Презентация на тему: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1. Линейные пространства
1.1. Понятие линейного пространства
Определение сложения и умножения на число
1.1.2. Аксиомы сложения и умножения на число
Аксиомы сложения и умножения на число (окончание)
Замечания
1.1.3. Свойства линейного пространства
Свойство 2. Единственность противоположного вектора
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
1.1.4. Примеры линейных пространств
Пример 2. Множество всех рациональных чисел
Пример 3
Пример 3 (окончание)
Пример 4. Множество многочленов
1.1.5. Линейное подпространство
Проверка выполнимости аксиом линейного пространства
Проверка выполнимости 3 аксиомы линейного пространства
1.2. Линейная независимость векторов
1.2.2. Линейные комбинации векторов
Определение линейной комбинации векторов
1.2.3. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов
Примеры линейной зависимости векторов
1.2.4. Размерность линейного пространства
1.3. Базис линейного пространства
1.3.2. Теорема о представлении вектора
1.3.3. Координаты вектора
Равенство векторов
1.3.4. Операции над векторами в координатной форме
Умножение вектора на число
Выводы
1.3.5. Линейные комбинации векторов в координатной форме
Линейные комбинации векторов в координатной форме (окончание)
1.3.6. Координаты нулевого вектора
1.3.7. Координаты противоположного вектора
1.4. Примеры базисов линейных пространств
1.4.2. n -мерное пространство
Определение координат вектора
1.4.3. Пространство многочленов степени n -1
Представление многочлена в выбранном базисе
2. Преобразование координат при замене базиса
2.1. Замена базиса в трехмерном пространстве
Матрица перехода
Матричная форма записи
Обратный переход
2.1.2. Связь между координатами вектора в различных базисах в пространстве
Преобразование координат вектора при переходе от старого базиса к новому
2.1.3. Связь между координатами вектора в различных базисах на плоскости
2.1.4. Изменение системы координат в пространстве
Закон преобразования координат точки при замене базиса
Закон преобразования координат точки (окончание)
2.1.5. Изменение системы координат на плоскости
Частный случай декартовых прямоугольных систем координат
2.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве
Постановка задачи (окончание)
2.2.2. Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3
Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 (продолжение)
Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 (окончание)
2.2.3. Нахождение вектора b в базисе а 1, а 2, а 3
Обратная матрица перехода
Координаты вектора b в новом базисе
2.2.4. Нахождение связи между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3
Нахождение связи между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3 (окончание)
2. 3. Замена базиса в n- мерном пространстве
Матрица перехода от старого базиса к новому
Матрица перехода от нового базиса к старому
2.3.2. Последовательная замена нескольких базисов
4.3.3. Матрица перехода к произвольному базису
2.3.4. Компоненты вектора в различных базисах
Компоненты вектора в различных базисах (окончание)
4. 4. Изоморфизм линейных пространств
2.4.2. Следствие из определения изоморфизма
2.4.3. Изоморфизм пространств одинаковой размерности
3. Линейные подпространства
3.1. Линейные подпространства
3.1.2. Примеры линейных подпространств
Пример 2
Пример 3
Пример 4
3.2. Сумма и пересечение линейных подпространств
Пример суммы подпространств
3.2.2. Пересечение линейных подпространств
Пример пересечения подпространств
3.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств
3.3.2. Второе свойство суммы и пересечения линейных подпространств
3.4. Линейная оболочка
Пример линейной оболочки
4. Евклидово пространство
4.1. Евклидово пространство
Евклид
Аксиомы скалярного произведения
Следствие из аксиом скалярного произведения
4.1.2. Первый пример евклидового линейного подпространства
4.1.3. Второй пример евклидового линейного подпространства
Пример 2 (продолжение)
Пример 2 (продолжение)
Пример 2 (окончание)
Условия, при которых матрица задает скалярное произведение
Частный случай
4.2. Длина вектора и угол между векторами
4.2.2. Теорема Пифагора
Пифагор
4.2.3. Угол между векторами
Пример
4.2.4. Неравенство Коши- Буняковского
Коши и Буняковский
4.3. Ортонормированная система векторов
4.3.2. Нормирующий множитель
Пример
4.3.3. Ортонормированная система векторов
4.3.4. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов
Доказательство (продолжение)
Доказательство (окончание)
4.4. Процесс ортогонализации векторов
4.4.2. Первый шаг процедуры ортогонализации
4.4.3. Последующие шаги процедуры ортогонализации
Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)
Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)
Последующие шаги процедуры ортогонализации (окончание)
4.4.4. Неравенство нулю вектора b m
4.4.5. Заключительные замечания
6.5. Построение ортонормированного базиса
4.5.2. Пример построения ортонормированного базиса
Построение вектора b 2
Построение вектора b 3
Вычисление норм векторов b 1, b 2, b 3
Построение ортонормированного базиса
4.5.3. Координатное представление скалярного произведения
Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Обратное утверждение
4.5.4. Ортогональная проекция вектора
6.5.5. Расстояние между векторами
Свойства расстояния
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1/136
Средняя оценка: 4.4/5 (всего оценок: 43)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (4411 Кб)
1

Первый слайд презентации: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

© Веденяпин Е.Н. 2013 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Проф. ВЕДЕНЯПИН Евгений Николаевич Евразийский открытый институт Кафедра естественнонаучных, математических и общетехнических дисциплин

Изображение слайда
2

Слайд 2: 1. Линейные пространства

2 1. Линейные пространства Рассматриваемые вопросы: 1.1. Понятие линейного пространства 1.2. Линейная независимость векторов 1.3. Базис линейного пространства 1.4. Примеры базисов линейных пространств © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
3

Слайд 3: 1.1. Понятие линейного пространства

3 1.1. Понятие линейного пространства 1.1.1. Определение линейного пространства Множество L элементов любой природы называется линейным ( векторным ) пространством, если для элементов этого пространства определены операции сложения и умножения на число. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
4

Слайд 4: Определение сложения и умножения на число

© Веденяпин Е.Н. 2013 4 Определение сложения и умножения на число Сложение Любой паре элементов, ставится в однозначное соответствие элемент, называемый суммой и обозначаемый Умножение на число Каждому элементу этого пространства и любому числу  ставится в однозначное соответствие элемент, называемый произведением элемента на число и обозначаемый

Изображение слайда
5

Слайд 5: 1.1.2. Аксиомы сложения и умножения на число

© Веденяпин Е.Н. 2013 5 1.1.2. Аксиомы сложения и умножения на число Коммутативность сложения Ассоциативность сложения Существование нейтрального элемента (нуля) относительно сложения Существование противоположного элемента

Изображение слайда
6

Слайд 6: Аксиомы сложения и умножения на число (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 6 Аксиомы сложения и умножения на число (окончание) Ассоциативность умножения на число Дистрибутивность умножения вектора относительно сложения скаляров Существование нейтрального элемента (единицы) относительно умножения Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов

Изображение слайда
7

Слайд 7: Замечания

© Веденяпин Е.Н. 2013 7 Замечания Элементы линейного пространства называются векторами. Если в пространстве L определено умножение его элементов на вещественные числа, то L называется вещественным линейным пространством. Если в пространстве L определено умножение его элементов на комплексные числа, то L называется комплексным векторным пространством.

Изображение слайда
8

Слайд 8: 1.1.3. Свойства линейного пространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 8 1.1.3. Свойства линейного пространства Свойство 1. Единственность нулевого вектора Пусть в L имеются два нулевых вектора и. Тогда так как то, полагая, получаем и, полагая, получаем В силу коммутативности сложения, откуда

Изображение слайда
9

Слайд 9: Свойство 2. Единственность противоположного вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 9 Свойство 2. Единственность противоположного вектора Предположим, что в L у вектора имеются два противоположных вектора и. Тогда Следовательно, и Отсюда

Изображение слайда
10

Слайд 10: Свойство 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 10 Свойство 3. Доказательство Прибавляя к левой и правой частям равенства выражение, получим

Изображение слайда
11

Слайд 11: Свойство 4

© Веденяпин Е.Н. 2013 11 Свойство 4. Доказательство Прибавляя к левой и правой частям равенства выражение, получим

Изображение слайда
12

Слайд 12: Свойство 5

© Веденяпин Е.Н. 2013 12 Свойство 5. Если произведение то либо либо Доказательство Пусть Тогда

Изображение слайда
13

Слайд 13: 1.1.4. Примеры линейных пространств

© Веденяпин Е.Н. 2013 13 1.1.4. Примеры линейных пространств Пример 1. Множество всех вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения Данное множество является линейным пространством, если числовой множитель является элементом множества действительных чисел. Если числовой множитель есть элемент множества комплексных чисел, то данное множество не образует вещественного пространства, так как произведение действительного числа на комплексное число в общем случае есть комплексное число.

Изображение слайда
14

Слайд 14: Пример 2. Множество всех рациональных чисел

© Веденяпин Е.Н. 2013 14 Пример 2. Множество всех рациональных чисел Множество всех рациональных чисел образует линейное пространство, если числовой множитель есть рациональное число. Если числовой множитель является вещественным или комплексным числом, то это множество векторного пространства не образует.

Изображение слайда
15

Слайд 15: Пример 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 15 Пример 3 Рассмотрим множество элементов, каждый из которых является упорядоченной последовательностью из действительных чисел. Элементы этого множества называются векторами и обозначаются

Изображение слайда
16

Слайд 16: Пример 3 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 16 Пример 3 (окончание) Операции сложения векторов и умножения вектора на число вводятся так: ВЫВОД. Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства (п. 3.1.1.). Следовательно, это множество является линейным пространством, R n. Очевидно, что нулевой вектор из R n имеет вид

Изображение слайда
17

Слайд 17: Пример 4. Множество многочленов

© Веденяпин Е.Н. 2013 17 Пример 4. Множество многочленов Множество всех многочленов степени, не превосходящей n, с обычными для многочленов операциями сложения и умножения на число является линейным пространством. В этом пространстве вектор x имеет вид: где а 0, а 1, …, a n – произвольные числа, х – переменная.

Изображение слайда
18

Слайд 18: 1.1.5. Линейное подпространство

© Веденяпин Е.Н. 2013 18 1.1.5. Линейное подпространство Пусть множество R образует некоторое линейного пространство. Тогда всякое подмножество R 1 множества R, элементы которого также образуют векторное пространство с теми же самыми операциями сложения и умножения на число, что и в R, называется подпространством векторного пространства R. Теорема. Для того чтобы подмножество R 1 множества R было подпространством линейного пространства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Изображение слайда
19

Слайд 19: Проверка выполнимости аксиом линейного пространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 19 Проверка выполнимости аксиом линейного пространства Необходимость следует из того, что эти условия должны выполняться для любого векторного пространства. Для доказательства достаточности надо показать, что выполняются все восемь аксиом линейного пространства (п. 3.1.2). Справедливость аксиом 1, 2, 4 - 8 очевидна.

Изображение слайда
20

Слайд 20: Проверка выполнимости 3 аксиомы линейного пространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 20 Проверка выполнимости 3 аксиомы линейного пространства Докажем, что аксиома 3 ( существование нулевого элемента ) выполняется. По условию Пусть  = 0. Тогда Поскольку следовательно, аксиома 3 выполняется.

Изображение слайда
21

Слайд 21: 1.2. Линейная независимость векторов

21 1.2. Линейная независимость векторов 1.2.1. Определение линейной зависимости Пусть L – линейное пространство. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа  1,  2, …,  n, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих векторов равна нулю Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. В екторы называются линейно независимыми, если равенство выполняется, тогда и только тогда, когда  1 =0,  2 =0, …,  n = 0. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
22

Слайд 22: 1.2.2. Линейные комбинации векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 22 1.2.2. Линейные комбинации векторов Пусть векторы линейно зависимы, то есть пусть в соотношении хотя бы один из коэффициентов  1,  2, …,  n, например,  1 отличен от нуля. Тогда Откуда Положим

Изображение слайда
23

Слайд 23: Определение линейной комбинации векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 23 Определение линейной комбинации векторов Получаем выражение одного вектора через другие векторы Если вектор выражается через векторы в виде то говорят, что есть линейная комбинация векторов

Изображение слайда
24

Слайд 24: 1.2.3. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 24 1.2.3. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Верно и обратное утверждение: векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы

Изображение слайда
25

Слайд 25: Примеры линейной зависимости векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 25 Примеры линейной зависимости векторов Пример 1. На прямой любые два вектора пропорциональны, то есть линейно зависимы. Пример 2. На плоскости найдутся два линейно независимых вектора, но всякие три вектора линейно зависимы. Пример 3. Если L – совокупность векторов трехмерного пространства, то найдутся три линейно независимых вектора в R, но всякие четыре вектора линейно зависимы. ВЫВОД. Видно, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в аналитической геометрии принято называть размерностью прямой, плоскости, пространства.

Изображение слайда
26

Слайд 26: 1.2.4. Размерность линейного пространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 26 1.2.4. Размерность линейного пространства Линейное пространство L называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, но больше чем n линейно независимых векторов оно не содержит. Линейное пространство размерности n обозначается L n. Если в пространстве L можно найти любое число линейно независимых векторов, то L называется бесконечномерным.

Изображение слайда
27

Слайд 27: 1.3. Базис линейного пространства

27 1.3. Базис линейного пространства 1.3.1. Определение базиса линейного пространства Совокупность любых n линейно независимых векторов пространства L n называется его базисом. Замечание. Согласно определению n - мерного векторного пространства L n в нем существует n линейно независимых векторов, то есть существует базис. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
28

Слайд 28: 1.3.2. Теорема о представлении вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 28 1.3.2. Теорема о представлении вектора Каждый вектор линейного пространства можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Изображение слайда
29

Слайд 29: 1.3.3. Координаты вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 29 1.3.3. Координаты вектора Пусть в n -мерном линейном пространстве L n задан базис Используя выражение можно установить взаимно однозначное соответствие между векторами этого пространства и упорядоченными последовательностями из n чисел х 1, х 2, …, х n. Числа х 1, х 2, …, х n называются координатами вектора в базисе Обозначения:

Изображение слайда
30

Слайд 30: Равенство векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 30 Равенство векторов Из приведенной теоремы следует, что два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты в базисе равны, то есть когда

Изображение слайда
31

Слайд 31: 1.3.4. Операции над векторами в координатной форме

© Веденяпин Е.Н. 2013 31 1.3.4. Операции над векторами в координатной форме Сложение векторов Пусть в пространстве L n задан базис Тогда любые векторы х и у из L n можно единственным образом представить в виде На основании аксиом сложения векторов получаем

Изображение слайда
32

Слайд 32: Умножение вектора на число

© Веденяпин Е.Н. 2013 32 Умножение вектора на число Рассмотрим умножение вектора х на число . Пусть в пространстве L n задан базис Тогда любой вектор х из L n можно единственным образом представить в виде На основании аксиом умножения вектора на число получаем

Изображение слайда
33

Слайд 33: Выводы

Если векторы пространства L n заданы своими координатами относительно некоторого базиса, то при сложении векторов их координаты складываются Следовательно, если вектор пространства L n задан своими координатами относительно некоторого базиса, то при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число © Веденяпин Е.Н. 2013 33 Выводы

Изображение слайда
34

Слайд 34: 1.3.5. Линейные комбинации векторов в координатной форме

© Веденяпин Е.Н. 2013 34 1.3.5. Линейные комбинации векторов в координатной форме Пусть дана линейная комбинация векторов где

Изображение слайда
35

Слайд 35: Линейные комбинации векторов в координатной форме (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 35 Линейные комбинации векторов в координатной форме (окончание) Тогда ВЫВОД. Координаты линейной комбинации векторов являются линейными комбинациями соответствующих координат векторов.

Изображение слайда
36

Слайд 36: 1.3.6. Координаты нулевого вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 36 1.3.6. Координаты нулевого вектора У нулевого вектора все координаты равны нулю. Доказательство Так как базисные вектора линейно независимы, то

Изображение слайда
37

Слайд 37: 1.3.7. Координаты противоположного вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 37 1.3.7. Координаты противоположного вектора Вектор, противоположный вектору равен Доказательство

Изображение слайда
38

Слайд 38: 1.4. Примеры базисов линейных пространств

38 1.4. Примеры базисов линейных пространств 1.4.1. Трехмерное пространство Для случая трехмерного пространства L 3 определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой системе координат © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
39

Слайд 39: 1.4.2. n -мерное пространство

© Веденяпин Е.Н. 2013 39 1.4.2. n -мерное пространство Пусть имеется L n – пространство, векторами которого являются упорядоченные системы из n чисел. Очевидно, что n векторов образуют базис пространства L n.

Изображение слайда
40

Слайд 40: Определение координат вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 40 Определение координат вектора Найдем координаты вектора х в данном базисе ВЫВОД. Числа х 1, х 2, …, х n можно рассматривать как координаты вектора в базисе пространства L n.

Изображение слайда
41

Слайд 41: 1.4.3. Пространство многочленов степени n -1

© Веденяпин Е.Н. 2013 41 1.4.3. Пространство многочленов степени n -1 Рассмотрим пространство L n многочленов степени не выше n -1. Базисом является совокупность n векторов

Изображение слайда
42

Слайд 42: Представление многочлена в выбранном базисе

© Веденяпин Е.Н. 2013 42 Представление многочлена в выбранном базисе Тогда координатами многочлена в этом базисе являются его коэффициенты

Изображение слайда
43

Слайд 43: 2. Преобразование координат при замене базиса

43 2. Преобразование координат при замене базиса Рассматриваемые вопросы: 2.1. Замена базиса в трехмерном пространстве 2.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве 2.3. Замена базиса в n -мерном пространстве 2.4. Изоморфизм линейных пространств © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
44

Слайд 44: 2.1. Замена базиса в трехмерном пространстве

44 2.1. Замена базиса в трехмерном пространстве 2.1.1. Изменение базиса для пространственной системы координат Пусть имеется базис Рассмотрим другой базис © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
45

Слайд 45: Матрица перехода

© Веденяпин Е.Н. 2013 45 Матрица перехода Базисные вектора нового базиса в старом базисе Матрица перехода от старого базиса к новому ВЫВОД. Столбцы матрицы перехода образуются из коэффициентов разложения новых базисных векторов по старом базису.

Изображение слайда
46

Слайд 46: Матричная форма записи

© Веденяпин Е.Н. 2013 46 Матричная форма записи Используя матрицу перехода, можно соотношению между новыми и старыми базисными векторами придать матричную форму Или

Изображение слайда
47

Слайд 47: Обратный переход

© Веденяпин Е.Н. 2013 47 Обратный переход Поскольку базисные вектора линейно независимы, то определитель матрицы перехода А не равен нулю, то есть матрица перехода невырожденная. Следовательно, существует обратная матрица А -1. Матрица перехода от нового базиса к старому

Изображение слайда
48

Слайд 48: 2.1.2. Связь между координатами вектора в различных базисах в пространстве

© Веденяпин Е.Н. 2013 48 2.1.2. Связь между координатами вектора в различных базисах в пространстве Компоненты вектора а в старом и новом базисах Подставляя выражение новых базисных векторов через старые базисные вектора, получаем Связь между координатами вектора в старом и новом базисах

Изображение слайда
49

Слайд 49: Преобразование координат вектора при переходе от старого базиса к новому

© Веденяпин Е.Н. 2013 49 Преобразование координат вектора при переходе от старого базиса к новому Выражение новых координат вектора через старые координаты получаем аналогично. Результат будет идентичен предыдущему, только матрица перехода будет составлена из компонентов старых базисных векторов в новом базисе.

Изображение слайда
50

Слайд 50: 2.1.3. Связь между координатами вектора в различных базисах на плоскости

© Веденяпин Е.Н. 2013 50 2.1.3. Связь между координатами вектора в различных базисах на плоскости Компоненты вектора а в старом и новом базисах на плоскости Подставляя выражение новых базисных векторов через старые базисные вектора, получаем Связь между координатами вектора в старом и новом базисах

Изображение слайда
51

Слайд 51: 2.1.4. Изменение системы координат в пространстве

© Веденяпин Е.Н. 2013 51 2.1.4. Изменение системы координат в пространстве Рассмотрим две декартовы системы координат: старую ( 0, е 1, е 2, е 3 ) и новую ( 0 ’, е ’ 1, е ’ 2, е ’ 3 ). Пусть М – произвольная точка, координаты которой в этих системах координат будут соответственно равны Выразим координаты точки в старой системе отсчета через координаты в новой системе отсчета, если известно положение новой системы координат относительно старой. Положение новой системы координат относительно старой определяется координатами начала координат 0 ’ ( x’ 0, y’ 0, z’ 0 ) и компонентами базисных векторов е ’ 1, е ’ 2, е ’ 3, составляющих матрицу перехода.

Изображение слайда
52

Слайд 52: Закон преобразования координат точки при замене базиса

© Веденяпин Е.Н. 2013 52 Закон преобразования координат точки при замене базиса Радиус-векторы точки М относительно начал координат 0 и 0 ’ связаны соотношением Запишем это соотношение в виде Разложим каждый член равенства по базису е ’ 1, е ’ 2, е ’ 3. Принимаем, что компоненты векторов 0М и 00 ’ равны координатам точек М и 0 ’ соответственно. Координаты точки 0 ’ равны

Изображение слайда
53

Слайд 53: Закон преобразования координат точки (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 53 Закон преобразования координат точки (окончание) Получаем закон преобразования координат точки при переходе от одной пространственной декартовой системы координат к другой такой же системе координат

Изображение слайда
54

Слайд 54: 2.1.5. Изменение системы координат на плоскости

© Веденяпин Е.Н. 2013 54 2.1.5. Изменение системы координат на плоскости Закон преобразования координат точки при переходе от одной системы координат на плоскости к другой системе получаются аналогично

Изображение слайда
55

Слайд 55: Частный случай декартовых прямоугольных систем координат

© Веденяпин Е.Н. 2013 55 Частный случай декартовых прямоугольных систем координат Пусть обе системы координат на плоскости являются прямоугольными. Закон преобразования координат

Изображение слайда
56

Слайд 56: 2.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве

56 2.2. Пример замены базиса в трехмерном пространстве 2.2.1. Постановка задачи В базисе пространства R 3 заданы векторы © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
57

Слайд 57: Постановка задачи (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 57 Постановка задачи (окончание) Доказать, что векторы а 1, а 2, а 3 образуют базис. Выразить связь между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3. Найти координаты вектора b в базисе а 1, а 2, а 3.

Изображение слайда
58

Слайд 58: 2.2.2. Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 58 2.2.2. Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 Векторы а 1, а 2, а 3 образуют базис в пространстве R 3, поскольку они линейно независимы, а их число равно размерности пространства. Доказательство Составим линейную комбинацию векторов а 1, а 2, а 3 и найдем числа  1,  2,  3, когда линейная комбинация обращается в нуль.

Изображение слайда
59

Слайд 59: Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 59 Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 (продолжение) Найдем решение системы уравнений относительно  1,  2,  3 с помощью метода Гаусса. Приведение матрицы коэффициентов системы уравнений к треугольному виду Определитель

Изображение слайда
60

Слайд 60: Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 60 Проверка линейной независимости векторов а 1, а 2, а 3 (окончание) Если определитель матрицы системы однородных уравнений не равен нулю, то система имеет только тривиальное решение ВЫВОД. Векторы а 1, а 2, а 3 линейно независимы и, следовательно, образуют базис в пространстве R 3.

Изображение слайда
61

Слайд 61: 2.2.3. Нахождение вектора b в базисе а 1, а 2, а 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 61 2.2.3. Нахождение вектора b в базисе а 1, а 2, а 3 Выразим векторы а i через вектора е 1, е 2, е 3. Найдем матрицу перехода А ВЫВОД. Найдена матрица перехода от базиса е 1, е 2, е 3 к базису а 1, а 2, а 3.

Изображение слайда
62

Слайд 62: Обратная матрица перехода

© Веденяпин Е.Н. 2013 62 Обратная матрица перехода Поскольку матрица А невырожденная, то обратная матрица А -1 существует Матрица А -1 является матрицей перехода от базиса а 1, а 2, а 3 к базису е 1, е 2, е 3.

Изображение слайда
63

Слайд 63: Координаты вектора b в новом базисе

© Веденяпин Е.Н. 2013 63 Координаты вектора b в новом базисе Координаты вектора b в базисе а 1, а 2, а 3

Изображение слайда
64

Слайд 64: 2.2.4. Нахождение связи между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 64 2.2.4. Нахождение связи между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3 Связь между базисом а 1, а 2, а 3 и е 1, е 2, е 3 Связь между базисом е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3

Изображение слайда
65

Слайд 65: Нахождение связи между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 65 Нахождение связи между базисами е 1, е 2, е 3 и а 1, а 2, а 3 (окончание)

Изображение слайда
66

Слайд 66: 2. 3. Замена базиса в n- мерном пространстве

66 2. 3. Замена базиса в n- мерном пространстве 2. 3.1. Матрица перехода Пусть в n -мерном пространстве R n даны два базиса И Разложим каждый вектор второго базиса по первому базису © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
67

Слайд 67: Матрица перехода от старого базиса к новому

© Веденяпин Е.Н. 2013 67 Матрица перехода от старого базиса к новому Столбцы матрицы перехода образуются из коэффициентов разложения новых базисных векторов по старом базису. Матричная форма записи

Изображение слайда
68

Слайд 68: Матрица перехода от нового базиса к старому

© Веденяпин Е.Н. 2013 68 Матрица перехода от нового базиса к старому Матрица перехода А невырожденная, поскольку базисные вектора линейно независимы. Следовательно, обратная матрица А -1 существует. Умножим обе части уравнения на А -1 Отсюда

Изображение слайда
69

Слайд 69: 2.3.2. Последовательная замена нескольких базисов

© Веденяпин Е.Н. 2013 69 2.3.2. Последовательная замена нескольких базисов Пусть в линейном пространстве R n даны три базиса е, е ’, e’’, причем Получаем ВЫВОД. При последовательной замене базисов матрицы перехода перемножаются, причем последующие множители располагаются правее.

Изображение слайда
70

Слайд 70: 4.3.3. Матрица перехода к произвольному базису

© Веденяпин Е.Н. 2013 70 4.3.3. Матрица перехода к произвольному базису Пусть задан базис е. Любая невырожденная матрица А порядка n ( det A≠0 ) является матрицей перехода от базиса е к некоторому базису е ’. Действительно, при det A≠0 столбцы матрицы А линейно независимы и являются координатными столбцами n линейно независимых векторов, которые и составляют базис e’.

Изображение слайда
71

Слайд 71: 2.3.4. Компоненты вектора в различных базисах

© Веденяпин Е.Н. 2013 71 2.3.4. Компоненты вектора в различных базисах Пусть имеются два базиса е и е ’. Пусть имеется некоторый вектор b, который имеет представление в рассматриваемых базисах Подставим выражение для базиса е ’ в формулу Получим С другой стороны

Изображение слайда
72

Слайд 72: Компоненты вектора в различных базисах (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 72 Компоненты вектора в различных базисах (окончание) В силу единственности координатного столбца получаем Подробнее эта формула может быть представлена в виде

Изображение слайда
73

Слайд 73: 4. 4. Изоморфизм линейных пространств

73 4. 4. Изоморфизм линейных пространств 2.4.1. Определение изоморфизма Линейные пространства R и R ’ называются изоморфными, если между их векторами можно установить взаимно однозначное соответствие, такое, что если и то © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
74

Слайд 74: 2.4.2. Следствие из определения изоморфизма

© Веденяпин Е.Н. 2013 74 2.4.2. Следствие из определения изоморфизма Из определения изоморфизма следует, что если а то равенство равносильно равенству ВЫВОД. Линейно независимым векторам из пространства R соответствуют линейно независимые векторы из R’. Верно и обратное.

Изображение слайда
75

Слайд 75: 2.4.3. Изоморфизм пространств одинаковой размерности

© Веденяпин Е.Н. 2013 75 2.4.3. Изоморфизм пространств одинаковой размерности Все линейные пространства, имеющие одну и ту размерность n, изоморфны между собой. Пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. Действительно, пусть пространства R и R ’ изоморфны. Тогда максимальное количество линейно независимых векторов в R и R ’ одно и то же. Это означает, что оба пространства имеют одинаковую размерность.

Изображение слайда
76

Слайд 76: 3. Линейные подпространства

76 3. Линейные подпространства Рассматриваемые вопросы: 3.1. Линейные подпространства 3.2. Сумма и пересечение линейных подпространств 3.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств 3.4. Линейная оболочка 3.5. Свойства линейной оболочки © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
77

Слайд 77: 3.1. Линейные подпространства

77 3.1. Линейные подпространства 3.1.1. Определение линейного подпространства Пусть имеется некоторое линейное пространство R. Выберем из этого пространства некоторую совокупность векторов и обозначим ее V. Пусть для любых векторов х и у ( х  V, у  V ) и любого числа  выполняются условия Тогда множество векторов V называется линейным подпространством пространства R. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
78

Слайд 78: 3.1.2. Примеры линейных подпространств

© Веденяпин Е.Н. 2013 78 3.1.2. Примеры линейных подпространств Пример 1 Каждое пространство R обладает двумя подпространствами: нулевым подпространством О самим пространством R Нулевое подпространство О и само пространство R называются тривиальными подпространствами.

Изображение слайда
79

Слайд 79: Пример 2

© Веденяпин Е.Н. 2013 79 Пример 2 Линейное пространство R 1 векторов на прямой, проходящих через начало координат, имеет два тривиальных подпространства

Изображение слайда
80

Слайд 80: Пример 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 80 Пример 3 Линейное пространство R 2 векторов на плоскости имеет, кроме двух тривиальных подпространства, бесконечное множество подпространств V’ 1, V’’ 1, V’’’ 1,.... Каждое из этих подпространств состоит из векторов, лежащих на прямой, проходящей через начало координат.

Изображение слайда
81

Слайд 81: Пример 4

© Веденяпин Е.Н. 2013 81 Пример 4 В геометрическом пространстве R 3 векторов пространства каждая прямая и каждая плоскость, проходящие через начало координат, являются линейными подпространствами геометрического пространства R 3.

Изображение слайда
82

Слайд 82: 3.2. Сумма и пересечение линейных подпространств

82 3.2. Сумма и пересечение линейных подпространств 3.2.1. Сумма линейных подпространств Суммой V’ + V’’ линейных подпространств линейного пространства R называется совокупность всех векторов а  R, которые можно представить в виде (разложить) Если для каждого вектора а данное разложение является единственным, то сумма линейных подпространств V’ + V’’ называется прямой суммой. Обозначение : © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
83

Слайд 83: Пример суммы подпространств

© Веденяпин Е.Н. 2013 83 Пример суммы подпространств Каждый вектор а линейного пространства R 2 векторов на плоскости можно представить в виде Здесь подпространства V’ 1 и V’’ 1 - это совокупности векторов, лежащих на соответствующих координатных осях. В силу единственности разложения

Изображение слайда
84

Слайд 84: 3.2.2. Пересечение линейных подпространств

© Веденяпин Е.Н. 2013 84 3.2.2. Пересечение линейных подпространств Пересечением V’  V’’ линейных подпространств V’ и V’’ линейного пространства R называется совокупность всех векторов а  R, которые принадлежат одновременно подпространствам V’ и V’’.

Изображение слайда
85

Слайд 85: Пример пересечения подпространств

© Веденяпин Е.Н. 2013 85 Пример пересечения подпространств Рассмотрим подпространства V’ 2 и V’’ 2, являющиеся плоскостями, проходящими через координатную ось 0х. Вектора b 1 и b 2, лежащие одновременно в обеих плоскостях, принадлежат пересечению подпространств V’ 2 и V’’ 2

Изображение слайда
86

Слайд 86: 3.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств

86 3.3. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств 3.3.1. Первое свойство суммы и пересечения линейных подпространств Сумма и пересечение линейных подпространств в свою очередь являются линейными подпространствами. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
87

Слайд 87: 3.3.2. Второе свойство суммы и пересечения линейных подпространств

© Веденяпин Е.Н. 2013 87 3.3.2. Второе свойство суммы и пересечения линейных подпространств Размерность суммы линейных подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения.

Изображение слайда
88

Слайд 88: 3.4. Линейная оболочка

88 3.4. Линейная оболочка 3.4.1. Определение линейной оболочки Линейной оболочкой L ( x 1, x 2 ) двух векторов x 1 и x 2, принадлежащих линейному пространству R, называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов Здесь  и  - произвольные действительные числа. Замечание. Линейная оболочка состоит из бесчисленного множества векторов а, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов x 1 и x 2. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
89

Слайд 89: Пример линейной оболочки

© Веденяпин Е.Н. 2013 89 Пример линейной оболочки

Изображение слайда
90

Слайд 90: 4. Евклидово пространство

90 4. Евклидово пространство Рассматриваемые вопросы: 4.1. Евклидово пространство 4.2. Длина вектора и угол между векторами 4.3. Ортонормированная система векторов 4.4. Процесс ортогонализации векторов 4.5. Построение ортонормированного базиса © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
91

Слайд 91: 4.1. Евклидово пространство

91 4.1. Евклидово пространство 4.1.1. Определение евклидова пространства n – мерное векторное пространство Е n называется евклидовым, если каждой паре векторов x и y из Е n поставлено в соответствие вещественное число ( x, y ), называемое скалярным произведением. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
92

Слайд 92: Евклид

© Веденяпин Е.Н. 2013 92 Евклид ЕВКЛИД (ок. 300 г. до н.э.)

Изображение слайда
93

Слайд 93: Аксиомы скалярного произведения

© Веденяпин Е.Н. 2013 93 Аксиомы скалярного произведения Скалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома линейности по первому аргументу Аксиома коммутативности Аксиома положительной определенности

Изображение слайда
94

Слайд 94: Следствие из аксиом скалярного произведения

© Веденяпин Е.Н. 2013 94 Следствие из аксиом скалярного произведения Из аксиомы линейности по первому аргументу и аксиомы коммутативности следует свойство линейности скалярного произведения по второму аргументу

Изображение слайда
95

Слайд 95: 4.1.2. Первый пример евклидового линейного подпространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 95 4.1.2. Первый пример евклидового линейного подпространства Вектором пространства E n является любая упорядоченная система n действительных чисел Сложение векторов и умножение их на число определены ранее. Скалярное произведение векторов определим формулой Видно, что аксиомы 1 – 3 действительно выполняются.

Изображение слайда
96

Слайд 96: 4.1.3. Второй пример евклидового линейного подпространства

© Веденяпин Е.Н. 2013 96 4.1.3. Второй пример евклидового линейного подпространства Определим вектор x  E n как упорядоченную совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на число определим так же, как в примере 1. Пусть задана некоторая квадратная матрица А порядка n. Скалярное произведение векторов x и y определим формулой

Изображение слайда
97

Слайд 97: Пример 2 (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 97 Пример 2 (продолжение) Найдем условия, которым должна удовлетворять матрица А, чтобы определенное данной формулой скалярное произведение удовлетворяло бы аксиомам 1 – 3. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что аксиома 1 выполняется для любой квадратной матрицы А. Для того, чтобы была выполнена аксиома 2, то есть чтобы выражение ( x, y ) было симметричным относительно x и y, необходимо и достаточно, чтобы a ij = a ji, то есть чтобы матрица А, была симметричной.

Изображение слайда
98

Слайд 98: Пример 2 (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 98 Пример 2 (продолжение) Для выполнения аксиомы 3 необходимо, чтобы выражение было неотрицательно для любых  1,  2,...,  n и обращалось в нуль лишь если  1 =0,  2 =0,  3 =0,...,  n =0.

Изображение слайда
99

Слайд 99: Пример 2 (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 99 Пример 2 (окончание) Квадратичная форма (однородный многочлен), определяемая формулой называется положительно определенной, если она принимает неотрицательные значения при любых  i и обращается в нуль только тогда, когда все  i равны нулю. Следовательно, для выполнения аксиомы 3 необходимо, чтобы квадратичная форма была положительно определенной.

Изображение слайда
100

Слайд 100: Условия, при которых матрица задает скалярное произведение

© Веденяпин Е.Н. 2013 100 Условия, при которых матрица задает скалярное произведение Всякая квадратная матрица А порядка n задает скалярное произведение в линейном пространстве Е n, определяемое формулой при выполнении следующих условий: матрица А симметричная ; соответствующая ей квадратичная форма положительно определенная.

Изображение слайда
101

Слайд 101: Частный случай

© Веденяпин Е.Н. 2013 101 Частный случай Если в качестве матрицы А взять единичную матрицу Е, то есть положить a ii = 1, а a ij = 0 ( i  j ), то скалярное произведение принимает вид Получаем евклидово пространство, определенное в п. 6.1.2.

Изображение слайда
102

Слайд 102: 4.2. Длина вектора и угол между векторами

102 4.2. Длина вектора и угол между векторами 4.2.1. Норма (длина) вектора Нормой ( длиной ) || x || вектора x в пространстве Е n называется корень квадратный из скалярного произведения вектора х на самого себя © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
103

Слайд 103: 4.2.2. Теорема Пифагора

© Веденяпин Е.Н. 2013 103 4.2.2. Теорема Пифагора Векторы x и y, скалярное произведение ( x, y ) которых равно нулю, называются ортогональными. В любом евклидовом пространстве Е n верна теорема Пифагора. Теорема. Если векторы x и y ортогональны, то

Изображение слайда
104

Слайд 104: Пифагор

© Веденяпин Е.Н. 2013 104 Пифагор ПИФАГОР Самосский (570 – 490 г.г. до н.э.)

Изображение слайда
105

Слайд 105: 4.2.3. Угол между векторами

© Веденяпин Е.Н. 2013 105 4.2.3. Угол между векторами Угол между ненулевыми векторами x и y определяется равенством Замечание. Если x и y – ненулевые векторы из Е n, то их ортогональность означает, что угол  между ними равен

Изображение слайда
106

Слайд 106: Пример

© Веденяпин Е.Н. 2013 106 Пример Найти угол между векторами а и b в четырехмерном пространстве, если

Изображение слайда
107

Слайд 107: 4.2.4. Неравенство Коши- Буняковского

© Веденяпин Е.Н. 2013 107 4.2.4. Неравенство Коши- Буняковского В любом евклидовом пространстве Е n справедливо неравенство Коши-Буняковского Отсюда следует Это означает, что косинус угла между векторами из Е n по модулю, не превосходит единицы.

Изображение слайда
108

Слайд 108: Коши и Буняковский

© Веденяпин Е.Н. 2013 108 Коши и Буняковский Огюстен Луи КОШИ (1789 – 1857) Виктор Яковлевич БУНЯКОВСКИЙ (1804 – 1889)

Изображение слайда
109

Слайд 109: 4.3. Ортонормированная система векторов

109 4.3. Ортонормированная система векторов 4.3.1. Нормированный вектор Ненулевой вектор x пространства Е n, называется нормированным, если его норма (длина) равна единице. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
110

Слайд 110: 4.3.2. Нормирующий множитель

© Веденяпин Е.Н. 2013 110 4.3.2. Нормирующий множитель Любой ненулевой вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Доказательство Действительно, пусть x  E n – ненулевой вектор. Тогда Достаточно взять  таким, чтобы Число  называется нормирующим множителем для вектора x.

Изображение слайда
111

Слайд 111: Пример

© Веденяпин Е.Н. 2013 111 Пример Найти нормирующий множитель для вектора а, если Построить нормированный вектор.

Изображение слайда
112

Слайд 112: 4.3.3. Ортонормированная система векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 112 4.3.3. Ортонормированная система векторов Система векторов в пространства Е n называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице, то есть если

Изображение слайда
113

Слайд 113: 4.3.4. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов

© Веденяпин Е.Н. 2013 113 4.3.4. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов Ортогональная система ненулевых векторов пространства Е n линейно независима. Доказательство Пусть ненулевые векторы попарно ортогональны. Тогда

Изображение слайда
114

Слайд 114: Доказательство (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 114 Доказательство (продолжение) Покажем, что векторное равенство выполняется тогда и только тогда, когда Умножим обе части равенства скалярно на а 1. Получим

Изображение слайда
115

Слайд 115: Доказательство (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 115 Доказательство (окончание) Из условия ортогональности векторов следует, что Отсюда Аналогично, умножая выражение на а 2, получаем и т.д. Таким образом, мы доказали, что векторы линейно независимы.

Изображение слайда
116

Слайд 116: 4.4. Процесс ортогонализации векторов

116 4.4. Процесс ортогонализации векторов 4.4.1. Суть процесса ортогонализации Рассмотрим процесс ортогонализации векторов. Он состоит в том, что из заданных линейно независимых векторов строятся k попарно ортогональных векторов © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
117

Слайд 117: 4.4.2. Первый шаг процедуры ортогонализации

© Веденяпин Е.Н. 2013 117 4.4.2. Первый шаг процедуры ортогонализации Положим Ищем вектор b 2 в виде Число  21 следует подобрать так, чтобы векторы b 1 и b 2 были ортогональны, то есть Отсюда

Изображение слайда
118

Слайд 118: 4.4.3. Последующие шаги процедуры ортогонализации

© Веденяпин Е.Н. 2013 118 4.4.3. Последующие шаги процедуры ортогонализации Пусть первые m-1 попарно ортогональные и отличные от нуля векторы уже построены. Вектор b m ищем в виде Замечание. Вектор b m получаем из вектора а m исправлением его с помощью линейной комбинации уже построенных ранее векторов b 1, b 2, b 3, …, b m -1.

Изображение слайда
119

Слайд 119: Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 119 Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение) Коэффициенты  m, 1,  m,2,  m,3, …,  m,m-1 находим из условия ортогональности вектора b m к векторам b 1, b 2, b 3, …, b m -1.

Изображение слайда
120

Слайд 120: Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение)

© Веденяпин Е.Н. 2013 120 Последующие шаги процедуры ортогонализации (продолжение) Так как векторы b 1, b 2, b 3, …, b m -1 попарно ортогональны, то из полученных равенств имеем

Изображение слайда
121

Слайд 121: Последующие шаги процедуры ортогонализации (окончание)

© Веденяпин Е.Н. 2013 121 Последующие шаги процедуры ортогонализации (окончание) Из полученной системы уравнений находим коэффициенты  m, 1,  m,2,  m,3, …,  m,m-1

Изображение слайда
122

Слайд 122: 4.4.4. Неравенство нулю вектора b m

© Веденяпин Е.Н. 2013 122 4.4.4. Неравенство нулю вектора b m Докажем теперь, что построенный вектор b m отличен от нуля. Вектор b m есть линейная комбинация векторов b 1, b 2, b 3, …, b m -1. Но вектор b m можно заменить линейной комбинацией вектора а m и векторов b 1, b 2, b 3, …, b m -2 и т.д. Окончательно получаем, что вектор b m записывается в виде Отсюда следует, что b m 0. В противном случае левая часть равенства была бы равна 0, что противоречит линейной независимости векторов (коэффициент при а m равен единице).

Изображение слайда
123

Слайд 123: 4.4.5. Заключительные замечания

© Веденяпин Е.Н. 2013 123 4.4.5. Заключительные замечания По векторам b 1, b 2, b 3, …, b m -1 и а m построен вектор b m. Аналогично по векторам b 1, b 2, b 3, …, b m -1, b m и а m +1 можно построить вектор b m +1. Продолжая этот процесс, можно по заданной системе n линейно независимых векторов в Е n построить систему n ненулевых ортогональных векторов.

Изображение слайда
124

Слайд 124: 6.5. Построение ортонормированного базиса

124 6.5. Построение ортонормированного базиса 6.5.1. Теорема о существовании ортонормированного базиса Во всяком евклидовом пространстве Е n существуют ортонормированные базисы. © Веденяпин Е.Н. 2013

Изображение слайда
125

Слайд 125: 4.5.2. Пример построения ортонормированного базиса

© Веденяпин Е.Н. 2013 125 4.5.2. Пример построения ортонормированного базиса По заданной в Е n системе линейно независимых векторов построить ортонормированный базис. Положим

Изображение слайда
126

Слайд 126: Построение вектора b 2

© Веденяпин Е.Н. 2013 126 Построение вектора b 2 Вектор b 2 будем искать в виде где Тогда

Изображение слайда
127

Слайд 127: Построение вектора b 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 127 Построение вектора b 3 Вектор b 3 будем искать в виде где Тогда

Изображение слайда
128

Слайд 128: Вычисление норм векторов b 1, b 2, b 3

© Веденяпин Е.Н. 2013 128 Вычисление норм векторов b 1, b 2, b 3 Находим нормы векторов b 1, b 2, b 3

Изображение слайда
129

Слайд 129: Построение ортонормированного базиса

© Веденяпин Е.Н. 2013 129 Построение ортонормированного базиса Нормируем векторы b 1, b 2, b 3. Получим ортонормированный базис

Изображение слайда
130

Слайд 130: 4.5.3. Координатное представление скалярного произведения

© Веденяпин Е.Н. 2013 130 4.5.3. Координатное представление скалярного произведения Пусть – произвольный базис пространства Е n. Пусть имеются векторы Скалярное произведение векторов х и у имеет вид

Изображение слайда
131

Слайд 131: Скалярное произведение в ортонормированном базисе

© Веденяпин Е.Н. 2013 131 Скалярное произведение в ортонормированном базисе Пусть – ортонормированный базис. Следовательно, Тогда скалярное произведение векторов представляется в виде

Изображение слайда
132

Слайд 132: Обратное утверждение

© Веденяпин Е.Н. 2013 132 Обратное утверждение Если в базисе скалярное произведение векторов х и у равно то этот базис ортонормированный. Если в некотором базисе скалярное произведение то этот базис ортонормированный.

Изображение слайда
133

Слайд 133: 4.5.4. Ортогональная проекция вектора

© Веденяпин Е.Н. 2013 133 4.5.4. Ортогональная проекция вектора Пусть – ортонормированный базис в Е n и Умножив обе части последнего равенства скалярно на а i, получим Видно, что i -я координата вектора в ортонормированном базисе равна скалярному произведению вектора х на единичный вектор а i. Скалярное произведение ( х, а i ) называется ортогональной проекцией вектора х на вектор а i. ВЫВОД. Координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на базисные векторы.

Изображение слайда
134

Слайд 134: 6.5.5. Расстояние между векторами

© Веденяпин Е.Н. 2013 134 6.5.5. Расстояние между векторами Расстояние между векторами х и у определяется в пространстве Е n как норма вектора ( х - у )

Изображение слайда
135

Слайд 135: Свойства расстояния

© Веденяпин Е.Н. 2013 135 Свойства расстояния Из определения расстояния следует, что:

Изображение слайда
136

Последний слайд презентации: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

© Веденяпин Е.Н. 2013 136 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Изображение слайда