Презентация на тему: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Содержание
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Метод введения новой переменной
Метод введения новой переменной
Метод введения новой переменной
Метод введения новой переменной
Метод введения новой переменной
Метод введения новой переменной
Метод введения новой переменной
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)
Функциональный метод
Функциональный метод
Функциональный метод
Методы использования различных тригонометрических формул
Методы использования различных тригонометрических формул
Методы использования различных тригонометрических формул
Урок одной задачи
1 способ: С помощью формул приведения
2 способ: ( с помощью вспомогательного аргумента)
3 способ: приведение уравнения к однородному
3 способ: приведение уравнения к однородному
4 c пособ : Возведение обеих частей уравнения в квадрат
5 способ: универсальная подстановка
5 способ: универсальная подстановка
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1/32
Средняя оценка: 4.3/5 (всего оценок: 27)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (685 Кб)
1

Первый слайд презентации

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Изображение слайда
2

Слайд 2: Содержание

Простейшие тригонометрические уравнения Метод введения новой переменной Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Функциональный метод Методы использования различных тригонометрических формул Урок одной задачи

Изображение слайда
3

Слайд 3: Простейшие тригонометрические уравнения

sinx = a x=(-1) n arcsina + π n, n ϵ Z sinx = 0 x= π n, n ϵ Z sinx = 1 x=, n ϵ Z sinx = - 1 x= -, n ϵ Z arcsin(-a) = -arcsina

Изображение слайда
4

Слайд 4: Простейшие тригонометрические уравнения

cosx = a x= ± arccosa +2 π n, n ϵ Z cosx = 1 x=2 π n, n ϵ Z cosx = 0 x=, n ϵ Z cosx = - 1 x= π +2 π n, n ϵ Z arccos(-a) = π – arccos a

Изображение слайда
5

Слайд 5: Простейшие тригонометрические уравнения

tgx = a x= ± arctga + π n, n ϵ Z ctgx = a x= ± arcctga + π n, n ϵ Z arctg(-a) = -arctga arcctg(-a) = π -arcctga

Изображение слайда
6

Слайд 6: Метод введения новой переменной

Схема решения Шаг 1.  Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2.  Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3.  Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4.  Сделать обратную замену. Шаг 5.  Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Изображение слайда
7

Слайд 7: Метод введения новой переменной

Пример 1 : Решим уравнение 2 sin 2  x + sin x – 1 = 0 Решение. Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем квадратное уравнение: 2y 2  + y – 1 = 0, из которого у 1 =1\2 и у 2 = -1

Изображение слайда
8

Слайд 8: Метод введения новой переменной

Таким образом: sinx =1/2 и sin x = –1 Находим значения  x : 1) x =  (–1)n π/6 + πk 2) x =  –π/2 + 2πn Ответ :  x = (–1)n π/6 + πk,  k ∈ Z x = –π/2 + 2πn,  n ∈ Z

Изображение слайда
9

Слайд 9: Метод введения новой переменной

Пример 2 : Решим уравнение 6 sin2  x  + 5 cos  x  – 2 = 0. Решение : Мы знаем, что sin 2   x  + cos 2   x  = 1. Отсюда выводим значение sin 2  x: sin 2   x  = 1 – cos 2   x. Вводим это значение sin 2   x  в наш пример: 6 (1 – cos 2   x ) + 5 cos  x  – 2 = 0. Раскрываем скобки:

Изображение слайда
10

Слайд 10: Метод введения новой переменной

6 – 6 cos 2   x  + 5 cos  x  – 2 = 0. Сводим подобные члены: 4 – 6 cos 2   x  + 5 cos  x   = 0. Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило): – 6 cos 2   x  + 5 cos  x  + 4 = 0.

Изображение слайда
11

Слайд 11: Метод введения новой переменной

Введем опять новую переменную y =  cos  x  и в результате получим квадратное уравнение: – 6у 2  + 5у + 4 = 0. Решив его, находим корни: у = – 1/2 или у =4/3 Обратная замена: Рассмотрим вариант cosx= 4\3

Изображение слайда
12

Слайд 12: Метод введения новой переменной

Мы видим, что в этом случае cos  x  > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos  x  меньше 1 (cos  x  < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса: 1       2π arccos( – —) = ——                 2        3 Осталось найти  x : 2π x  = ± —  +  2πk,  k ∈ Z 3

Изображение слайда
13

Слайд 13: Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

Схема решения Шаг 1.   Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Изображение слайда
14

Слайд 14: Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

Шаг 2.   Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos 2  x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg 2  x + b arctg x + c = 0. Пример 1: Решите уравнение 3 cosx - 2 sinx = 0. Решение:

Изображение слайда
15

Слайд 15: Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

3 cosx - 2 sinx = 0 /: cosx, 3 – 2 tgx= 0, tgx= 1,5, x = arctg1,5 + π n, n ϵ Z Ответ: x = arctg1,5 + π n, n ϵ Z

Изображение слайда
16

Слайд 16: Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

Пример 2: 5sin 2  x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 1)  5sin 2  x + 3sin x · cos x – 4(sin 2  x + cos 2  x) = 0; 5sin 2  x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2  x = 0; sin 2  x + 3sin x · cos x – 4cos 2  x = 0 /cos 2  x ≠ 0.

Изображение слайда
17

Слайд 17: Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

2)  tg 2  x + 3tg x – 4 = 0. 3)  Пусть tg x = t, тогда t 2  + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 +  πk, k Є Z. Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Изображение слайда
18

Слайд 18: Функциональный метод

Использование свойств: 1.Выделение полного квадрата из квадратичного трехчлена. 2.Свойство ограниченности функции косинус: −1≤ cosх≤ 1 3.Свойство ограниченности квадратичной функции: ( x+ m) 2 + k≥ k

Изображение слайда
19

Слайд 19: Функциональный метод

Пример 1.  Решите уравнение cos2 π x = x 2 −8 x +17 Решение:  cos2 π x = x 2 −8 x +17 cos2 π x = ( x −4) 2 +1 . Оценим левую и правую части уравнения: −1 ≤ cos2 π x≤ 1  и  ( x −4) 2 +1≥1  . Следовательно, равенство достигается, если  cos2 π x =1 и  ( x −4) 2 +1 =1.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Функциональный метод

Решая второе уравнение системы, получаем  x  = 4. Подставляем это значение в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно,  x  = 4 корень исходного уравнения. Ответ:  x  = 4

Изображение слайда
21

Слайд 21: Методы использования различных тригонометрических формул

Схема решения Шаг 1.  Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III. Шаг 2.  Решить полученное уравнение известными методами.

Изображение слайда
22

Слайд 22: Методы использования различных тригонометрических формул

Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение: 1)  (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. 2)  sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Изображение слайда
23

Слайд 23: Методы использования различных тригонометрических формул

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n ϵ Z; из второго уравнения: cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z. Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.

Изображение слайда
24

Слайд 24: Урок одной задачи

Решим уравнение: sinx + cosx = 1. Это уравнение можно решить несколькими способами, предложим 5 способов.

Изображение слайда
25

Слайд 25: 1 способ: С помощью формул приведения

. Представим sinx = cos ( π /2 + x ). Воспользуемся формулой суммы косинусов: 2 cos(( π /2 + 2x ) \2)cos π / 4=1, тогда √ 2 cos ( π / 4 + x)=1, π / 4 + x=±arccos(1/√2) +2 π n, n ϵ Z x 1 =2 π n, n ϵ Z; x 2 = - π / 2 +2 π n, n ϵ Z

Изображение слайда
26

Слайд 26: 2 способ: ( с помощью вспомогательного аргумента)

Разделим обе части уравнения на √ 2, получим: ( 1 /√2) sinx + ( 1 /√2) cosx = ( 1 /√2), тогда sinx cos π /4 +sin π /4 cosx= ( 1 /√2), sin( π /4 +x)= ( 1 /√2), sin( π /4 +x)= ( 1 /√2), π /4 +x 1 = π /4 + 2 π n, n ϵ Z, π /4 +x 2 = 3 π /4 + 2 π n, n ϵ Z, x 1 =2 π n, n ϵ Z, x 2 = π /2 + 2 π n, n ϵ Z.

Изображение слайда
27

Слайд 27: 3 способ: приведение уравнения к однородному

sin x + cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 + cos² x/2 - sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 => sin x/2 = 0 или cos x/2 - sin x/2 = 0 sin x/2 = 0; x/2 = π k ; x = 2π k ; k Є Z ;

Изображение слайда
28

Слайд 28: 3 способ: приведение уравнения к однородному

sin x /2 – cos x /2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x /2 ( cos x /2 ≠ 0, так как, если cos x /2 = 0, sin x /2 – 0 = 0 => sin x /2 = 0, что противоречит тождеству sin ² x /2 + cos ² x /2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = π n ; x = π /2 + 2 π n ; n Є Z. Ответ : x = 2π k ; k Є Z или x = π/2 + 2π n, n Є Z.

Изображение слайда
29

Слайд 29: 4 c пособ : Возведение обеих частей уравнения в квадрат

sin x + cos x = 1 sin² x+2sin x cos x + cos² x = 1; 1 + sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2 x = π k ; x = π k /2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2 π k, k Є Z, x = π /2 + 2 π n, n Є Z, x = π + 2 π m, m Є Z, x = - π /2 + 2 π l, l Є Z. Проверка показывает, что второе и третье решения – посторонние. Ответ: x = 2 π n, n Є Z, или x = - π /2 + 2 π l, l Є Z.

Изображение слайда
30

Слайд 30: 5 способ: универсальная подстановка

Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / ( 1 + tg² x/2 ) ; cos x = ( 1 – tg² x/2 ) / ( 1 + tg² x/2 ) ; tg x = 2 tg x /2 / (1 – tg ² x /2).

Изображение слайда
31

Слайд 31: 5 способ: универсальная подстановка

С учетом приведенных формул уравнение sin x + cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / ( 1 + tg² x/2 ) + ( 1 – tg² x/2 ) / ( 1 + tg² x/2 ) = 1. Умножим обе части уравнения на (1 + tg ² x /2): 2tg x/2 + 1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2; 2tg 2 x/2 - 2tg x/2 = 0 ; tg x/2 = 0 ; tg x/2 =1 x/2 = π n, n Є Z., x = 2π n, n Є Z. x/2 = π/4 + π n ; x = π/2 + 2π n, n Є Z.

Изображение слайда
32

Последний слайд презентации: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !

Изображение слайда