

Изображение слайда
36

Последний слайд презентации: О законах распределения дискретных случайных величин: Спасибо за внимание!

Изображение слайда