Презентация на тему: Множество комплексных чисел

Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Справедливо следующее правило : (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).
Нахождение степеней числа i
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Компоненты функции
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
1/33
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 12)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (414 Кб)
1

Первый слайд презентации

Множество комплексных чисел.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b -мнимой частью ( Im z ) Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами ( a;b ) Точка М( a;b ), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

Изображение слайда
3

Слайд 3

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d. Комплексное число a-bi называется комплексно сопряженным с числом a+bi и обозначается через = a-bi Комплексные числа вида a+bi и – a-bi называются противоположными.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Арифметические операции над комплексными числами Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число (a+c; b+d). Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое число u, которое в сумме с числом w даёт число z z = w + u.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Справедливо следующее правило : (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d)

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют комплексное число (ac – bd; ad + bc) Частным от деления z на w называют число u, равное: u

Изображение слайда
6

Слайд 6: Нахождение степеней числа i

Если показатель степени i делится на 4, то значение степени равно 1, если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно – i.

Изображение слайда
7

Слайд 7

Вычислить: 1) i 6 6, 2) i 143, 3 ) i 216,4) i 137 Решение: 1) i 66 66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i 66 =-1 2)i 143 143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143 =-i 3)i 216 216 :4=54(0).в остатке 0, значит i 216 =1 4)i 137 137 :4=34(1).В остатке 1, значит i 137 =i ,

Изображение слайда
8

Слайд 8

Пример 1 Вычислить:

Изображение слайда
9

Слайд 9

Геометрический смысл комплексного числа Каждой точке М плоскости с координатами ( a,b ) соответствует один и только один вектор с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi y x M(a;b) 0 b a

Изображение слайда
10

Слайд 10

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат Если на плоскости ввести полярные координаты ( r, φ ), где φ аргумент числа z ( φ = argz ) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ +iSIN φ ), где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

Изображение слайда
11

Слайд 11

Определение

Изображение слайда
12

Слайд 12

Изображение слайда
13

Слайд 13

Определение

Изображение слайда
14

Слайд 14

Тригонометрическое представление комплексного числа

Изображение слайда
15

Слайд 15

Тригонометрическая запись колмплексного числа

Изображение слайда
16

Слайд 16

Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде: z = r(cos φ + isin φ ), где - модуль, а φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами: Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

Изображение слайда
17

Слайд 17

Пример2. Записать в тригонометрической форме: Сначала находим модуль числа: Далее, согласно формулам (*), имеем: Учитывая, что угол Итак,

Изображение слайда
18

Слайд 18

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме При умножении / делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются / делятся, а аргументы складываются (вычитаются). (1) (2)

Изображение слайда
19

Слайд 19

Пример 3. Выполнить действия: Используя формулу (1), находим:

Изображение слайда
20

Слайд 20

При возведении комплексного числа z = r (Cos φ + i Sin φ ) в натуральную степень n модуль данного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени: формула Муавра

Изображение слайда
21

Слайд 21

Корень n -й степени из комплексного числа z = r (Cos φ + iSin φ ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле : Здесь к = 0, 1, 2, … n -1

Изображение слайда
22

Слайд 22

Пример 4. Решить уравнение Корнями данного уравнения являются все значения Для числа - 4 имеем r =2, Согласно формуле (3), находим: Если к = 0, то Если к = 1, то

Изображение слайда
23

Слайд 23

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера Если комплексному числу , модуль которого равен 1, поставить в соответствие показанное выражение , то получим соотношение то получим соотношение которое называется формулой Эйлера. Любое комплексное число можно записать в виде . Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Изображение слайда
24

Слайд 24

Пример: Записать число в показательной форме. Решение: Здесь тогда показательная форма числа имеет вид .

Изображение слайда
25

Слайд 25

Пример: Записать число в показательной форме. Решение. Что бы представить число в виде нужно найти модуль и аргумент числа . Здесь тогда так как точка лежит на мнимой оси комплексной пл оскости. Зная r и , получим .

Изображение слайда
26

Слайд 26

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел и справедливы формулы а для n -й степени комплексного числа используется формула

Изображение слайда
27

Слайд 27

Для вычисления корня из комплексного числа используется формула где k принимает n значений: 0,1,2,…, n -1.

Изображение слайда
28

Слайд 28: Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа

Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости Определение. Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений. Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например, f ( z )= az + b ( a, b – фиксированные комплексные числа)-однозначная функция ; - однозначная функция

Изображение слайда
29

Слайд 29

- n- значная функция; -бесконечнозначная функция. Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной.В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

Изображение слайда
30

Слайд 30

Пример: Для функции найти Решение: Подставим в место z значение i в функцию Ответ: f(i)=1

Изображение слайда
31

Слайд 31: Компоненты функции

Пусть дана функция, Представим z в алгебраической форме Значение f(x)- комплексное число,т.е.,которое также можем представить в алгебраической форме,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары( x, y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде ,где и -действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z), u- действительная компонента, v- мнимая компонента.Пишут :

Изображение слайда
32

Слайд 32

Пример: Для функции Где найти ее действительную и мнимую часть. Решение: (x+iy) 2 +4i=x 2 +2ixy-y 2 +4i=(x 2 -y 2 )+(2xyi+4i)= (x 2 -y 2 )+i(2xy+4). Тогда действительная часть функции f(z) - x 2 -y 2, а мнимая - 2xy+4.

Изображение слайда
33

Последний слайд презентации: Множество комплексных чисел

Понятие непрерывности определяется аналогично действительному случаю. F(z)- непрерывна в точке Так как это определение формально совпадает с обычным,то все свойства непрерывной функции комплексного аргумента совпадают дословно со свойствами действительных функций.

Изображение слайда