Презентация на тему: Многочлены

Многочлены
Многочлены от одной прямой переменной
Деление многочленов
Деление многочленов
Деление многочленов с остатком
Многочлены
Теорема Безу
Многочлены
Следствие теоремы Безу
Схема Горнера
Многочлены
Многочлены
Многочлены
Многочлены
Многочлены
Многочлены
Многочлены
Многочлены
Многочлены от нескольких переменных
Многочлены от нескольких переменных
1/20
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 82)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (510 Кб)
1

Первый слайд презентации: Многочлены

МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

Изображение слайда
2

Слайд 2: Многочлены от одной прямой переменной

р (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - стандартный вид многочлена р ( х ) a n x n – старший член многочлена р ( х ) a n – коэффициент при старшем члене Если a n = 1, то многочлен р ( х ) называется приведенным Если a n ≠ 1, то многочлен р ( х ) называется неприведенным a о – свободный член многочлена р ( х ) n – степень многочлена

Изображение слайда
3

Слайд 3: Деление многочленов

р (x) = s(x)  q(x) Говорят, что многочлен р ( х ) делится на многочлен s(x), если существует такой многочлен q(x), что выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – частное

Изображение слайда
4

Слайд 4: Деление многочленов

частное делитель Деление многочленов х 2 + 5 х 3 + 5х − − 3х 2 − 15 х − 3х 2 − 15 0 т. к. х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = (х 2 + 5)( х − 3), то многочлен х 3 − 3х 2 + 5х − 15 делится на многочлены х 2 + 5 и х − 3. Пример 1 − 3 − делимое х 3 − 3х 2 + 5х − 15

Изображение слайда
5

Слайд 5: Деление многочленов с остатком

р (x) = s(x) q(x) + r ( х ) Для любых двух многочленов ненулевой степени р ( х ) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – неполное частное r(x) – остаток

Изображение слайда
6

Слайд 6

остаток частное делитель делимое 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 т. к. 2х 2 − х − 3 = 2х 2 − 4х + 3х − 6 + 3 = = 2х( х − 2) + 3( х − 2) + 3 = ( х − 2)(2х + 3) + 3, Пример 2 + 3 Деление многочленов с остатком то 2х 2 − х − 3 = ( х − 2)(2х + 3) + 3 −

Изображение слайда
7

Слайд 7: Теорема Безу

р (x) = (x − а ) q(x) + r Остаток от деления многочлена р ( х ) ненулевой степени на двучлен x − а равен р ( а ) (т.е. значению многочлена р (x) при х = а ) p(x) – делимое (или кратное) q(x) – частное r – остаток (число) x − а – делитель

Изображение слайда
8

Слайд 8

По теореме Безу: р (2) = 2  2 2 − 2 − 3 = 3 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 Найдем остаток от деления многочлена р ( х ) = 2х 2 − х − 3 на двучлен х − 2. Пример 2 + 3 Деление многочленов с остатком − остаток

Изображение слайда
9

Слайд 9: Следствие теоремы Безу

Если число а является корнем многочлена р ( х ), то р ( х ) делится на двучлен x − а. Если при х = а многочлен р( х ) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р ( а ) = 0, то число а называют корнем многочлена. Следствие Определение

Изображение слайда
10

Слайд 10: Схема Горнера

Пусть р (x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f. Разделим р ( х ) на x − а получим р (x) = ( х − а ) q(x) + r, где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s, коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера : b c d e f a k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f

Изображение слайда
11

Слайд 11

Коэффициенты частного: 2, − 3, 3, − 4, 8, а остаток r = − 11. Значит, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 = = ( х + 2)( 2x 4 − 3 x 3 + 3x 2 − 4 x + 8) − 11 Разделим р (x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 на x + 2. Здесь a = − 2 ; Коэффициенты равны соответственно 2, 1, −3, 2, 0, 5. Строим таблицу для применения схемы Горнера: остаток Пример 3 2 1 − 3 2 0 5 − 2 2 2 ( − 2)+1 − 3 ( − 2)+( − 3) 3 ( − 2)+2 − 4 ( − 2)+0 8 ( − 2)+5 2 − 3 3 − 4 8 − 11

Изображение слайда
12

Слайд 12

Разложение квадратного трехчлена на множители 4 Вынесение общего множителя за скобки 1 Способ группировки 2 Использование формул сокращенного умножения 3 Разложение многочлена на множители

Изображение слайда
13

Слайд 13

Вынесение общего множителя за скобки Применяя распределительный закон умножения относительно сложения: ( a + b)c = ac + bc В обратном порядке: ac + bc = c ( a + b) Пример 4 8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х = 2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1 ) 3х 3 + 6х 6 − 27х 4 = 3 x 3 ( 1 + 2х 3 − 9 x)

Изображение слайда
14

Слайд 14

Способ группировки Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом: a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = а + b + c Пример 5 3х 3 + 6х 2 − 27х − 54 = 3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18 ) = = 3(х 2 ( х + 2) − 9( х + 2 ) ) = 3( х + 2)(х 2 − 9) = = 3( х + 2)( х − 3)( х + 3)

Изображение слайда
15

Слайд 15

Использование формул сокращенного умножения ( a + b )(а − b ) = a 2 − b 2 – разность квадратов ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы ( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 – квадрат разности (a + b ) (a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 – сумма кубов (a − b ) (a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 – разность кубов (a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 – куб разности (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 – куб суммы Пример 6 х 6 − 1 = = ( х + 1)(х 2 − х + 1 ) ( х − 1)( х 2 + х + 1 ) (х 3 ) 2 − 1 2 = ( х 3 + 1)(х 3 − 1) =

Изображение слайда
16

Слайд 16

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена a х 2 + b х + с, то a х 2 + b х + с = а ( х − х 1 )( х − х 2 ) Пример 7 2х 2 − 3х − 5 = 2 ( х + 1) ( х − 2,5) = ( х + 1)(2х − 5)

Изображение слайда
17

Слайд 17

Теорема Пусть все коэффициенты многочлена р ( х ) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р ( х ), то а – делитель свободного члена многочлена р ( х ). Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р ( х ) – многочлен третьей степени: р ( х ) = b х 3 + сх 2 + dx + т, где все коэффициенты b, с, d, т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р ( х ). Это значит, что р (а) = 0, т. е. b а з + ca 2 + da + m = 0. Преобразуем полученное равенство к виду т = а( – b а 2 – са – d ) и обозначим целое число (– b а 2 – са – d ) буквой k. Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что число а – делитель числа т, т. е. делитель свободного члена многочлена р ( х ). Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р ( х ) – многочлен четвертой, пятой и вообще n - й степени.

Изображение слайда
18

Слайд 18

Пример 8 х 3 − 3х 2 − 10х + 24 = ( х – 2)(х 2 − х − 12) = = ( х – 2)( х − 4)( х + 3 ) Разложить многочлен: х 3 − 3х 2 − 10х + 24 Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24. р (1) = 12 ≠ 0, р (−1) = 30 ≠ 0, р (2) = 0. Значит х = 2 – корень многочлена р ( х ). С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) : 1 − 3 −10 24 2 1 2 1+( − 3) 2  ( − 1) −10 2  ( −1 2)+24 1 −1 − 12 0

Изображение слайда
19

Слайд 19: Многочлены от нескольких переменных

х 2 – у 2 = ( х – у)( х + у ) х 3 – у 3 = ( х – у)( х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = ( x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y )(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)( х n−1 + х n−2 y + х n −3 y 2 + … + + х 2 y n− 3 + x y n − 2 + y n−1 ) Многочлены от нескольких переменных

Изображение слайда
20

Последний слайд презентации: Многочлены: Многочлены от нескольких переменных

х 3 + у 3 = ( х + у)( х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y )(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)( х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 – – х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n ) Многочлен Р( х ; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п. Если Р( х ; у) однородный многочлен, то уравнение Р( х ; у ) = 0 называют однородным уравнением.

Изображение слайда