Презентация на тему: Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин

Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение.
Отсюда
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
График функции плотности вероятности равномерно распределённой случайной величины:
Определение.
Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на участке ( a, b ),
Определение
Дисперсию случайной величины, имеющей равномерное распределение на участке ( a, b ),
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Теорема
Доказательство.
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение возникает, например, при измерении какой-либо величины с помощью прибора с грубыми делениями. В качестве приближенного значения
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Функция распределения F ( x ) для случайной величины Х, распределенной равномерно на участке ( a, b ),
Её график:
показательное распределение
Показательное распределение
Закон нормального распределения
График функции нормального распределения
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Свойства функции Лапласа
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
1/33
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 66)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (322 Кб)
1

Первый слайд презентации: Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин

Ахмеджанова Т.Д.

Изображение слайда
2

Слайд 2: Равномерное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, принимающей все свои значения из отрезка, называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.:

Изображение слайда
3

Слайд 3: Отсюда

Мы знаем, что Имеем:

Изображение слайда
4

Слайд 4

Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно на отрезке имеет вид:

Изображение слайда
5

Слайд 5: График функции плотности вероятности равномерно распределённой случайной величины:

Изображение слайда
6

Слайд 6: Определение

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f (x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Изображение слайда
7

Слайд 7: Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на участке ( a, b ),

получаем, вычисляя интеграл: т.е. математическое ожидание равно абсциссе середины участка ( a, b ). ?

Изображение слайда
8

Слайд 8: Определение

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое ожидание которой M ( X ) = a, и функция f ( x ) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Изображение слайда
9

Слайд 9: Дисперсию случайной величины, имеющей равномерное распределение на участке ( a, b ),

находим, вычисляя интеграл: ?

Изображение слайда
10

Слайд 10

Среднее квадратическое отклонение равномерного распределения:

Изображение слайда
11

Слайд 11

Равномерное распределение моды не имеет. Медиана, из соображений симметрии, равна

Изображение слайда
12

Слайд 12: Теорема

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a;b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины Х, взятому в пределах от a до b:

Изображение слайда
13

Слайд 13: Доказательство

Так как F ( x ) является первообразной для f ( x ), то на основании формулы Ньютона- Лейбница имеем: С учётом этого соотношения и некоторых свойств функции распределения получаем искомое равенство. ?

Изображение слайда
14

Слайд 14

Вероятность попадания случайной величины Х, равномерно распределенной на участке (a, b), на произвольную часть участка (a, b):

Изображение слайда
15

Слайд 15: Равномерное распределение возникает, например, при измерении какой-либо величины с помощью прибора с грубыми делениями. В качестве приближенного значения измеряемой величины берется:

а) ближайшее целое; б) ближайшее меньшее целое; в) ближайшее большее целое. Рассматривается случайная величина Х – ошибка измерения. Так как ни одно из значений не предпочтительнее других, случайная величина Х распределена равномерно в случае : а) на участке (-1/2;1/2); б) на участке (0;1); в) на участке (-1;0) (в качестве 1 берется цена деления).

Изображение слайда
16

Слайд 16

При моделировании случайных процессов приходится пользоваться случайной величиной Х, имеющей равномерное распределение в пределах от 0 до 1: f ( x ) = 1( 0< x < 1). Эта величина называется «случайным числом от 0 до 1». Она служит исходным материалом, из которого путем соответствующих преобразований получаются случайные величины с любым заданным распределением. Также равномерное распределение имеют и ошибки, возникающие от округления данных при расчетах.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Функция распределения F ( x ) для случайной величины Х, распределенной равномерно на участке ( a, b ),

геометрически представляет собой площадь, ограниченную кривой распределения и лежащую левее точки х :

Изображение слайда
18

Слайд 18: Её график:

Изображение слайда
19

Слайд 19: показательное распределение

имеет непрерывная случайная величина Х, если: или

Изображение слайда
20

Слайд 20: Показательное распределение

играет базовую роль в решении задач, связанных с данными типа «времени жизни»: продолжительность жизни организмов в биологических и медицинских исследованиях, продолжительность безотказной работы устройств – в технике. Активно используется показательное распределение в задачах массового обслуживания (интервалы времени между вызовами на АТС, etc.).

Изображение слайда
21

Слайд 21: Закон нормального распределения

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f ( x ) определяется формулой параметр а совпадает с МО величины Х : а =М(Х), параметр является средним квадратическим отклонением величины Х:

Изображение слайда
22

Слайд 22: График функции нормального распределения

a x f(x ) График функции нормального распределения

Изображение слайда
23

Слайд 23

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения будет Для этой функции составлена таблица ее значений для положительных значений х (функция четная).

Изображение слайда
24

Слайд 24

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу, согласно теореме, ?

Изображение слайда
25

Слайд 25

Полагая сделаем замену переменной в интеграле. Тогда:

Изображение слайда
26

Слайд 26

Однако интеграл не берется в э лементарных функциях. По э тому для вычисления интеграла вводится функция называемая функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Для э той функции составлена таблица ее значений для положительных значений х.

Изображение слайда
27

Слайд 27: Свойства функции Лапласа

Ф( х ) есть нечетная функция

Изображение слайда
28

Слайд 28

Вероятность попадания на участок случайной величины Х, нормально распределённой, определяется через значения функции Лапласа по формуле

Изображение слайда
29

Слайд 29

Справедлива также формула С её помощью можно находить вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на участок, симметричный относительно точки а.

Изображение слайда
30

Слайд 30

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, в измерениях и т. п. В частности, оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному распределению. Этот факт, называемый центральной предельной теоремой, был доказан А. М. Ляпуновым.

Изображение слайда
31

Слайд 31

Изображение слайда
32

Слайд 32

Изображение слайда
33

Последний слайд презентации: Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин

Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала : Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент, полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:

Изображение слайда