Презентация на тему: Математический анализ

Реклама. Продолжение ниже
Математический анализ
Дифференциальное исчисление
Дифференцируемая функция
Дифференцируемая функция
Производная функции
Дифференциал функции
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Дифференцирование композиции
Дифференцирование обратной функции
Таблица производных
Таблица производных
Касательная
Смысл производной
Нормаль
Производные высших порядков
Классы непрерывных функций
Локальные экстремумы
Необходимое условие экстремума
Монотонность и производная
Достаточное условие экстремума
Второе достаточное условие экстремума
Выпуклость функции
Теоремы о конечном приращении
Формула Тейлора
Остаточный член формулы Тейлора
Первое правило Лопиталя
Второе правило Лопиталя
1/28
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 31)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (147 Кб)
Реклама. Продолжение ниже
1

Первый слайд презентации: Математический анализ

Кабанов Александр Николаевич к.ф.-м.н., доцент кафедры кибернетики

Изображение слайда
1/1
2

Слайд 2: Дифференциальное исчисление

2

Изображение слайда
1/1
3

Слайд 3: Дифференцируемая функция

Выражение Δ f(x) = f(x) – f(a) называется приращением функции f(x). Выражение Δ x = x – a называется приращением аргумента. Приращение функции можно выразить через приращение аргумента: Δ f( Δ x) = f(a + Δ x) – f(a). Функция f: X  ℝ называется дифференцируемой в точке x  X, если  такая линейная относительно Δ x функция df ( Δ x) = A(x)  Δ x, что приращение функции можно представить в виде: f(x + Δ x) – f(x) = A(x) Δ x + o( Δ x). Функция df ( Δ x) называется дифференциалом функции f(x). 3

Изображение слайда
1/1
4

Слайд 4: Дифференцируемая функция

Таким образом, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в этой точке как функция приращения аргумента является линейной с точностью до бесконечно малой в сравнении с приращением аргумента. Так как o( Δ x)  0 при Δ x  0 получаем, что при Δ x  0: f(x + Δ x) – f(x) = A(x) Δ x. Отсюда 4

Изображение слайда
1/1
5

Слайд 5: Производная функции

Эта функция называется производной функции f в точке x и обозначается f’(x). Другими словами, функция дифференцируема в точке x, если у нее есть производная в этой точке. Так как df( Δ x) = A(x)  Δ x, значит df( Δ x) = f’(x)  Δ x. Очевидно, что если в качестве функции f(x) мы возьмем функцию f(x) = x, то ее производная будет равна: 5

Изображение слайда
1/1
6

Слайд 6: Дифференциал функции

Отсюда следует, что дифференциал функции f(x) = x можно записать в виде dx( Δ x) = (x)’  Δ x = 1  Δ x = Δ x. То есть дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением: Δ x = dx. Следовательно, df(x) = f’(x)dx. Отсюда еще одно обозначение производной: 6

Изображение слайда
1/1
7

Слайд 7: Правила дифференцирования

Теорема: Пусть функции f: X  ℝ и g: X  ℝ дифференцируемы в точке x  X. Тогда их сумма, их разность, их произведение и их отношение (при g(x)  0) дифференцируемы в точке x, причем: ( f ± g)’ (x) = f’(x) ± g’(x); ( f g )’ (x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x); 7

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
8

Слайд 8: Правила дифференцирования

Утверждение 1: Если f(x) = C = const, то f’(x) = 0. Утверждение 2: Если C = const, то (С f(x))’ = Cf’(x). 8

Изображение слайда
1/1
9

Слайд 9: Дифференцирование композиции

Теорема о производной сложной функции: Если функция f: X  Y дифференцируема в точке x  X, а функция g: Y  ℝ дифференцируема в точке y = f(x)  Y, то их композиция h(x) = g◦f = g(f(x)) дифференцируема в точке x, причем h’(x) = g’(y)·f’(x) = g’(f(x))·f’(x). 9

Изображение слайда
1/1
10

Слайд 10: Дифференцирование обратной функции

Теорема о производной обратной функции: Пусть функции f: X  Y и f – 1 : Y  X взаимно обратны и непрерывны в точках x  X и y = f(x)  Y соответственно. Если функция f ( x ) дифференцируема в точке x и f’(x)  0, то функция f – 1 также дифференцируема в точке y, причем ( f – 1 ) ’ (y) = (f’(x)) – 1. 10

Изображение слайда
1/1
11

Слайд 11: Таблица производных

Используя определение производной и правила дифференцирования, можно получить формулы для производных основных элементарных функций: ( x n )’ = nx n – 1. В частности : ( x)’ = 1, (a x )’ = a x lna. В частности: (e x )’ = e x. В частности: (sin x)’ = cosx. (cos x)’ = – sin x. 11

Изображение слайда
1/1
12

Слайд 12: Таблица производных

10. 11. 12

Изображение слайда
1/1
13

Слайд 13: Касательная

Пусть M и M 1 – точки на графике функции f(x). Проведём прямую MM 1 через эти точки. Далее будем двигать точку M 1 по графику функции по направлению к точке M. Прямая, которая получается в пределе при M 1  M, называется касательной к графику функции f(x) в точке M. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке M(x 0, y 0 ) : y = f’(x 0 )(x – x 0 ) + f(x 0 ). 13

Изображение слайда
1/1
14

Слайд 14: Смысл производной

Таким образом, f’(x 0 ) – угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке x 0. Это утверждение представляет геометрический смысл производной. Напомним, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой относительно положительного направления оси Ox. Физический смысл производной : производная функции f(x) в точке x 0 представляет собой скорость изменения величины f(x) в момент времени x 0. 14

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже
15

Слайд 15: Нормаль

Нормалью к графику функции f(x) в точке x 0 называется прямая, проходящая через точку x 0 перпендикулярно касательной. Уравнение нормали: x = f’(x 0 )(y – y 0 ) + x 0. Таким образом, если производная в точке x 0 не равна нулю, то уравнение нормали примет вид: y = (1/ f’(x 0 ) ) (x – x 0 ) + f(x 0 ). 15

Изображение слайда
1/1
16

Слайд 16: Производные высших порядков

Если производная функции f(x) дифференцируема в точке x 0, то производная производной называется второй производной функции f(x) в точке x 0. Аналогично вводится понятие третьей, четвертой, пятой производной и т.д. Обозначения: f’’(x), f’’’(x), f IV (x) = f (4) (x), f V (x) = f (5) (x), … Таким образом, f (n) (x) = (f (n – 1) (x))’. Из определения следует, что f (0) (x) = f(x). Другое обозначение: 16

Изображение слайда
1/1
17

Слайд 17: Классы непрерывных функций

Множество всех функций, имеющих на множестве E непрерывные производные до порядка n включительно, образуют класс функций, обозначаемый C n (E). Утверждение: Если функция дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. 17

Изображение слайда
1/1
18

Слайд 18: Локальные экстремумы

Точка x 0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки f(x) < f(x 0 ). Точка x 0 называется точкой локального минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки f(x) > f(x 0 ). Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума. А значение функции в этих точках – локальными экстремумами (соответственно, локальными минимумами и локальными максимумами). 18

Изображение слайда
1/1
19

Слайд 19: Необходимое условие экстремума

Теорема Ферма: Если функция f(x) дифференцируема в точке x 0 и x 0 является точкой локального экстремума для функции f(x), то f’(x 0 ) = 0. Эта теорема представляет собой необходимое условие существования локального экстремума функции. То есть локальный экстремум функции может находиться только в тех точках, где производная равна 0. Такие точки называются стационарными точками функции. 19

Изображение слайда
1/1
20

Слайд 20: Монотонность и производная

Утверждение (признак монотонности функции): Если  x  (a, b) f’(x) < 0, то функция f(x) убывает на интервале (a, b). Если  x  (a, b) f’(x) > 0, то функция f(x) возрастает на интервале (a, b). Утверждение (критерий постоянства функции): Непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) постоянна на этом отрезке тогда и только тогда, когда  x  [a, b] f’(x) = 0. 20

Изображение слайда
1/1
21

Слайд 21: Достаточное условие экстремума

Теорема: Пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x 0. Тогда, если в некоторой окрестности точки x 0 f’(x) < 0  x < x 0 и f’(x) > 0  x > x 0, то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x 0. Е сли в некоторой окрестности точки x 0 f’(x) > 0  x < x 0 и f’(x) < 0  x > x 0, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x 0. Если же в некоторой окрестности точки x 0 f’(x) имеет один и тот же знак  x, то в точке x 0 локального экстремума нет. 21

Изображение слайда
1/1
22

Слайд 22: Второе достаточное условие экстремума

Теорема: Пусть f(x) дважды дифференцируема в стационарной точке x 0. Тогда, если f’’(x 0 ) < 0, то x 0 – точка локального максимума. Если f’’(x 0 ) > 0, то x 0 – точка локального минимума. 22

Изображение слайда
1/1
23

Слайд 23: Выпуклость функции

Функция f(x) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если график функции лежит ниже любой своей касательной на этом интервале. Функция f(x) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если график функции лежит выше любой своей касательной на этом интервале. Теорема: Пусть f(x) дважды дифференцируема на интервале ( a, b). Тогда, если f’’(x) < 0  x  (a, b), то f(x) выпукла вверх на (a, b). Если f’’(x) > 0  x  (a, b), то f(x) выпукла вниз на (a, b). 23

Изображение слайда
1/1
24

Слайд 24: Теоремы о конечном приращении

Теорема Ролля : Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b), то  ξ  ( a, b ) : f’( ξ ) = 0. Теорема Лагранжа: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b), то  ξ  ( a, b ) : f(b) – f(a) = f ’( ξ )(b – a). Теорема Коши: Если функции x(t) и y(t) непрерывны на отрезке [ α, β ] и дифференцируема на интервале ( α, β ), то  τ  ( α, β ) : x’( τ )(y( β ) – y( α )) = y’( τ )(x( β ) – x( α )). 24

Изображение слайда
1/1
25

Слайд 25: Формула Тейлора

Любую функцию f(x), имеющую производные до n порядка, можно представить в виде: Многочленом Тейлора порядка n функции f(x) в точке x 0. называется многочлен R n (x) = f(x) – P n (x) называется остаточным членом формулы Тейлора. 25

Изображение слайда
1/1
26

Слайд 26: Остаточный член формулы Тейлора

Форма Коши остаточного члена: Форма Лагранжа остаточного члена: Форма Пеано остаточного члена: 26

Изображение слайда
1/1
27

Слайд 27: Первое правило Лопиталя

Теорема (первое правило Лопиталя ): Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале ( a, b), и существует предел Тогда 27

Изображение слайда
1/1
28

Последний слайд презентации: Математический анализ: Второе правило Лопиталя

Теорема (второе правило Лопиталя ): Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале ( a, b), и существует предел Тогда 28

Изображение слайда
1/1
Реклама. Продолжение ниже