Презентация на тему: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Основные понятия:
Типы устойчивости стационарного состояния
Рассмотрим систему (1):
Пусть в начальный момент времени t=t 0 координаты изображающей точки М 0 ( x ( t 0 ), y ( t 0 )). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет
Метод изоклин
Линии вдоль которых направление поля одинаково называются изоклинами. Точка пересечения всех изоклин называется особой точкой. Она соответствует стационарному
Устойчивость стационарного состояния
Линейные системы
Рассмотрим систему в каноническом виде:
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Если ad-bc=0, то состояниями равновесия являются все точки прямой
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Бифуркационная диаграмма
Пример. Система линейных химических реакций
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
1/18
Средняя оценка: 4.1/5 (всего оценок: 60)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (253 Кб)
1

Первый слайд презентации: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

Изображение слайда
2

Слайд 2: Основные понятия:

Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр.

Изображение слайда
3

Слайд 3: Типы устойчивости стационарного состояния

Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918) - выдающийся русский математик, создал теорию устойчивости состояний равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров. Работал также в области дифференциальных уравнений, гидродинамики, теории вероятностей.

Изображение слайда
4

Слайд 4: Рассмотрим систему (1):

P( x,y ), Q( x,y )- непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Пусть в начальный момент времени t=t 0 координаты изображающей точки М 0 ( x ( t 0 ), y ( t 0 )). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x ( t ), y ( t ). Совокупность точек М ( x ( t ), y(t )) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям (1), называется фазовой траекторией

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных образует фазовый портрет системы.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Метод изоклин

Изображение слайда
7

Слайд 7: Линии вдоль которых направление поля одинаково называются изоклинами. Точка пересечения всех изоклин называется особой точкой. Она соответствует стационарному состоянию системы (1) и определяется из условия Главные изоклины: dy /dx=0, P ( x,y ) =0 – изоклина горизонтальных касательных и dy / dx= , Q ( x,y ) =0 – изоклина вертикальных касательных

Изображение слайда
8

Слайд 8: Устойчивость стационарного состояния

Определение. Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия (  ) можно указать область  (  ), окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области , никогда не достигнет границы .

Изображение слайда
9

Слайд 9: Линейные системы

Типы поведения траекторий в окрестности стационарного состояния (2) (3) (4)

Изображение слайда
10

Слайд 10: Рассмотрим систему в каноническом виде:

Корни λ 1, λ 2 – действительны и одного знака. Особая точка типа узел

Изображение слайда
11

Слайд 11

2) Корни λ 1, λ 2 – действительны и разных знаков. Особая точка типа седло

Изображение слайда
12

Слайд 12: Если ad-bc=0, то состояниями равновесия являются все точки прямой

Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом Фазовый портрет, когда один из корней характе- ристического уравнения равен нулю, а другой – отрицательный

Изображение слайда
13

Слайд 13

(5) (6) Особая точка типа фокус 3) Корни λ 1, λ 2 – комплексные сопряженные

Изображение слайда
14

Слайд 14

Особая точка –центр 3) Корни λ 1, λ 2 – чисто мнимые

Изображение слайда
15

Слайд 15

Типы поведения фазовых траекторий в окрестности стационарного состояния для линейной системы

Изображение слайда
16

Слайд 16: Бифуркационная диаграмма

Изображение слайда
17

Слайд 17: Пример. Система линейных химических реакций

Изображение слайда
18

Последний слайд презентации: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

Уравнение изоклины вертикальных касательных Уравнение изоклины горизонтальных касательных Угол наклона касательных с осью Оу Угол наклона касательных с осью Ох Фазовый портрет системы линейных химических реакций

Изображение слайда