Презентация на тему: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
5. Линейные отображения
5.1. Отображения
Частный случай отображения
5.1.2. Определение линейного отображения
Пример 1 линейного отображения
Пример 2 линейного отображения
5.1.3. Равные линейные отображения
5.2. Образ, ранг, ядро, дефект отображения
5.2.2. Ядро и дефект линейного отображения
5.2.3. Теорема об образе и ядре отображения
Доказательство (продолжение)
Доказательство (окончание)
5.2.4. Теорема об отображении базиса
5.2.5. Следствие из теоремы об отображении базиса
5.3. Линейные операторы и их свойства
5.3.2. Арифметические операции с линейными операторами
Единичный оператор
Линейность введенных операторов
5.4. Структура линейного оператора
Разложение оператора по базису
Разложение оператора по базису (продолжение)
Единственность разложения оператора по базису
Матричная форма системы уравнений
Матрица линейного оператора
5.4.2. Ранг линейного оператора
Размерность подпространства
Ранг матрицы оператора и ранг оператора
Случай невырожденной матрицы оператора
Случай вырожденной матрицы оператора
5.5. Пример нахождения ядра и размера дефекта оператора
5.5.2. Матричная запись системы уравнений
5.5.3. Решение системы уравнений
5.5.4. Нахождение ядра и дефекта оператора
5.5.5. Обсуждение полученных результатов
Обсуждение полученных результатов (продолжение)
Обсуждение полученных результатов (окончание)
6. Собственные вектора и собственные числа оператора
6.1. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису
Переход к новому базису
Преобразующая матрица
6.1.2. Подобие матриц линейного оператора
6.1.3. Примеры линейных операторов
Пример 2 линейного оператора
6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
Характеристический многочлен
6.2.2. Характеристические многочлены подобных матриц
6.2.2. Характеристическое уравнение и характеристические числа
Общий вид характеристического уравнения
След k -ого порядка матрицы
6.2.3. Число корней характеристического уравнения
6.2.4. Метод Фаддеева для нахождения коэффициентов  k
6.2.5. Пример нахождения собственных значений
Вычисление коэффициентов методом Фаддеева
Решение характеристического уравнения
6.3. Теорема Гамильтона-Кэли
Гамильтон и Кэли
6.3.2. Пример
Пример (окончание)
6.4. Собственный вектор и собственное число оператора
6.4.2. Первое свойство собственных векторов
6.4.3. Второе свойство собственных векторов
6.4.3. Третье свойство собственных векторов
6.4.4. Теорема о существовании собственных векторов
Доказательство (продолжение)
Доказательство (окончание)
6.4.5. Пример нахождения собственных векторов
Пример (продолжение)
Пример (продолжение)
Пример (продолжение)
Пример (продолжение)
Пример (окончание)
6.4.6. Теорема о линейно независимых собственных векторах
Следствие
6.4.7. Теорема о базисе, составленном из линейно независимых собственных векторах
Оператор простой структуры
7. Квадратичные формы
7.1. Понятие квадратичной формы
Матрица квадратичной формы (треугольная форма)
7.1.2. Правильная запись квадратичной формы
Матрица квадратичной формы (правильная форма)
7.1.3. Матричная запись квадратичной формы
Матричная запись
7.1.4. Запись квадратичной формы с помощью скалярного произведения
7.1.5. Пример представления квадратичной формы с помощью скалярного произведения
7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
Линейное преобразование переменных (окончание)
7.2.2. Пример преобразования переменных квадратичной формы
Пример преобразования переменных (окончание)
7.2.3. Канонический вид квадратичной формы
7.2.4. Нормальный вид квадратичной формы
7.2.5. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду
Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду
Пример приведения к каноническому виду (продолжение)
Пример приведения к каноническому виду (продолжение)
Пример приведения к каноническому виду (продолжение)
Пример приведения к каноническому виду (окончание)
7.2.6. Ранг квадратичной формы
7.3. Ортогональные преобразования
Определитель ортогональной матрицы
7.3.2. Первое свойство ортогональной матрицы
7.3.3. Второе свойство ортогональной матрицы
7.3.4. Ортогональное преобразование
Теорема об ортогональном преобразовании
7.3.5. Следствия из теоремы об ортогональном преобразовании
7.4. Ортогональное преобразование квадратичной формы
Следствие
7.4.2. Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду
Пример (продолжение)
Пример (продолжение)
Пример (продолжение)
Пример (продолжение)
Пример (окончание)
7.5. Положительно определенные квадратичные формы
Отрицательно определенная квадратичная форма
Примеры
7.5.2. Критерий Сильвестра
Джеймс Джозеф СИЛЬВЕСТР
7.5.3. Условие отрицательной определенности квадратичной формы
Условие отрицательной определенности
7.5.4. Примеры проверки положительной определенности
Пример 1 (окончание)
Пример 2.
Пример 2 (окончание)
7.5.5. Теорема об инерции квадратичных форм
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1/126
Средняя оценка: 4.9/5 (всего оценок: 90)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (1514 Кб)
1

Первый слайд презентации: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

© Веденяпин Е.Н. 2013 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Проф. ВЕДЕНЯПИН Евгений Николаевич Евразийский открытый институт Кафедра естественнонаучных, математических и общетехнических дисциплин

Изображение слайда
2

Слайд 2: 5. Линейные отображения

2 5. Линейные отображения Рассматриваемые вопросы: 5.1. Отображения 5.2. Образ, ранг, ядро, дефект отображения 5.3. Линейные операторы и их свойства 5.4. Структура линейного оператора 5.5. Пример нахождения ядра и размера дефекта оператора © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
3

Слайд 3: 5.1. Отображения

3 5.1. Отображения 5.1.1. Определение отображения Пусть – линейные пространства размерности n и m. Отображением линейного пространства R n 1 в линейное пространство R n 2 называется правило, по которому каждому элементу х  R n 1 ставится в соответствие единственный элемент у  R m 2. Обозначение: © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
4

Слайд 4: Частный случай отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 4 Частный случай отображения Частным случаем отображения является функция поскольку каждому значению аргумента х по определенному правилу f ставится в соответствие единственный элемент у. Пример

Изображение слайда
5

Слайд 5: 5.1.2. Определение линейного отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 5 5.1.2. Определение линейного отображения Отображение называется линейным, если

Изображение слайда
6

Слайд 6: Пример 1 линейного отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 6 Пример 1 линейного отображения Если каждому вектору х  R n трехмерного пространства поставлен в соответствие вектор то говорят, что задано отображение подобия. Процесс отображения представляет собой умножение каждого вектора на число.

Изображение слайда
7

Слайд 7: Пример 2 линейного отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 7 Пример 2 линейного отображения Если каждой матрице-столбцу Х размерности 1 х n из пространства матриц R n х1 ставится в соответствие матрица-столбец Y размерности 1 х m из пространства матриц R m х1, то задано отображение пространства столбцов Х размерности 1 х n в пространство столбцов Y размерности 1 х m. Процесс отображения представляет собой умножение матрицы Р на столбцы Х

Изображение слайда
8

Слайд 8: 5.1.3. Равные линейные отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 8 5.1.3. Равные линейные отображения Равными называются линейные отображения и, если

Изображение слайда
9

Слайд 9: 5.2. Образ, ранг, ядро, дефект отображения

9 5.2. Образ, ранг, ядро, дефект отображения 5.2.1. Образ и ранг отображения Образом im линейного отображения называется множество всех элементов пространства у  R m, для каждого из которых Рангом линейного отображения называется размерность образа этого отображения. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
10

Слайд 10: 5.2.2. Ядро и дефект линейного отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 10 5.2.2. Ядро и дефект линейного отображения Ядром ker линейного о тображения называется множество всех элементов пространства х  R n 1, каждый из которых переводится отображением в нулевой элемент у = 0 пространства R m 2. Дефектом def линейного о тображения называется размерность ядра этого отображения.

Изображение слайда
11

Слайд 11: 5.2.3. Теорема об образе и ядре отображения

© Веденяпин Е.Н. 2013 11 5.2.3. Теорема об образе и ядре отображения Образ и ядро линейного о тображения являются подпространствами соответственно R m 2 и R n 1. Доказательство 1. Пусть у 1 и у 2 – элементы образа линейного пространства. Тогда найдутся такие элементы х 1 и х 2 из R n 1, что Найдем линейную комбинацию

Изображение слайда
12

Слайд 12: Доказательство (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 12 Доказательство (продолжение) Из равенства следует, что для элемента нашелся элемент Следовательно, произвольная линейная комбинация также лежит в im, то есть образ линейного отображения является линейным подпространством пространства R m 2.

Изображение слайда
13

Слайд 13: Доказательство (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 13 Доказательство (окончание) 2. Пусть теперь х 1 и х 2 – элементы ядра линейного преобразования. Тогда Составим линейную комбинацию Следовательно, отображение переводит линейную комбинацию переводит линейную комбинацию в нулевой элемент у = 0. Значит, ядро линейного отображения является линейным подпространством.

Изображение слайда
14

Слайд 14: 5.2.4. Теорема об отображении базиса

© Веденяпин Е.Н. 2013 14 5.2.4. Теорема об отображении базиса Пусть является произвольным базисом п ространства R n 1. Тогда, каким бы ни был набор элементов линейного пространства R n 2, существует отображение, переводящее векторы е i  R n 1 в векторы а i  R n 2, где i =1, 2, 3, …, n. Это отображение линейно и является единственным.

Изображение слайда
15

Слайд 15: 5.2.5. Следствие из теоремы об отображении базиса

© Веденяпин Е.Н. 2013 15 5.2.5. Следствие из теоремы об отображении базиса Линейное отображение из пространства R n 1 в пространство R n 2 может быть определено преобразованием базисных векторов (то есть действием линейного отображения на векторы базиса). Доказательство Если задать линейное отображение системой уравнений то действие линейного отображения на произвольный элемент х, разложенный по базису е, будет существовать.

Изображение слайда
16

Слайд 16: 5.3. Линейные операторы и их свойства

16 5.3. Линейные операторы и их свойства 5.3.1. Определение линейного оператора Рассмотрим линейное отображение, действующее из векторного пространства R n в это же векторное пространство R n. Такое отображение называется линейным оператором. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
17

Слайд 17: 5.3.2. Арифметические операции с линейными операторами

© Веденяпин Е.Н. 2013 17 5.3.2. Арифметические операции с линейными операторами Введем арифметические операции с линейными операторами. Суммой операторов и называется оператор, который действует по правилу Произведением оператора на число  называется оператор, который действует по правилу Произведением оператора на оператор называется, аааааааа, который действует по правилу

Изображение слайда
18

Слайд 18: Единичный оператор

© Веденяпин Е.Н. 2013 18 Единичный оператор Оператор называется единичным, если

Изображение слайда
19

Слайд 19: Линейность введенных операторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 19 Линейность введенных операторов Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число и произведение линейных операторов в свою очередь являются линейными операторами. Докажем, например, что произведение операторов является линейным оператором

Изображение слайда
20

Слайд 20: 5.4. Структура линейного оператора

20 5.4. Структура линейного оператора 5.4.1. Матрица линейного оператора Пусть в пространстве R n задан базис Разложим произвольный вектор х по этому базису Подействуем на вектор х оператором : © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
21

Слайд 21: Разложение оператора по базису

© Веденяпин Е.Н. 2013 21 Разложение оператора по базису Величины являются векторами из R n и поэтому могут быть разложены по базису То есть

Изображение слайда
22

Слайд 22: Разложение оператора по базису (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 22 Разложение оператора по базису (продолжение) Тогда С другой стороны, есть некоторый вектор у  R n, который может быть разложен по заданному базису

Изображение слайда
23

Слайд 23: Единственность разложения оператора по базису

© Веденяпин Е.Н. 2013 23 Единственность разложения оператора по базису В силу единственности разложения вектора у по базису получаем систему уравнений

Изображение слайда
24

Слайд 24: Матричная форма системы уравнений

© Веденяпин Е.Н. 2013 24 Матричная форма системы уравнений Развернутая матричная форма системы уравнений Сокращенная матричная форма системы уравнений

Изображение слайда
25

Слайд 25: Матрица линейного оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 25 Матрица линейного оператора Таким образом, действие линейного оператора на вектор х сводится к умножению некоторой матрицы на вектор-столбец х, составленный из координат вектора х в базисе е. Матрица Р называется матрицей линейного оператора в базисе

Изображение слайда
26

Слайд 26: 5.4.2. Ранг линейного оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 26 5.4.2. Ранг линейного оператора Исследуем ранг линейного оператора. Оператор, является частным случаем линейного отображения. Следовательно, ранг оператора равен размерности образа а этого отображения, а, следовательно, размерности соответствующего подпространства.

Изображение слайда
27

Слайд 27: Размерность подпространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 27 Размерность подпространства Подпространство составлено из векторов и их линейных комбинаций. Число линейно независимых векторов среди них равно размерности подпространства. Координаты векторов образуют столбцы матрицы оператора.

Изображение слайда
28

Слайд 28: Ранг матрицы оператора и ранг оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 28 Ранг матрицы оператора и ранг оператора Число линейно независимых столбцов матрицы Р (им соответствуют линейно независимые векторы) и есть ранг линейного оператора. ВЫВОД. Ранг матрицы Р линейного оператора равен рангу оператора.

Изображение слайда
29

Слайд 29: Случай невырожденной матрицы оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 29 Случай невырожденной матрицы оператора Если ранг линейного оператора равен n ( r=n, то есть матрица оператора не вырождена ( | P |  0 ), только нулевой вектор преобразуется оператором в нулевой вектор. Действительно, матричное уравнение имеет единственное решение, что обеспечивает взаимно однозначное соответствие между векторами х и у, причем нулевому вектору соответствует нулевой вектор.

Изображение слайда
30

Слайд 30: Случай вырожденной матрицы оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 30 Случай вырожденной матрицы оператора Если матрица линейного оператора является вырожденной (r<n), то некоторые векторы, отличные от нулевого, такой оператор переводит в нулевые векторы и возникает дефект линейного оператора. Соответствующее подпространство ядра оператора перестает быть нулевым.

Изображение слайда
31

Слайд 31: 5.5. Пример нахождения ядра и размера дефекта оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 31 5.5. Пример нахождения ядра и размера дефекта оператора 5.5.1. Постановка задачи Линейный оператор задан матрицей Найти базис ядра и размер дефекта оператора.

Изображение слайда
32

Слайд 32: 5.5.2. Матричная запись системы уравнений

© Веденяпин Е.Н. 2013 32 5.5.2. Матричная запись системы уравнений Пусть вектор принадлежит ядру линейного оператора, то есть оператор переводит вектор х в нулевой вектор Развернутое матричное уравнение

Изображение слайда
33

Слайд 33: 5.5.3. Решение системы уравнений

© Веденяпин Е.Н. 2013 33 5.5.3. Решение системы уравнений Приведем матрицу системы к ступенчатому виду Решение системы уравнений

Изображение слайда
34

Слайд 34: 5.5.4. Нахождение ядра и дефекта оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 34 5.5.4. Нахождение ядра и дефекта оператора Совокупность векторов х составляет подпространство решений уравнения а, следовательно, ядро оператора. Базисом подпространства ( ядра оператора ) можно выбрать вектор Размерность подпространства ( размер дефекта ) равны единице.

Изображение слайда
35

Слайд 35: 5.5.5. Обсуждение полученных результатов

Пусть – базис исходного пространства R 3, в котором задана матрица оператора. Образ является линейным подпространством, построенным на векторах То есть данное линейное подпространство является линейной оболочкой, натянутой на вектора © Веденяпин Е.Н. 2013 35 5.5.5. Обсуждение полученных результатов

Изображение слайда
36

Слайд 36: Обсуждение полученных результатов (продолжение)

Тогда Ранг матрицы коэффициентов полученной системы уравнений равен 2. © Веденяпин Е.Н. 2013 36 Обсуждение полученных результатов (продолжение)

Изображение слайда
37

Слайд 37: Обсуждение полученных результатов (окончание)

Следовательно, только два вектора из трех являются линейно независимыми, например, Значит, базис образа оператора состоит из 2 векторов.. ВЫВОД. Оператор, имея дефект, равный 1, переводит векторы из пространства R 3 ( dim R=3 ) в подпространство R 2 ( dim R= 2 ). Замечание. Для любого линейного отображения справедлива формула © Веденяпин Е.Н. 2013 37 Обсуждение полученных результатов (окончание)

Изображение слайда
38

Слайд 38: 6. Собственные вектора и собственные числа оператора

38 6. Собственные вектора и собственные числа оператора Рассматриваемые вопросы: 6.1. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису 6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение 6.3. Теорема Гамильтона-Кэли 6.4. Собственный вектор и собственное число оператора © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
39

Слайд 39: 6.1. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису

39 6.1. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису 6.1.1. Связь между координатами векторов в разных базисах Пусть в пространстве R n заданы два базиса Связь между базисами задается невырожденной матрицей перехода Пусть имеются два вектора х  R n, у  R n. Связь между координатами векторов в старом и новом базисах © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
40

Слайд 40: Переход к новому базису

© Веденяпин Е.Н. 2013 40 Переход к новому базису Пусть задан оператор линейного преобразования. Матрица оператора в старом базисе будет Р. Пусть у –это образ х. В старом базисе Тогда в новом базисе Выразим у ’ через x ’

Изображение слайда
41

Слайд 41: Преобразующая матрица

© Веденяпин Е.Н. 2013 41 Преобразующая матрица Обозначим матрицу оператора в новом базисе через Получим Матрица А ’ называется преобразующей матрицей. Замечание. Матрицы А и А ’ описывают действие одного и того же оператора в разных базисах.

Изображение слайда
42

Слайд 42: 6.1.2. Подобие матриц линейного оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 42 6.1.2. Подобие матриц линейного оператора Матрицы А и А ’ подобны, то есть Действительно, ВЫВОД. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса в пространстве R n.

Изображение слайда
43

Слайд 43: 6.1.3. Примеры линейных операторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 43 6.1.3. Примеры линейных операторов Пример 1. Если то оператор является линейным и называется нулевым оператором. Поскольку для любого базиса то матрицей нулевого оператора является нулевая матрица

Изображение слайда
44

Слайд 44: Пример 2 линейного оператора

© Веденяпин Е.Н. 2013 44 Пример 2 линейного оператора Если для каждого вектора х  R n то оператор является линейным и называется тождественным оператором. Матрицей тождественного оператора является единичная матрица

Изображение слайда
45

Слайд 45: 6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение

45 6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение 6.2.1. Характеристический многочлен Рассмотрим квадратную матрицу Как было показано ( п. 8.1.2 ), все матрицы, подобные матрице А, то есть все матрицы вида где С – любая квадратная невырожденная матрица порядка n, имеют одинаковые определители. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
46

Слайд 46: Характеристический многочлен

© Веденяпин Е.Н. 2013 46 Характеристический многочлен Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу Определитель этой матрицы представляет собой многочлен степени n относительно . Многочлен () называется характеристическим многочленом матрицы А.

Изображение слайда
47

Слайд 47: 6.2.2. Характеристические многочлены подобных матриц

© Веденяпин Е.Н. 2013 47 6.2.2. Характеристические многочлены подобных матриц Все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, то есть где Действительно,

Изображение слайда
48

Слайд 48: 6.2.2. Характеристическое уравнение и характеристические числа

© Веденяпин Е.Н. 2013 48 6.2.2. Характеристическое уравнение и характеристические числа Алгебраическое уравнение степени n относительно  называется характеристическим уравнением матрицы А. Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами (собственными значениями).

Изображение слайда
49

Слайд 49: Общий вид характеристического уравнения

© Веденяпин Е.Н. 2013 49 Общий вид характеристического уравнения Характеристическое уравнение имеет вид Здесь  k – след k -ого порядка матрицы А.

Изображение слайда
50

Слайд 50: След k -ого порядка матрицы

© Веденяпин Е.Н. 2013 50 След k -ого порядка матрицы След k -ого порядка матрицы А – это сумма всевозможных главных миноров k -ого порядка Замечание. Для каждого k существует главных миноров.

Изображение слайда
51

Слайд 51: 6.2.3. Число корней характеристического уравнения

© Веденяпин Е.Н. 2013 51 6.2.3. Число корней характеристического уравнения Характеристическое уравнение имеет n корней (с учетом кратности). Сумма корней характеристического многочлена равна следу первого порядка матрицы А Произведение корней характеристического многочлена равно следу n -го порядка матрицы А (то есть ее определителю)

Изображение слайда
52

Слайд 52: 6.2.4. Метод Фаддеева для нахождения коэффициентов  k

© Веденяпин Е.Н. 2013 52 6.2.4. Метод Фаддеева для нахождения коэффициентов  k Одним из методов вычисления коэффициентов  k ( k=1, 2, …, n ) характеристического уравнения является метод Фаддеева. Пусть оператор задан матрицей А. Тогда схема вычисления коэффициентов имеет вид

Изображение слайда
53

Слайд 53: 6.2.5. Пример нахождения собственных значений

© Веденяпин Е.Н. 2013 53 6.2.5. Пример нахождения собственных значений Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей Характеристическое уравнение имеет вид Найдем коэффициенты  k с помощью метода Фаддеева.

Изображение слайда
54

Слайд 54: Вычисление коэффициентов методом Фаддеева

© Веденяпин Е.Н. 2013 54 Вычисление коэффициентов методом Фаддеева

Изображение слайда
55

Слайд 55: Решение характеристического уравнения

© Веденяпин Е.Н. 2013 55 Решение характеристического уравнения Получили характеристическое уравнение Преобразуем к виду Собственные числа линейного оператора

Изображение слайда
56

Слайд 56: 6.3. Теорема Гамильтона-Кэли

56 6.3. Теорема Гамильтона-Кэли 6.3.1. Формулировка теоремы Гамильтона - Кэли Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
57

Слайд 57: Гамильтон и Кэли

© Веденяпин Е.Н. 2013 57 Гамильтон и Кэли Уильям Роуэн ГАМИЛЬТОН (1805 – 1865) Артур КЭЛИ (1821 – 1895)

Изображение слайда
58

Слайд 58: 6.3.2. Пример

© Веденяпин Е.Н. 2013 58 6.3.2. Пример Линейный оператор задан матрицей Найти характеристический многочлен () и показать, что он равен нулю. Составим матрицу

Изображение слайда
59

Слайд 59: Пример (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 59 Пример (окончание) Характеристический многочлен имеет вид Тогда в соответствии с теоремой Гамильтона-Кэли

Изображение слайда
60

Слайд 60: 6.4. Собственный вектор и собственное число оператора

60 6.4. Собственный вектор и собственное число оператора 6.4.1. Определение собственного вектора линейного оператора Пусть в пространстве R n задан линейный оператор. Ненулевой вектор х  R n, удовлетворяющий условию называется собственным вектором оператора, а соответствующее число  называется собственным значением оператора. Замечание. Образом собственного вектора х является коллинеарный ему вектор  х. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
61

Слайд 61: 6.4.2. Первое свойство собственных векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 61 6.4.2. Первое свойство собственных векторов Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. Действительно, предположим противное: пусть собственному вектору х соответствуют два собственных значения  1 и  2. Тогда Отсюда Поскольку по условию х  0, то  1 = 2.

Изображение слайда
62

Слайд 62: 6.4.3. Второе свойство собственных векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 62 6.4.3. Второе свойство собственных векторов Если х 1 и х 2 – собственные векторы оператора с одним и тем же собственным значением , то их сумма х 1 + х 2 также является собственным вектором оператора с тем же собственным значением . Действительно, так как то

Изображение слайда
63

Слайд 63: 6.4.3. Третье свойство собственных векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 63 6.4.3. Третье свойство собственных векторов Если х – собственный вектор оператора с собственным значением , любой вектор  х также является собственным вектором оператора ы с тем же собственным значением . Действительно, ВЫВОД 1. Каждому собственному значению  соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. ВЫВОД 2. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов линейного оператора, соответствующих одному и тому же собственному значению, образует пространство, являющееся подпространством пространства R n.

Изображение слайда
64

Слайд 64: 6.4.4. Теорема о существовании собственных векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 64 6.4.4. Теорема о существовании собственных векторов В комплексном линейном пространстве R n каждый линейный оператор имеет, по крайней мере, один собственный вектор. Доказательство Пусть – линейный оператор, заданный в пространстве R n, а х – собственный вектор этого оператора с собственным значением . Выберем произвольный базис и обозначим координаты вектора х через ( х 1, х 2, …, х n ).

Изображение слайда
65

Слайд 65: Доказательство (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 65 Доказательство (продолжение) Если А – матрица оператора в базисе то в матричной форме получаем или В координатной форме

Изображение слайда
66

Слайд 66: Доказательство (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 66 Доказательство (окончание) Для отыскания собственного вектора необходимо найти нетривиальное решение полученной системы уравнений. Нетривиальное решение существует тогда и только тогда, когда определитель системы уравнений равен нулю, то есть Следовательно, собственное значение оператора является его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя это число в систему уравнений, находим нетривиальное решение, которое определяет искомый собственный вектор.

Изображение слайда
67

Слайд 67: 6.4.5. Пример нахождения собственных векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 67 6.4.5. Пример нахождения собственных векторов Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей Составим характеристическое уравнение

Изображение слайда
68

Слайд 68: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 68 Пример (продолжение) Раскрывая определитель, получаем Корни характеристического уравнения (собственные значения) Для нахождения собственных векторов оператора подставим найденные корни в систему уравнений

Изображение слайда
69

Слайд 69: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 69 Пример (продолжение) Подставляя корни  1 = 2 = 1, получаем систему уравнений Ранг матрицы системы уравнений равен 1. Получаем однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) линейно независимое. Общее решение системы

Изображение слайда
70

Слайд 70: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 70 Пример (продолжение) Найдем два линейно независимых решения Собственные векторы, соответствующие собственным значениям  1 = 2 = 1, имеют вид

Изображение слайда
71

Слайд 71: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 71 Пример (продолжение) При  3 = 4 имеем Ранг матрицы системы равен 2. Получаем однородную систему трех линейных уравнений, из которых два линейно независимые. Общее решение системы уравнений

Изображение слайда
72

Слайд 72: Пример (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 72 Пример (окончание) Собственный вектор, соответствующий собственному значению  3 = 4, равен

Изображение слайда
73

Слайд 73: 6.4.6. Теорема о линейно независимых собственных векторах

© Веденяпин Е.Н. 2013 73 6.4.6. Теорема о линейно независимых собственных векторах Пусть собственные значения  1,  2,  3, …,  n линейного оператора яя попарно различны. Тогда соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Изображение слайда
74

Слайд 74: Следствие

© Веденяпин Е.Н. 2013 74 Следствие Если все собственные значения  1,  2,  3, …,  n линейного оператора яя попарно различны, то соответствующие им собственные векторы образуют базис в пространстве R n.

Изображение слайда
75

Слайд 75: 6.4.7. Теорема о базисе, составленном из линейно независимых собственных векторах

© Веденяпин Е.Н. 2013 75 6.4.7. Теорема о базисе, составленном из линейно независимых собственных векторах Если в качестве базиса пространства R n выбрать n линейно независимых собственных векторов, то оператору в этом базисе соответствует диагональная матрица

Изображение слайда
76

Слайд 76: Оператор простой структуры

© Веденяпин Е.Н. 2013 76 Оператор простой структуры Л инейный оператор яя в пространстве R n. называется оператором простой структуры, если он имеет n линейно независимых собственных векторов. Операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных векторов оператора. Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к растяжению (сжатию) координат вектора в данном базисе.

Изображение слайда
77

Слайд 77: 7. Квадратичные формы

77 7. Квадратичные формы Рассматриваемые вопросы: 7.1. Понятие квадратичной формы 7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме 7.3. Ортогональные преобразования 7.4. Ортогональное преобразование квадратичной формы 7.5. Положительно определенные квадратичные формы © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
78

Слайд 78: 7.1. Понятие квадратичной формы

78 7.1. Понятие квадратичной формы 7.1.1. Определение квадратичной формы Квадратичной формой от n неизвестных х 1, х 2, х 3, …, x n называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных. Общий вид квадратичной формы © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
79

Слайд 79: Матрица квадратичной формы (треугольная форма)

© Веденяпин Е.Н. 2013 79 Матрица квадратичной формы (треугольная форма) Коэффициенты a ij в данной записи образуют треугольную матрицу Замечание. Данная форма записи неудобна для использования, поскольку матрица квадратичной формы несимметрична.

Изображение слайда
80

Слайд 80: 7.1.2. Правильная запись квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 80 7.1.2. Правильная запись квадратичной формы Запишем квадратичную форму f ( х 1, х 2, х 3, …, x n ) в виде Замечание. Коэффициенты c ij матрицы квадратичной формы в данной записи симметричны ( c ij = c ji ). Такая запись квадратичной формы называется правильной.

Изображение слайда
81

Слайд 81: Матрица квадратичной формы (правильная форма)

© Веденяпин Е.Н. 2013 81 Матрица квадратичной формы (правильная форма) Симметричная матрица С называется матрицей квадратичной формы.

Изображение слайда
82

Слайд 82: 7.1.3. Матричная запись квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 82 7.1.3. Матричная запись квадратичной формы Квадратичную форму можно записать более компактно, если использовать матричные обозначения

Изображение слайда
83

Слайд 83: Матричная запись

В матричной записи квадратичная форма принимает вид где С – симметричная квадратная матрица порядка n. Коэффициенты c ii ( i=1, 2, …, n ) – это коэффициенты при x 2 i. Коэффициенты c ij ( i, j=1, 2, …, n; i j ) – это коэффициенты, равные половине коэффициентов при x i x j. © Веденяпин Е.Н. 2013 83 Матричная запись

Изображение слайда
84

Слайд 84: 7.1.4. Запись квадратичной формы с помощью скалярного произведения

© Веденяпин Е.Н. 2013 84 7.1.4. Запись квадратичной формы с помощью скалярного произведения Квадратичную форму f ( х 1, х 2, х 3, …, x n ) можно представить также в виде скалярного произведения векторов. Введем вектор Тогда квадратичную форму можно представить в виде скалярного произведения

Изображение слайда
85

Слайд 85: 7.1.5. Пример представления квадратичной формы с помощью скалярного произведения

© Веденяпин Е.Н. 2013 85 7.1.5. Пример представления квадратичной формы с помощью скалярного произведения Представить квадратичную форму в виде скалярного произведения векторов.

Изображение слайда
86

Слайд 86: 7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

86 7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме 7.2.1. Линейное преобразование переменных Пусть в квадратичной форме выполнено линейное преобразование переменных х 1, х 2, х 3, …, x n с матрицей © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
87

Слайд 87: Линейное преобразование переменных (окончание)

В результате получена квадратичная форма f ( у 1, у 2, у 3, …, у n ), зависящая от новых переменных Квадратичная форма f ( у 1, у 2, у 3, …, у n ) имеет правильную запись. Действительно, Следовательно, матрица В Т СВ симметрична, а, значит, симметрична и квадратичная форма f ( у 1, у 2, у 3, …, у n ), то есть она имеет правильную запись. © Веденяпин Е.Н. 2013 87 Линейное преобразование переменных (окончание)

Изображение слайда
88

Слайд 88: 7.2.2. Пример преобразования переменных квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 88 7.2.2. Пример преобразования переменных квадратичной формы Осуществить над квадратичной формой линейное преобразование, заданное матрицей Переменные х 1, х 2, …, х n преобразуются в переменные у 1, у 2, …, у n. Связь между переменными выражается уравнением

Изображение слайда
89

Слайд 89: Пример преобразования переменных (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 89 Пример преобразования переменных (окончание) Переменные х 1, х 2, …, х n преобразуются в переменные у 1, у 2, …, у n. Связь между переменными выражается уравнением Отсюда В квадратичной форме вместо переменных х 1 и х 2 подставляем их выражение через переменные у 1 и у 2. Получаем

Изображение слайда
90

Слайд 90: 7.2.3. Канонический вид квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 90 7.2.3. Канонический вид квадратичной формы Квадратичная форма имеет канонический вид, если матрица С диагональна. Замечание. Квадратичная форма в каноническом виде содержит только квадраты переменных

Изображение слайда
91

Слайд 91: 7.2.4. Нормальный вид квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 91 7.2.4. Нормальный вид квадратичной формы Нормальным видом квадратичной формы называется квадратичная форма в каноническом виде, если коэффициенты при квадратах переменных равны + 1. Пусть Положим Получим

Изображение слайда
92

Слайд 92: 7.2.5. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду

© Веденяпин Е.Н. 2013 92 7.2.5. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду Всякая квадратичная форма может быть некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду

Изображение слайда
93

Слайд 93: Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду

© Веденяпин Е.Н. 2013 93 Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду Привести квадратичную форму к каноническому виду. Коэффициент при х 2 2  0. Сгруппируем все члены, содержащие х 2

Изображение слайда
94

Слайд 94: Пример приведения к каноническому виду (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 94 Пример приведения к каноническому виду (продолжение) Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащими х 2, и, чтобы квадратичная форма не изменилась, вычтем добавленные члены Введем новую переменную Тогда

Изображение слайда
95

Слайд 95: Пример приведения к каноническому виду (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 95 Пример приведения к каноническому виду (продолжение) К квадратичной форме W вновь применим метод выделения полного квадрата. Для этого соберем члены, содержащие х 1 : Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащими х 1, и, чтобы квадратичная форма не изменилась, вычтем добавленные члены

Изображение слайда
96

Слайд 96: Пример приведения к каноническому виду (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 96 Пример приведения к каноническому виду (продолжение) Положим Тогда исходная квадратичная форма f ( x ) принимает вид Обозначим Получаем исходную квадратичную форму в каноническом виде

Изображение слайда
97

Слайд 97: Пример приведения к каноническому виду (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 97 Пример приведения к каноническому виду (окончание) Линейные преобразования переменных Преобразования переменных в матричной форме

Изображение слайда
98

Слайд 98: 7.2.6. Ранг квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 98 7.2.6. Ранг квадратичной формы Ранг квадратичной формы – это ранг матрицы С квадратичной формы. Замечание 1. Из теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду следует, что для данной симметрической матрицы С существует такая невырожденная матрица В, что где D – диагональная матрица. Замечание 2. П риведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов. Поэтому матрицы В и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено и равно рангу матрицы С.

Изображение слайда
99

Слайд 99: 7.3. Ортогональные преобразования

99 7.3. Ортогональные преобразования 7.3.1. Ортогональная матрица Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве Е n. Введем понятие ортогональной матрицы. Матрица Т с вещественными элементами называется ортогональной, если то есть © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
100

Слайд 100: Определитель ортогональной матрицы

© Веденяпин Е.Н. 2013 100 Определитель ортогональной матрицы Из определения ортогональной матрицы следует, что ортогональная матрица всегда невырожденная, так как

Изображение слайда
101

Слайд 101: 7.3.2. Первое свойство ортогональной матрицы

© Веденяпин Е.Н. 2013 101 7.3.2. Первое свойство ортогональной матрицы Матрица, обратная ортогональной, также является ортогональной. Доказательство Пусть Т – ортогональная матрица, то есть Тогда то есть Следовательно, матрица Т – ортогональная.

Изображение слайда
102

Слайд 102: 7.3.3. Второе свойство ортогональной матрицы

© Веденяпин Е.Н. 2013 102 7.3.3. Второе свойство ортогональной матрицы Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее элементы удовлетворяют равенству

Изображение слайда
103

Слайд 103: 7.3.4. Ортогональное преобразование

© Веденяпин Е.Н. 2013 103 7.3.4. Ортогональное преобразование Линейное преобразование с ортогональной матрицей Т называется ортогональным. Замечание. Так как определитель ортогональной матрицы то ортогональное преобразование всегда является невырожденным.

Изображение слайда
104

Слайд 104: Теорема об ортогональном преобразовании

© Веденяпин Е.Н. 2013 104 Теорема об ортогональном преобразовании Ортогональное преобразование не изменяет скалярного произведения векторов. Доказательство Рассмотрим линейный оператор, соответствующий матрице Т, и два произвольных вектора х  R n и у  R n. Их образы будут Тогда

Изображение слайда
105

Слайд 105: 7.3.5. Следствия из теоремы об ортогональном преобразовании

© Веденяпин Е.Н. 2013 105 7.3.5. Следствия из теоремы об ортогональном преобразовании Следствие 1. Ортогональное преобразование не меняет норм векторов и углов между векторами. Следствие 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный. Следствие 3. Матрица Т перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной. Следствие 4. Матрица Т, приводящая симметричную матрицу А к диагональному виду, является ортогональной.

Изображение слайда
106

Слайд 106: 7.4. Ортогональное преобразование квадратичной формы

106 7.4. Ортогональное преобразование квадратичной формы 7.4.1. Теорема о приведении действительной квадратичной формы к главным осям Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
107

Слайд 107: Следствие

© Веденяпин Е.Н. 2013 107 Следствие Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется неоднозначно. Однако каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму, коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С. Каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Изображение слайда
108

Слайд 108: 7.4.2. Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду

© Веденяпин Е.Н. 2013 108 7.4.2. Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду Квадратичную форму привести к каноническому виду. Матрица квадратичной формы (правильная запись)

Изображение слайда
109

Слайд 109: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 109 Пример (продолжение) Характеристическое уравнение имеет вид Корни характеристического уравнения Канонический вид квадратичной формы

Изображение слайда
110

Слайд 110: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 110 Пример (продолжение) Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение f ( x ) к каноническому виду. Решая уравнение найдем собственные векторы

Изображение слайда
111

Слайд 111: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 111 Пример (продолжение) Преобразуя данную систему векторов в ортонормированную систему, получим

Изображение слайда
112

Слайд 112: Пример (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 112 Пример (продолжение) Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных в переменные Действительно, Х=Т Y, откуда

Изображение слайда
113

Слайд 113: Пример (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 113 Пример (окончание) Получаем ортогональное преобразование

Изображение слайда
114

Слайд 114: 7.5. Положительно определенные квадратичные формы

114 7.5. Положительно определенные квадратичные формы 9.5.1. Определение положительно определенной квадратичной формы Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма положительно определена. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
115

Слайд 115: Отрицательно определенная квадратичная форма

© Веденяпин Е.Н. 2013 115 Отрицательно определенная квадратичная форма Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных. Квадратичная форма называется положительно ( отрицательно ) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений. Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

Изображение слайда
116

Слайд 116: Примеры

© Веденяпин Е.Н. 2013 116 Примеры Пример 1. При n = 1 квадратичная форма либо положительно определена (при a 11 > 0 ), либо отрицательно определена (при a 11 < 0 ). Пример 2. Неопределенные формы появляются при n ≥ 2.

Изображение слайда
117

Слайд 117: 7.5.2. Критерий Сильвестра

© Веденяпин Е.Н. 2013 117 7.5.2. Критерий Сильвестра Для того чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Изображение слайда
118

Слайд 118: Джеймс Джозеф СИЛЬВЕСТР

© Веденяпин Е.Н. 2013 118 Джеймс Джозеф СИЛЬВЕСТР Джеймс Джозеф СИЛЬВЕСТР (1814 – 1897)

Изображение слайда
119

Слайд 119: 7.5.3. Условие отрицательной определенности квадратичной формы

© Веденяпин Е.Н. 2013 119 7.5.3. Условие отрицательной определенности квадратичной формы Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно чтобы была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы были положительны.

Изображение слайда
120

Слайд 120: Условие отрицательной определенности

© Веденяпин Е.Н. 2013 120 Условие отрицательной определенности Это означает, что ВЫВОД. Знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Изображение слайда
121

Слайд 121: 7.5.4. Примеры проверки положительной определенности

© Веденяпин Е.Н. 2013 121 7.5.4. Примеры проверки положительной определенности Пример 1. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной. Матрица квадратичной формы имеет вид

Изображение слайда
122

Слайд 122: Пример 1 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 122 Пример 1 (окончание) Вычислим главные миноры матрицы С ВЫВОД. Квадратичная форма положительно определена.

Изображение слайда
123

Слайд 123: Пример 2

© Веденяпин Е.Н. 2013 123 Пример 2. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной. Матрица квадратичной формы имеет вид

Изображение слайда
124

Слайд 124: Пример 2 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 124 Пример 2 (окончание) Вычислим главные миноры матрицы С ВЫВОД. Квадратичная форма является неопределенной.

Изображение слайда
125

Слайд 125: 7.5.5. Теорема об инерции квадратичных форм

© Веденяпин Е.Н. 2013 125 7.5.5. Теорема об инерции квадратичных форм Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

Изображение слайда
126

Последний слайд презентации: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

© Веденяпин Е.Н. 2013 126 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Изображение слайда