Презентация на тему: Множества. Операции над множествами

Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
Основные определения теории множеств. Примеры
Основные определения теории множеств. Примеры
Структура множества
Способы задания множества
Множества. Операции над множествами.
Числовые множества
Количество элементов множества
Равенство множеств
Диаграммы Эйлера-Венна
Множества. Операции над множествами.
Подмножество. Включение
Пустое множество 
Операции над множествами
1. Пересечение множеств А∩В
Непересекающиеся множества
Свойства пересечения
2. Объединение множеств АUВ
Свойства объединения
3. Разность множеств А\ В
Свойства операции разности
4. Дополнение множеств Ā
Свойства дополнения
Декартово произведение множеств
Декартово произведение множеств
Определение декартова произведения
Пример декартова произведения
Соответствие множеств
Пример соответствия множеств
Отображение множеств f: X→Y
Сюръективное отображение
Инъективное отображение
Взаимно-однозначное соответствие
Задания
Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
Решение задач с помощью кругов Эйлера
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 9. Решение
Задача 10
Множества. Операции над множествами.
Связь между алгеброй логики и теорией множеств
Множества. Операции над множествами.
Решение 1.
Решение 2.
№6
Решение.
Множества. Операции над множествами.
Множества. Операции над множествами.
1/61
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 24)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1404 Кб)
1

Первый слайд презентации: Множества. Операции над множествами

Изображение слайда
2

Слайд 2

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918)

Изображение слайда
3

Слайд 3: Основные определения теории множеств. Примеры

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которому трудно дать определение. Дело в том, что определить понятие – это значит найти такое родовое понятие, в которое это понятие входит в качестве вида, но понятие «множество» - это самое широкое понятие математики и математической логики, т.е. категория, а для категории нельзя найти более широкое, т.е. родовое понятие. Ограничимся описательным объяснением этого понятия. Основные определения теории множеств. Примеры

Изображение слайда
4

Слайд 4: Основные определения теории множеств. Примеры

Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое. Основные определения теории множеств. Примеры Примеры: множество людей, живущих сейчас в России, множество точек данной геометрической фигуры, множество решений данного уравнения. невозможно говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Структура множества

Каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются элементами множества. Факт, что элемент а принадлежит множеству Х будем обозначать: а  Х. Порядок элементов в множестве несущественен. Множества { а, в, с } и { а, с, в } одинаковы. При этом, нужно иметь ввиду, что элемент а и множество { а } – это не одно и то же. Первое – это объект, обозначенный а, второе – это множество, состоящее из единственного элемента а. Поэтому можно сказать, что « а принадлежит { а }» – это истинное суждение. В то время как, «{ а } принадлежит а » - это ложное суждение. Структура множества

Изображение слайда
6

Слайд 6: Способы задания множества

Перечисление элементов множества. Обычно перечислением задают конечные множества. Описание свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Способы задания множества

Изображение слайда
7

Слайд 7

Примерами множеств могут служить: а) множество всех натуральных чисел, б) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля), в) множество всех рациональных чисел, г) множество всех действительных чисел, д) множество площадей треугольников, е)множество четырехугольников,

Изображение слайда
8

Слайд 8: Числовые множества

Множество НАТУРАЛЬНЫХ чисел N, N={1, 2, 3, 4, 5, …} Множество ЦЕЛЫХ чисел Z, Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Множество РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел Q, Q={x| x=p/q, где p  Z, q  N } Множество ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел I -, бесконечные непериодические дроби, (,  =3,141592…, e =2,718281, …) Множество ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел R получено объединением РАЦИОНАЛЬНЫХ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел. Множество КОМПЛЕКСНЫХ чисел C, содержащих в себе мнимую единицу і, которая является квадратным корнем из –1. Построены для извлечения корня из отрицательных чисел. Эти виды чисел используются в современной математике. Причем комплексные числа включают в себя все остальные виды чисел. Это множество чисел наиболее широкое, хотя и оно также может расширяться. Числовые множества

Изображение слайда
9

Слайд 9: Количество элементов множества

Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно – множество называется конечным. Определение: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества. Определение: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимооднозначное соответствие с элементами множества положительных целых чисел, то говорят, что множество счетно. Например : множество действительных чисел - бесконечное множество. множество чисел, делящихся без остатка на 3 – счетное множество, множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно. Количество элементов множества

Изображение слайда
10

Слайд 10: Равенство множеств

Определение: Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. любой элемент множества Х является элементом множества Y, и любой элемент множества Y является элементом множества Х. Равенство множеств

Изображение слайда
11

Слайд 11: Диаграммы Эйлера-Венна

Для наглядного представления (графического изображения ) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга. Диаграммы Эйлера-Венна

Изображение слайда
12

Слайд 12

«Парадокс брадобрея". Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Подмножество. Включение

Определение: Множество A является подмножеством B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Это еще называется нестрогим включением A  B. Например : Пусть Х – множество студентов некоторой группы, Е – множество отличников этой же группы. E  X т.к. группа может состоять только из отличников. Когда хотят подчеркнуть, что в множестве B есть обязательно элементы, отличные от элементов множества A, то пишут A  B. Это называется строгим включением. Например : Пусть Х – множество всех студентов ВлГУ, Е – множество студентов педагогического института. E  X т.к. в множестве всех студентов ВлГУ обязательно есть элементы  E. Подмножество. Включение

Изображение слайда
14

Слайд 14: Пустое множество 

Если характеристическим свойством, задающим множество, А не обладает ни один объект, то говорят, что множество А пустое. Понятие пустого множества очень важное понятие. Оно позволяет описательно задавать множества, не заботясь, есть ли в этом множестве элементы и совершенно спокойно оперировать с этими множествами. Пустое множество будем считать конечным множеством. Например : множество действительных корней уравнения пустое. Пустое множество 

Изображение слайда
15

Слайд 15: Операции над множествами

Изображение слайда
16

Слайд 16: 1. Пересечение множеств А∩В

Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В (А∩В). Например, а) А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩В = {3; 9}; б) А = {10; 20; …; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то А∩В = {30; 60; 90}. 1. Пересечение множеств А∩В

Изображение слайда
17

Слайд 17: Непересекающиеся множества

Определение : Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству. Например : а) непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих. б ) непересекающимися множествами являются множества А = {3; 9; 12} и В = {1; 5; 7; 11}. Непересекающиеся множества

Изображение слайда
18

Слайд 18: Свойства пересечения

X∩Y = Y∩X – коммутативность; (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – ассоциативность; X∩  = ; X∩ I = Х; Свойства пересечения

Изображение слайда
19

Слайд 19: 2. Объединение множеств АUВ

Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, АUВ=? АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. 2. Объединение множеств АUВ

Изображение слайда
20

Слайд 20: Свойства объединения

X UY = Y UY - коммутативность; (X UY ) U Z =X U (Y U Z)=X U Y U Z – ассоциативность; XU  = X ; XU I = I. Свойства объединения

Изображение слайда
21

Слайд 21: 3. Разность множеств А\ В

Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Например, А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, А\ В={2; 4; 6; 8}. 3. Разность множеств А\ В

Изображение слайда
22

Слайд 22: Свойства операции разности

А\В ≠ В\А; А\А=∅; А\∅=А; I \А= Ā. Свойства операции разности

Изображение слайда
23

Слайд 23: 4. Дополнение множеств Ā

Дополнением множества А называется разность I \ А. То есть, дополнением множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества, не принадлежащих множеству А. Например, А = {3; 6; 9; 12} и I =N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, Ā =? Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}. 4. Дополнение множеств Ā

Изображение слайда
24

Слайд 24: Свойства дополнения

1. Множество X и его дополнение не имеют общих элементов 2. Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению. 3. Закон двойного отрицания Свойства дополнения

Изображение слайда
25

Слайд 25: Декартово произведение множеств

Фабрика верхнего трикотажа изготовляет мужские пуловеры, женские костюмы, кофты и платья следующих расцветок: бордо, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая. Посмотрим, какие изделия можно получить, учитывая возможные для них расцветки. Обозначим через А множество видов изделий: А={мужской пуловер, женский костюм, кофта, платье}, через В – множество предлагаемых расцветок: В={бордо, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая}. C оставим список всех пар из элементов множества А и элементов множества В таким образом, что сначала будем записывать элемент множества А, затем элемент множества В. получим множество С упорядоченных пар элементов множеств А и В. Возможные изделия можно перечислить с помощью таблицы.

Изображение слайда
26

Слайд 26: Декартово произведение множеств

A B Мужской пуловер Женский костюм Кофта Платье Бордо Пуловер-бордо костюм-бордо Кофта-бордо Платье-бордо Синяя Пуловер-синий Голубая Зеленая Кофта-зеленая Коричневая Платье-коричневое Серая Костюм-серый Декартово произведение множеств

Изображение слайда
27

Слайд 27: Определение декартова произведения

Декартовым (или прямым) произведением А×В множества А на множество В называется множество всех упорядоченных пар, в которых первая компонента – элемент множества А, а вторая – элемент множества В. А×В={( x, y ) | x∈A, y∈B }. Количество элементов в декартовом произведении двух множеств: если m (А) =n, m (B) =k, то m (А×В) =n⋅k. Определение декартова произведения

Изображение слайда
28

Слайд 28: Пример декартова произведения

Вычислить количество двухзначных чисел. Двухзначное число можно принять за упорядоченную пару, где на первом месте может стоять цифра из множества А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а на втором – из множества В={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, т.е. за элемент прямого произведения этих множеств, тогда получаем: m (А)=9, m (B)=10, то m (А×В)=9⋅10=90. Итак, всего имеется 90 различных двухзначных чисел. Пример декартова произведения

Изображение слайда
29

Слайд 29: Соответствие множеств

Определение. Будем говорить, что между элементами двух множеств А и В установлено соответствие ρ, если в их произведении А×В выделено некоторое подмножество Ω. Если пара ( a,b )∈Ω⊆Α×Β, это означает по определению, что элементы a и b множеств А и В находятся в отношении ρ (пишется aρb ). Пример соответствия. Пусть даны множества А – студентов и В – множество групп. Утверждение “студент a учится в группе b ” задает соответствие между множеством студентов и множеством групп. Здесь а пробегает множество значений А, b – множество значений В. Такое соотношение называется бинарным соответствием, т.е. соответствием между двумя множествами А и В. Соответствие множеств

Изображение слайда
30

Слайд 30: Пример соответствия множеств

Группы Студенты 1 2 3 Иванов Петров Сидоров Пример соответствия множеств И П С 1 2 3 Бинарные соответствия можно задавать таблицами (например, расписание занятий) или ориентированными графами.

Изображение слайда
31

Слайд 31: Отображение множеств f: X→Y

x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Определение. Если каждому элементу x∈X поставлен в соответствие единственный элемент y∈Y, то такое соответствие называется отображением множества Х в множество Y. Т.е., каждому элементу х соответствует только один элемент y. При таком отображении множества Х в множество Y, элемент y∈Y называется образом элемента x∈X, а элемент x∈X называется прообразом элемента y∈Y. Пример. Пусть Х – множество студентов в аудитории, Y – множество столов в этой аудитории. Соответствие “студент х сидит за столом y” задает отображение множества Х в множество Y, так как все студенты сидят за столом, иногда по двое, по трое и т.д., но есть и пустые столы.

Изображение слайда
32

Слайд 32: Сюръективное отображение

Определение.

Изображение слайда
33

Слайд 33: Инъективное отображение

Определение.

Изображение слайда
34

Слайд 34: Взаимно-однозначное соответствие

Определение.

Изображение слайда
35

Слайд 35: Задания

Изображение слайда
36

Слайд 36

Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555. 2) Задайте множество А описанием: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д ) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }. 3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6 }, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

Изображение слайда
37

Слайд 37

Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое. 2. Верно ли, что: а) – 5 N ; б) -5 Z ; в) 2,(45) Q ? 3. Верно ли, что: а) 0,7 {х | х 2 – 1 < 0}; б) – 7 {х | х 2 + 16х ≤ - 64}?

Изображение слайда
38

Слайд 38

Задание 3 1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А … D ; б ) А … В; в) С … А; г) С … В. 2. Даны три множества А = {1, 2, 3, …, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16, …, 36}. Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

Изображение слайда
39

Слайд 39

Задание 4 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) А∩В; 2) А∩С; 3) С∩В. 2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}. Найдите А∩В. 3. Даны множества: А = { a, b, c, d }, B = { c, d, e, f }, C = { c, e, g, k }. Найдите (А∩В)∩С.

Изображение слайда
40

Слайд 40

Задание 5 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите : 1 ) АUВ ; 2 ) АUС ; 3) СUВ. 2. Даны множества: А = { a, b, c, d }, B = { c, d, e, f }, C = { c, e, g, k }. Найдите (АUВ)UС.

Изображение слайда
41

Слайд 41: Решение задач с помощью кругов Эйлера

ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский ученый — математик, механик, физик и астроном.

Изображение слайда
42

Слайд 42: Задача 1

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента. Задача 1

Изображение слайда
43

Слайд 43: Задача 2

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В? Задача 2

Изображение слайда
44

Слайд 44: Задача 3

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме? Задача 3

Изображение слайда
45

Слайд 45: Задача 4

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу? Задача 4

Изображение слайда
46

Слайд 46: Задача 5

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием? 46 Задача 5

Изображение слайда
47

Слайд 47: Задача 6

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе ? Задача 6

Изображение слайда
48

Слайд 48: Задача 7

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников ; планетарий и стадион-3 ; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места? Задача 7

Изображение слайда
49

Слайд 49: Задача 8

В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки? Задача 8

Изображение слайда
50

Слайд 50: Задача 9

На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 – го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так : книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б ) прочитали ровно две книги; в) не прочили ни одной из указанных книг? Задача 9

Изображение слайда
51

Слайд 51: Задача 9. Решение

а) Ответ: 15 учеников б) в) Ответ: 12 учеников Ответ: 3 ученика Задача 9. Решение

Изображение слайда
52

Слайд 52: Задача 10

На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке? Задача 10

Изображение слайда
53

Слайд 53

Литература [1 ] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л.А. Александрова и др.] -12-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. [2 ] Занимательная математика. 5 – 11 классы. Авт.- сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград : Учитель, 2005. – 96 с. [3 ] Математика 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 11 –е изд. - М.: Просвещение, 2010. – 303 с.: ил. 53

Изображение слайда
54

Слайд 54: Связь между алгеброй логики и теорией множеств

Дело в том, что термин алгебра в своем роде имя нарицательное. Под ним понимается раздел математики, изучающий алгебраические операции, а природа объектов, к которым применяются эти операции, не важна. Говоря об алгебре логики или об алгебре множеств, мы более всего уделяли внимание операциям, определенным над допустимыми в данной теории объектами, свойствам этих операций. Еще одним хорошо известным вам примером алгебры, является алгебра чисел, к которой все выписанные законы также применимы. Проводя аналогии между этими алгебрами, мы можем сказать Связь между алгеброй логики и теорией множеств

Изображение слайда
55

Слайд 55

№ 5. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Изображение слайда
56

Слайд 56: Решение 1

Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k. Согласно формуле доказанной выше n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6. Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

Изображение слайда
57

Слайд 57: Решение 2

Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек. Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Изображение слайда
58

Слайд 58: 6

На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

Изображение слайда
59

Слайд 59: Решение

n ( А) = 47 – знают английский язык n ( В) = 35- знают немецкий язык n ( C)= x – не знают ни английский, ни немецкий язык n (A B ) = 23 – знают английский и немецкий языки n ( A ) = 67 – работники фирмы 67 = 47 +35 – 23 + x x = 8 Ответ: 8 человек не знают ни английский, ни немецкий язык.

Изображение слайда
60

Слайд 60

№ 7. Изобразите с помощью кругов Эйлера пересечение множеств K и M, если: а) K L б) L K в) K = L г) K L =

Изображение слайда
61

Последний слайд презентации: Множества. Операции над множествами

k L L K L=K L Решение задачи с помощью кругов Эйлера.

Изображение слайда