Презентация на тему: В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко

Реклама. Продолжение ниже
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко известный в узких кругах», математик Сергей Львович Берлов. Довольно молодой,
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко
1/10
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 73)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (123 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко известный в узких кругах», математик Сергей Львович Берлов. Довольно молодой, азартный, самоуверенный, способный, иногда вызывающий любителей математики на соревнования. В частности, он опубликовал подборку задач олимпиадного типа по планиметрии под названием « СЛаБо ?». Здесь явный намёк на авторство ь и вызов на соревнование. Теперь этот список задач является достоянием фольклора. Ниже мы его приводим и даём некоторые решения задач, (чтобы убедиться, что не совсем уж у нас Слабо ) хотя задачи совсем не простые. Последние 5 задач добавлены мной, составителем презентации, Все заинтересованные лица могут участвовать в расширении списка задач и/или их решений, никакой охраны авторских прав в данном случае нет, хотя некоторые задачи когда-то были опубликованы в журнале «Квант». Но, как говорил один умный человек, задачи по математике надо коллекционировать, а не просто решать. … Можно сказать даже сильнее – коллекционировать надо задачи (лучше решённые), а не что-то другое

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2

1. Точка М взята на стороне АС правильного треугольника АВС, а на продолжении стороны ВС за вершину С отмечена точка N так, что ВМ=М N. Доказать, что АМ=С N. 2. В выпуклом четырёхугольнике АВС D ے А = ے D. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и С D пересекаются в точке Р, лежащей на стороне А D. Доказать, что диагонали АС и В D равны. 3. В четырёхугольнике АВСД точка Е – середина стороны ВС, а Ф – середина стороны ДС. Отрезки АФ и АЕ пересекают диагональ ВД в точках К и М. Известно, что ДК=КМ=МВ. Доказать, что АВСД – параллелограмм. 4. Точки К и Н -- середины сторон АВ и СД четырёхугольника АВСД. Отрезки ВН и КС пересекаются в точке О. Точки пересечения прямых АО и ДО со стороной ВС делят отрезок ВС на три равные части. Доказать, что АВСД – параллелограмм.

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3

5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Д и Ф соответственно. Е – середина отрезка ДФ. Доказать, что АД+ФС ≤ АЕ+ЕС. 6. На плоскости даны ∆ АВС и точки Д и Е, такие, что ے АДВ = ے ВЕС =90°. Доказать, что длина отрезка ДЕ не превосходит полупериметра ∆ АВС. 7. В выпуклом четырёхугольнике АВСД ے ВАД+ ے АДС =120° и АВ=ВС=СД. Доказать, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин А и Д. 8. ВД – биссектриса угла В треугольника АВС. Точка Е выбрана так, что ے ЕАВ = ے АСВ, АЕ=ДС, и при этом отрезок ЕД пересекает отрезок АВ в точке К. Доказать, что КЕ=КД.

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4

9. Внутри острого угла С вершиной О дана точка А. Постройте на сторонах угла точки В и С так, что ОВ+ОС=ОА и при этом сумма расстояний АВ и АС минимальна. 10. Точки Д, Е, Ф выбраны на сторонах АС, АВ, ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) так, что ДЕ=ДФ и при этом АЕ = ФС. Доказать, что углы ВАС и ФДЕ равны. 11. Внутри параллелограмма АВСД выбрана точка О так, что ے ОАД = ے ОСД. Доказать, что ے ОВС = ے ОДС. 12. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны точки К и Л соответственно, так, что ے КСВ = ے ЛАВ =α. Из точки В опущены перпендикуляры ВД и ВЕ на прямые АЛ и СК соответственно. Точка Ф – середина стороны А C. Найдите углы треугольника ДЕФ.

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5

13. В треугольнике АВС ے В =60°, АА 1, СС 1 – высоты. На прямой, проходящей через В перпендикулярно А 1 С 1, выбрана точка М  В такая, что ے АМС =60°. Доказать, что ے АМВ =30°. 14. В ромбе АВСД на отрезке ВС нашлась точка Е такая, что АЕ=СД. Отрезок ЕД пересекается с описанной окружностью треугольника АЕВ в точке Ф. Доказать, что точки А, Ф, С лежат на одной прямой. 15. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, а К – его проекция на медиану ВМ этого треугольника Доказать, что точки А, К, Н, С лежат на одной окружности. (радиус её равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВС). 16. В трапеции АВСД диагональ АС равна сумме оснований АВ и СД. Точка М – середина стороны ВС. Точка В′ симметрична точке В относительно прямой АМ. Доказать, что ے АВД = ے СВ′Д.

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6

17. Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает прямые ВС и СД в точках Х и У. Точка А′ симметрична точке А относительно прямой ВД. Доказать, что точки С, Х, У и А′ лежат на одной окружности. 18. Вписанную окружность спроецировали на стороны треугольника. Доказать, что шесть концов проекций принадлежат одной окружности. 19. В ′ -- точка описанной окружности остроугольного ∆ АВС, диаметрально противоположная вершине В, И – центр вписанной окружности треугольника АВС. М – точка касания вписанной окружности со стороной АС. На сторонах АВ и ВС выбраны соответственно точки К и Л такие, что КВ=МС, ЛВ=АМ. Доказать, что В′И и КЛ перпендикулярны.

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7

20. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка А – одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке А к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Доказать, что концы этих диаметров лежат на одной окружности. 21. Н – ортоцентр остроугольного треугольника АВС, Д -- середина стороны АС. Прямая, проходящая через Н перпендикулярно отрезку ДН, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и Ф. Доказать, что НЕ=НФ. 22. Внутри выпуклого четырёхугольника отмечено четыре точки. Доказать, что на периметре четырёхугольника найдётся точка, сумма расстояний от которой до вершин больше, ч ем сумма расстояний до отмеченных точек.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8

23. В окружности З проведены две параллельные хорды ВА и СД. Прямая, проведённая через С и середину АВ, вторично пересекает З в точке Е. Точка К – середина отрезка ДЕ. Докажите, что ے АКЕ = ے ВКЕ 24. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Д и Е соответственно, так что ВД+ДЕ=ВС, и ВЕ+ЕД=АВ. Известно также, что четырёхугольник АДЕС – вписанный. Доказать, что треугольник АВС – равнобедренный. 25. Окружности З 1 и З 2 пересекаются в точках А и В. На окружности З 1 выбрана точка К. Прямые КА и КВ пересекают окружность З 1 в точках С и Д, касательные к З 1 в точках А и В пересекаются в точке Р. Точка К расположена вне З 2, точки С и Д – вне З 1. Доказать, что прямая КР проходит через середину отрезка СД.

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9

26. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА 1 и ВВ 1. На (меньшей) дуге АВ описанной около треугольника окружности выбрана точка Л такая, что ЛС=СВ. при этом оказалось, что ے ВЛВ 1 =90 °. Доказать, что высота АА 1 делится высотой ВВ 1 пополам. Ещё … 1. Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС). Через В параллельно основанию АС проведена прямая l. На АВ выбрана произвольная точка D. К DC строится серединный перпендикуляр до пересечения с прямой l в точке Е. Доказать, что треугольник CDE подобен треугольнику АВС. 2. Имеется (острый) угол с вершиной А и две окружности: меньшая касается стороны угла в точке В и пересекает другую сторону угла в точках С и С 1 (С 1 дальше от вершины А). Вторая окружность касается стороны АС 1 угла в точке С 1 и пересекает другую сторону угла в точках В и В 1 (В 1 дальше от вершины А). Доказать, что СВ параллельно С 1 В 1.

Изображение слайда
1/1
10

Последний слайд презентации: В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, «широко

3. Окружность касается меньшей окружности внутренним образом в точке А. Хорда ВС внешней окружности касается внутренней окружности в точке D. Доказать, что угол ے ВА D = ے D АС. 4. Пусть АВ -- диаметр заданной окружности, четырёхугольник АВС D вписан в окружность. Пусть F -- точка пересечения прямых ВС и А D. Оказалось, что площадь треугольника FDC равна площади четырёхугольника АВС D. Определить угол ے А F В. (доказать, что угол равен 45 °). Вариант: площадь ∆ FDC втрое меньше площади АВС D. (тогда угол равен 60 °). 5. Пусть в остроугольном треугольнике АВС ے А =60 °. Пусть О – центр окружности, описанной около АВС, В 1 пересечение отрезка АС с прямой ВО, С 1 пересечение отрезка ВА с прямой СО. Доказать, что ВС 1 =В 1 С 1 =В 1 С. Верно и обратное: если продолжения радиусов ВО и СО отсекают от сторон угла ے А равные отрезки ВС 1 =В 1 С и В 1 С=В 1 С 1, то ے А =60 °.

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже