Презентация на тему: Матрицы

Реклама. Продолжение ниже
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
Матрицы.
1/75
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 99)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (558 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Матрицы

Сложение и умножение матриц.

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2

Матрица. Прямоугольная таблица чисел называется матрицей. Если в указанной таблице m строк и n столбцов, то ее в общем виде можно записать так:

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

или Числа называются элементами матрицы А.

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4

Главная диагональ Для квадратной матрицы совокупность чисел называется ее главной диагональю.

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5

Равные матрицы. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответственные элементы равны между собой:

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

Сложение матриц. Если две матрицы имеют одинаковые размеры, то их можно сложить, складывая соответственные элементы. Так, если и

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

то

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8

или

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
9

Слайд 9

Умножение матрицы на число Всякую матрицу можно умножить на любое число согласно следующему определению:

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10

Пример 1. Даны матрицы А и В Найти матрицу

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11

Решение

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13

Свойства. Легко видеть, что операции сложения и умножения матрицы на число удовлетворяют следующим свойствам: 1.свойство коммуникативности

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14

2. Свойство ассоциативности 3.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15

4. 5.

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16

Нулевая матрица Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Ее будем обозначать буквой О.

Изображение слайда
1/1
17

Слайд 17

Умножение матриц Пусть у нас имеются две матрицы

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18

Здесь число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведение матрицы А на матрицу В определяется следующим образом:

Изображение слайда
1/1
19

Слайд 19

где

Изображение слайда
1/1
20

Слайд 20

Оператор суммирования Если воспользоваться оператором суммирования , то

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21

Произведение матриц Произведение матриц А и В записывается так:

Изображение слайда
Изображение для работы со слайдом
1/2
22

Слайд 22

Пример 1 Умножить матрицу на матрицу

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23

Решение

Изображение слайда
1/1
24

Слайд 24

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25

Транспонирование матриц Пусть у нас имеется матрица . Если каждую строку этой матрицы заменить ее столбцом с тем же номером, то получим новую матрицу размера которая называется транспонированной к данной и обозначается , :

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26

Изображение слайда
1/1
27

Слайд 27

Определители второго и третьего порядков По определенному правилу каждой квадратной матрице А ставится определенное число, которое называется ее определителем и обозначается Рассмотрим определители порядков 1, 2, 3.

Изображение слайда
1/1
28

Слайд 28

Если порядок матрицы А равен единице, то Для квадратной матрицы второго порядка

Изображение слайда
1/1
29

Слайд 29

Опираясь на это определение определителя второго порядка дадим определение определителя третьего порядка. Если , то

Изображение слайда
1/1
30

Слайд 30

Изображение слайда
1/1
31

Слайд 31

Изображение слайда
1/1
32

Слайд 32

Для запоминания правила вычисления определителя третьего порядка используется правило треугольников или правило Саррюса. Оно состоит в изображении (явном или мысленном) элементов матрицы точками. Точки, соответствующие произведениям, которые входят в определитель, соединяются отрезками.

Изображение слайда
1/1
33

Слайд 33

В результате получаются два отрезка (соответствующие главной и побочной диагоналям), а также четыре треугольника, два из которых имеют стороны, параллельные главной диагонали, и два- параллельные побочной диагонали.

Изображение слайда
1/1
34

Слайд 34

Главной диагонали и тем двум треугольникам, основания которых параллельны главной диагонали, соответствуют произведения со знаком «+», а побочной диагонали соответствуют произведения со знаком «-». Пример 1. Вычислить определитель

Изображение слайда
1/1
35

Слайд 35

Решение:

Изображение слайда
1/1
36

Слайд 36

Обратная матрица Пусть у нас имеется квадратная матрица Матрица называется обратной к матрице А, если

Изображение слайда
1/1
37

Слайд 37

где называется символом Кронекера.

Изображение слайда
1/1
38

Слайд 38

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной. Пример: Найти матрицу, обратную к матрице

Изображение слайда
1/1
39

Слайд 39

Решение. Сначала проверим, является ли определитель матрицы А отличным от нуля:

Изображение слайда
1/1
40

Слайд 40

Отсюда вытекает, что матрица А невырожденная и у нее есть обратная:

Изображение слайда
1/1
41

Слайд 41

В нашем случае:

Изображение слайда
1/1
42

Слайд 42

Изображение слайда
1/1
43

Слайд 43

Изображение слайда
1/1
44

Слайд 44

Отсюда

Изображение слайда
1/1
45

Слайд 45

Ранг матрицы Пусть у нас имеется матрица содержащая m строк и n столбцов:

Изображение слайда
1/1
46

Слайд 46

Выделим в этой матрице k строк k столбцов элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k - го порядка. Все такие определители называются минорами нашей матрицы. Элементы матрицы- это миноры первого порядка. Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Изображение слайда
1/1
47

Слайд 47

Пример. Найти ранг матрицы У этой матрицы 12 миноров первого порядка, 18 миноров второго порядка:

Изображение слайда
1/1
48

Слайд 48

Изображение слайда
1/1
49

Слайд 49

Изображение слайда
1/1
50

Слайд 50

и наконец 4 минора третьего порядка:

Изображение слайда
1/1
51

Слайд 51

Нетрудно проверить, что все миноры третьего порядка матрицы А равны нулю, а миноры второго порядка во всяком случае не все равны нулю. Поэтому ранг матрицы А равен 2

Изображение слайда
1/1
52

Слайд 52

При вычислении ранга матрицы существенную роль играют элементарные преобразования матрицы: 1) умножение элементов любой строки (столбца) матрицы на число 2) прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число; 3) перестановка двух строк (столбцов) матрицы.

Изображение слайда
1/1
53

Слайд 53

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду

Изображение слайда
1/1
54

Слайд 54

где на «главной диагонали» стоит r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ранг такой матрицы, а значит, и исходной матрицы, равен r. Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В, то матрицы А и В называются эквивалентными. В этом случае пишут

Изображение слайда
1/1
55

Слайд 55

Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Системой линейных алгебраических уравнений с n переменными х 1, х 2, …, х n называется система вида

Изображение слайда
1/1
56

Слайд 56

Здесь числа называются коэффициентами системы, а числа b 1, b 2, …, b m -ее свободными членами. Если b 1 = b 2 =…= b m =0, то система называется однородной; Если хотя бы одно из b i отлично от нуля, то система называется неоднородной

Изображение слайда
1/1
57

Слайд 57

Решением системы называется всякая упорядоченная совокупность n чисел ( с 1, с 2, …, с n ), которая при подстановке в каждое уравнение системы вместо соответствующих переменных превращает каждое уравнение в тождество. Система называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Изображение слайда
1/1
58

Слайд 58

Совместные системы делятся на определенные и неопределенные. Система, которая имеет только одно решение, называется определенной. Если система имеет больше одного решения, то она называется неопределенной.

Изображение слайда
1/1
59

Слайд 59

Систему удобно записать в матричной форме, для чего введем необходимые понятия. Матрица элементы которой являются коэффициентами системы, назовем матрицей системы.

Изображение слайда
1/1
60

Слайд 60

Введем еще две матрицы, каждая из которых состоит из одного столбца (матрицы-столбца): Это матрица-столбец переменных и матрица-столбец свободных членов.

Изображение слайда
1/1
61

Слайд 61

У матрицы А n столбцов, а у матрицы X n строк, поэтому А можно умножить на X.

Изображение слайда
1/1
62

Слайд 62

Как показывают равенства, каждый элемент матрицы столбца АХ есть соответствующий элемент матрицы В. Отсюда в соответствии с определением равенства матриц, получаем матричную запись системы:

Изображение слайда
1/1
63

Слайд 63

Введем в рассмотрение матрицы-столбцы тогда система уравнений может быть записана так:

Изображение слайда
1/1
64

Слайд 64

Две системы линейных алгебраических уравнений называются эквивалентными (равносильными), если всякое решение одной из них является решением второй, и наоборот. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют следующие действия:

Изображение слайда
1/1
65

Слайд 65

1) умножение на число, отличное от нуля одного из уравнений системы; 2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число, при этом сохраняются остальные уравнения системы в том числе и то, которое прибавлялось; 3) перестановка местами двух уравнений системы.

Изображение слайда
1/1
66

Слайд 66

Формула Крамера Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n -переменными (неизвестными):

Изображение слайда
1/1
67

Слайд 67

Если определитель матрицы системы отличен от нуля и система совместна, то она и определенная. Если система имеет решение, то оно единственно и может быть найдено по формулам, которые называются формулами Крамера.

Изображение слайда
1/1
68

Слайд 68

Пример. Решить систему линейных уравнений

Изображение слайда
1/1
69

Слайд 69

Решение. Вычислим определитель системы следующим образом. Из первой строки вычтем удвоенную третью строку, из третьей-четвертую, тогда получим

Изображение слайда
1/1
70

Слайд 70

Изображение слайда
1/1
71

Слайд 71

Изображение слайда
1/1
72

Слайд 72

Определитель следовательно, правило Крамера применимо к системе. Составим и вычислим определители

Изображение слайда
1/1
73

Слайд 73

Изображение слайда
1/1
74

Слайд 74

Отсюда искомое решение данной системы

Изображение слайда
1/1
75

Последний слайд презентации: Матрицы

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже