Презентация на тему: Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей

Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Терминология
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Историческая справка
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Этапы статистической обработки данных
4) Составляется паспорт данных, который состоит из основных числовых характеристик полученной информации:
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
т.е.
Алгоритм нахождения вероятности случайного события
Например
Виды событий
Запомним
Правило умножения
Например
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Из истории комбинаторики
Основные понятия комбинаторики
Вспомним
Определение
Теорема 1 (о перестановке элементов)
Формула перестановок
Пример 1
Пример 2
Определения
Запомним
Типичные вопросы
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Запомним
Теорема 4
Запомним
Следствия (из теоремы 4)
Например
Применение комбинаторики в реальной жизни
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Т.е.
Например
Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей
Теоремы сложения и умножения для двух событий
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 10
1/57
Средняя оценка: 4.6/5 (всего оценок: 70)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1505 Кб)
1

Первый слайд презентации

Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей

Изображение слайда
2

Слайд 2

Терминология и историческая справка Статис тика Теория вероятностей Комбинаторика Бином Ньютона, формула Паскаля Применение комбинаторики для подсчета вероятностей Решение вероятностных задач Содержание

Изображение слайда
3

Слайд 3

Терминология и историческая справка

Изображение слайда
4

Слайд 4: Терминология

Статистика – это раздел прикладной математики, в котором исследуются количественные характеристики массовых случайных событий или явлений Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Изображение слайда
5

Слайд 5: Историческая справка

Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики ( вторая половина 19 начало 20-ых веков ) обязано в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, К. Гауссу, А. Кетле, Ф.Гальтону, К Пирсону, и др.

Изображение слайда
6

Слайд 6: Историческая справка

В 20 –ом веке наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими учёными (А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е. Слуцким, Н.В. Смирновым, Б.В. Гнеденко), а также английскими учёными (Стъюдентом, Р. Фишером, Э. Пурсоном) и американскими учёными (Ю. Нейман, А Вальд).

Изображение слайда
7

Слайд 7: Историческая справка

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Готфрид Вильгельм Лейбниц

Изображение слайда
8

Слайд 8: Историческая справка

Возникновение теории вероятностей как науки относят к  средним векам  и первым попыткам математического анализа азартных игр. Основоположниками являются: Блез Паскаль, Пьер Ферма, Христиан Гюйгенс, Якоб Бернулли Блез Паскаль

Изображение слайда
9

Слайд 9

СТАТИСТИКА это раздел математики, в котором исследуются количественные характеристики массовых случайных событий или явлений

Изображение слайда
10

Слайд 10: Этапы статистической обработки данных

Сначала данные измерений упорядочивают и группируют Составляют таблицу распределения данных Строят графики распределения данных в виде: многоугольника распределения данных (полигон) гистограммы (столбчатые диаграммы) круговой диаграммы

Изображение слайда
11

Слайд 11: 4) Составляется паспорт данных, который состоит из основных числовых характеристик полученной информации:

Объём измерений - Размах измерений - Мода измерений - Среднее арифметическое измерений - Медиана измерений - Кратность измерений (варианты) – Частота варианты- Процентная частота варианты-

Изображение слайда
12

Слайд 12

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Изображение слайда
13

Слайд 13

В теории вероятностей изучают различные модели случайных событий, их свойства и числовые характеристики. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания

Изображение слайда
14

Слайд 14: т.е

Где: N - число всех возможных исходов N (А) - количество тех исходов, в которых наступает событие А

Изображение слайда
15

Слайд 15: Алгоритм нахождения вероятности случайного события

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти: 1) Число N всех возможных исходов данного испытания 2) Количество N (А) – тех исходов, в которых наступает событие А 3) Найти частное N (А) / N оно и будет равно вероятности события А

Изображение слайда
16

Слайд 16: Например

Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) пять очков б) четное число очков в) число, большее четырёх г) число, не кратное 3. Решение. а) N (А)=1; N =6 => Р(А)=1\6 б) N (А)=3 (т.к.могло выпасть 2;4;6); N =6 => Р(А)=1\2 в) N (А)=2 (т.к.могло выпасть 5;6); N =6 => Р(А)=1\3 г) N (А)=4 (т.к.могло выпасть 1;2;4;5); N =6 => Р(А)=2\3

Изображение слайда
17

Слайд 17: Виды событий

Невозможное событие - это событие, которое никогда не наступает при проведении данного испытания. и его Р(А)=0 Достоверное событие – это событие, которое обязательно наступит при проведении данного испытания. Значит его Р(А)=1 Противоположное событие ( Ā ) – это событие, которое наступит в том и только том случае, когда не наступит интересующее нас событие. Р( Ā ) = 1 – Р(А)

Изображение слайда
18

Слайд 18: Запомним

Р(А) достоверного события =1 Р(А) невозможного события = 0 Р(А) случайного события 0 ≤ Р(А) ≤1, т.е. вероятность – это всегда дробь Р(А) противоположного события = 1 - Р(А) Сумма противоположных событий всегда равна 1, т.е.

Изображение слайда
19

Слайд 19: Правило умножения

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов проведения двух независимых испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. Правило умножения часто используют для вычисления вероятности.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Например

Учебник: стр.317 задачи 1,2,3

Изображение слайда
21

Слайд 21

стр. 319 № 149-152

Изображение слайда
22

Слайд 22

КОМБИНАТОРИКА это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Изображение слайда
23

Слайд 23: Из истории комбинаторики

С комбинаторными задачами люди столкнулись и в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

Изображение слайда
24

Слайд 24: Основные понятия комбинаторики

Перестановки Сочетания Размещения

Изображение слайда
25

Слайд 25: Вспомним

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n ! и называют « эн факториалом ». n ! = 1 · 2 · 3 · … · n Вычислим: 1! ; 2!; 3!; 4! Вспомним, что принято считать 0! =1 Часто используется формула: n ! = ( n -1)! · n

Изображение слайда
26

Слайд 26: Определение

Перестановками без повторений из n элементов по n называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком расположения элементов Обозначение: P n

Изображение слайда
27

Слайд 27: Теорема 1 (о перестановке элементов)

n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n ! способами. P n = n!

Изображение слайда
28

Слайд 28: Формула перестановок

P n = n!

Изображение слайда
29

Слайд 29: Пример 1

Сколькими способами 4 человека смогут разместиться на четырехместной скамейке? Решение. P 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 Ответ: 24 способами

Изображение слайда
30

Слайд 30: Пример 2

Антон, Борис и Виктор купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е, 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами мальчики могут занять эти места? Решение. P 3 = 3 ! = 6

Изображение слайда
31

Слайд 31: Определения

Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний, из n элементов по k и обозначают Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают

Изображение слайда
32

Слайд 32: Запомним

Два сочетания из n элементов по k считаются разными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два размещения из n элементов по k считаются разными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения.

Изображение слайда
33

Слайд 33: Типичные вопросы

Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30; 7 монет из 10 данных монет;

Изображение слайда
34

Слайд 34

Используя эти обозначения, нетрудно записать ответы на поставленные выше вопросы: Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой: Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30: 7 монет из 10 данных монет:

Изображение слайда
35

Слайд 35: Запомним

порядок неважен порядок важен сочетания перестановки размещения

Изображение слайда
36

Слайд 36: Теорема 4

Для любых натуральных чисел n и k, таких, что k < n, справедливы следующие соотношения:

Изображение слайда
37

Слайд 37: Запомним

Изображение слайда
38

Слайд 38: Следствия (из теоремы 4)

Справедливы формулы: (для облегчения вычислений)

Изображение слайда
39

Слайд 39: Например

Необходимо вычислить Решение.

Изображение слайда
40

Слайд 40: Применение комбинаторики в реальной жизни

учебные заведения (составление расписаний); сфера общественного питания (составление меню); лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв). география (раскраска карт); спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками); производство (распределение нескольких видов работ между рабочими); агротехника (размещение посевов на нескольких полях);

Изображение слайда
41

Слайд 41

азартные игры (подсчёт частоты выигрышей); химия (анализ возможных связей между химическими элементами); биология (расшифровка кода ДНК); военное дело (расположение подразделений); астрология (анализ расположения планет и созвездий); экономика (анализ вариантов купли-продажи акций); криптография (разработка методов шифрования); доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки).

Изображение слайда
42

Слайд 42

Формула бинома Ньютона

Изображение слайда
43

Слайд 43

Для любого натурального значения n верна следующая формула: где числа С называют биноминальными коэффициентами

Изображение слайда
44

Слайд 44: Т.е

Изображение слайда
45

Слайд 45: Например

Учебник: стр. 330 Пример. Раскрыть скобки в выражениях: а) б)

Изображение слайда
46

Слайд 46

Решение вероятностных задач

Изображение слайда
47

Слайд 47: Теоремы сложения и умножения для двух событий

1) P(A + B) = P(A) + P(B) (для независимых событий) 2) P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) (для зависимых событий) 3) P(AB) = P(A)∙P(B), 4) P(AB) = P(A)∙ P(B ׀ A)

Изображение слайда
48

Слайд 48: Задача 1

На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным. Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N ( A ) = 970 исходов. Ответ: 0,97

Изображение слайда
49

Слайд 49: Задача 2

В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные. Решение. Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное. Ответ: 0.

Изображение слайда
50

Слайд 50: Задача 3

Научная конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение. Т.к. в третий день будут слушать (50-30):2=10 докладов, то N ( A ) = 10. А N =50, тогда Р(А) = N ( A ): N = 10:50 = = 1/5=0,2 Ответ: 0,2

Изображение слайда
51

Слайд 51: Задача 4

Перед началом первого тура чемпионата по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России. Решение. Число всех исходов равно (46-1)=45, т.е. N =45. N ( A ) = (19-1)= 18 Тогда Р(А) = N ( A ): N = =18:45 = 2:5 =0,4 Ответ: 0,4

Изображение слайда
52

Слайд 52: Задача 5

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Решение. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек: OOOO ; OOOP ; OOPO ; OOPP ; OPOO ; OPOP OPPO ; OPPP ; POOO ; POOP ; POPO ; POPP ; PPOO ; PPOP ; PPPO ; PPPP. Значит N = 16, а N ( A ) = 1, тогда Р(А) = N ( A ): N = 1:16 = 0,0625 Ответ: 0,0625

Изображение слайда
53

Слайд 53: Задача 6

В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным? Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В 1 – появление белого шара, а В 2 – черного. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Т.к. В1 и В2 – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В1+В2)  =  Р(В1)+Р(В2). N =35, N (В1)=5 тогда Р(В1)= 5:35=1/7 N (В2)=10 тогда Р(В2) =10:35=2/7 Значит Р(А)= 1/7+2/7=3/7

Изображение слайда
54

Слайд 54: Задача 7

Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. После поимки одно из них, в связи с увеличением количества сотрудников, занятых в поисках,   вероятность найти второго возрастает до 0,7. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружены оба преступника. Решение. Пусть событие А – “ обнаружены два преступника ”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 – обнаружен первый преступник, а В2 – обнаружен второй преступник, после того, как пойман первый. Тогда, А=В1 · В2 по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(В1 · В2). Т.к. В1 и В2 – зависимые события, то по теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(В1 · В2)  =  Р(В1) · Р(В2 / В1) =0,5 · 0,7= = 0,35.

Изображение слайда
55

Слайд 55: Задача 8

Два стрелка стреляют по одной мишени. У одного вероятность попадания 0,8, у другого – 0,2. Какова вероятность поражения цели? Решение. Пусть A – цель поражена, В – противоположное событие ( цель не поражена ). Будем считать, что стрелки стреляют независимо друг от друга, тогда вероятность не поразить мишень равна Р(В)=0,2 · 0,8=0,16 Отсюда, вероятность поразить мишень (противоположное событие) Р(А)= 1 - Р(В) = 1 - 0,16 = 0,84 Ответ: 0,84

Изображение слайда
56

Слайд 56: Задача 9

Вам надо купить определенную книгу. Всего 3 магазина. Вероятность того, что книга будет куплена в первом магазине – 50%, во втором – 30%, в третьем – 20%. В первом магазине 40% книг пиратского издания, во втором 50% пиратских книг и в третьем – 20%. Какова вероятность, что купленная вами книга окажется пиратского издания? Решение. Обозначим через В 1, B 2, B 3 – события, заключающиеся в том, что мы попали в первый, второй и третий магазины соответственно, а событие A то, что купленная книга пиратская. По условию Р(В 1 ) =0,5, P(B 2 ) =0,3, и Р(В 3 )=0,2. События В 1, В 2, В 3 - несовместны. Из условия известно также, что Р В 1 (А)=0,4, P В 2 (A) =0,5, P В 3 (A) =0,2. Тогда полная вероятность купить пиратскую книгу (не важно в каком магазине) равна Р(А)= РВ 1 (А) · Р(В 1 )+РВ 2 (А) · Р(В 2 )+РВ 3 (А) · · Р(В 3 )= 0,5 · 0,4+0,3 · 0,5+0,2 · 0,2=0,39 Ответ: 0,39

Изображение слайда
57

Последний слайд презентации: Математическая статистика, комбинаторика и теория вероятностей: Задача 10

В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем - любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т. е. n 1 =30, n 2 =29, n 3 =28. По правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно: N=n 1 · n 2 · n 3 =30 · 29 · 28=24360.

Изображение слайда