Презентация на тему: НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример
Пример
Пример
Пример
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Пример
Пример
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример
Пример
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПРИМЕР
ПРИМЕР
ПРИМЕР
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПРИМЕР
1/39
Средняя оценка: 4.0/5 (всего оценок: 33)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (2566 Кб)
1

Первый слайд презентации: НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразной функцией от данной функции называется функция, производная которой равна данной функции или, что то же самое, дифференциал которой равен выражению : Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную. Теорема 2. Если функция есть первообразная от данной функции на отрезке, то всякая другая первообразная от функции отличается от на постоянное слагаемое, т. е. может быть представлена в виде, где: – постоянная.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Неопределённым интегралом от функции (или от выражения ) называется совокупность всех её первообразных Действие отыскания неопределённого интеграла, или, что то же самое, нахождение всех первообразных от данной функции, называется интегрированием этой функции.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Пример

( или ). Функция является одной из первообразных от функции :

Изображение слайда
4

Слайд 4: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

График первообразной функции от называется интегральной кривой. Если , то график функции есть интегральная кривая. Неопределённый интеграл геометрически представляется семейством всех интегральных кривых. Все кривые этого семейства могут быть получены из одной интегральной кривой параллельным сдвигом в направлении оси.

Изображение слайда
5

Слайд 5

Для того чтобы из данного семейства кривых выделить одну определённую кривую, нужно к условию задачи присоединить дополнительное условие, например, потребовать, чтобы кривая проходила через данную точку.

Изображение слайда
6

Слайд 6

, Из этого условия однозначно определяется постоянная : т. е..

Изображение слайда
7

Слайд 7: Пример

Через точку провести кривую, у которой угловой коэффициент касательной в каждой точке с абсциссой равен. Из этого семейства кривых нужно выбрать ту кривую, которая проходит через точку (начальное условие):

Изображение слайда
8

Слайд 8

Изображение слайда
9

Слайд 9: ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Производная от неопределённого интеграла есть подинтегральная функция, т. е. 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению, т. е. 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т. е.

Изображение слайда
10

Слайд 10

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, т. е. 5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждого слагаемого в отдельности, т. е.

Изображение слайда
11

Слайд 11: ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Изображение слайда
12

Слайд 12

Изображение слайда
13

Слайд 13

Изображение слайда
14

Слайд 14

Изображение слайда
15

Слайд 15: Пример

На основании свойств неопределённого интеграла имеем При каждом интегрировании получили свою произвольную постоянную. Но в конечном итоге запишем одну произвольную постоянную, так как,, – произвольные постоянные, то и их алгебраическая сумма также является произвольной постоянной: . Поэтому окончательно получим Правильность полученного результата нетрудно проверить дифференцированием :

Изображение слайда
16

Слайд 16: Пример

Изображение слайда
17

Слайд 17: Пример

Этот интеграл можно привести к интегралу от степенной функции, преобразовав его с помощью приёма подведения функции под знак дифференциала :

Изображение слайда
18

Слайд 18: Пример

Используем приём подведения функции под знак дифференциала :

Изображение слайда
19

Слайд 19: ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Интегрирование методом разложения Этот метод основан на разложении подинтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью других методов.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Пример

Проверка:

Изображение слайда
21

Слайд 21: Пример

Изображение слайда
22

Слайд 22

2. Интегрирование методом замены переменной Во многих случаях путем введения вместо переменной интегрирования новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом. Замена переменной в неопределённом интеграле производится с помощью подстановок двух видов: 1) Положив г де: – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной. Тогда.

Изображение слайда
23

Слайд 23

Формула замены переменной в этом случае имеет вид: Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой. 2) В простых случаях введение новой переменной рекомендуется выполнять в уме, применяя преобразования дифференциала и обозначая мысленно выражение в скобках из таблицы дифференциалов через. Такой прием интегрирования называется непосредственным.

Изображение слайда
24

Слайд 24

То есть Таблица часто встречающихся дифференциалов , где – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке имеет вид:

Изображение слайда
25

Слайд 25

,

Изображение слайда
26

Слайд 26

Изображение слайда
27

Слайд 27: Пример

Изображение слайда
28

Слайд 28: Пример

Изображение слайда
29

Слайд 29

3. Интегрирование по частям . Из формулы дифференциала произведения Пусть и – две функции от, И нтегрируя обе части равенства получаем: имеющие непрерывные производные.

Изображение слайда
30

Слайд 30

поэтому Это формула интегрирования по частям. Она чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций. При этом за принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за – та часть подинтегрального выражения, содержащая, интеграл от которой известен или может быть легко найден.

Изображение слайда
31

Слайд 31: Часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям

За следует принять многочлен I. Интегралы вида

Изображение слайда
32

Слайд 32

II. Интегралы вида За следует принимать функции

Изображение слайда
33

Слайд 33

IY. Интегралы вида За часто принимают показательную функцию,, но можно и тригонометрическую функцию,. III. Интегралы вида За следует принимать.

Изображение слайда
34

Слайд 34

Интегралы IY и Y видов называются циклическими и находятся из уравнения, получающегося после двукратного интегрирования по частям. Y. Интегралы вида За следует принимать функции,..

Изображение слайда
35

Слайд 35: ПРИМЕР

Изображение слайда
36

Слайд 36: ПРИМЕР

Изображение слайда
37

Слайд 37: ПРИМЕР

Изображение слайда
38

Слайд 38

Применив дважды операцию интегрирования по частям, опять получен исходный интеграл. Таким образом, пришли к уравнению с неизвестным интегралом : Из этого уравнения находим данный интеграл: В окончательном результате прибавим к найденной первообразной функции произвольную постоянную:

Изображение слайда
39

Последний слайд презентации: НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: ПРИМЕР

Изображение слайда