Презентация на тему: Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное

Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
§8. Основные теоремы дифференциального исчисления
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
§9. Использование производной при вычислении пределов
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
§10. Исследование функций и построение графиков
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
2. Экстремумы функции ( самостоятельно )
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное
1/18
Средняя оценка: 4.8/5 (всего оценок: 79)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (180 Кб)
1

Первый слайд презентации

Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя

Изображение слайда
2

Слайд 2: 8. Основные теоремы дифференциального исчисления

ТЕОРЕМА 1 (Ролля). Пусть функция y   =   f ( x ) непрерывна на [ a ;   b ] и дифференци - руема на ( a ;   b ). Если f ( a )   =   f ( b ), то существует хотя бы одна точка  ( a ;   b ) такая, что f    (  )   =   0  . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Ролля.

Изображение слайда
3

Слайд 3

Если функция y   =   f ( x ) удовлетворяет указанным в теореме 1 условиям, то на интервале ( a ;   b ) существует хотя бы одна точка  такая, что в соответствующей ей точке кривой y   =   f ( x ) касательная параллельна оси Ox. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа). Пусть функция y   =   f ( x ) непрерывна на [ a ;   b ] и дифференци - руема на ( a ;   b ). Тогда существует хотя бы одна точка  ( a ;   b ) такая, что

Изображение слайда
4

Слайд 4

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Лагранжа. Следовательно, если функция y   =   f ( x ) удовлетворяет указанным в теореме 2 условиям, то на интервале ( a ;   b ) существует хотя бы одна точка  такая, что в соответствующей ей точке кривой y   =   f ( x ) касательная параллельна секущей AB. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Изображение слайда
5

Слайд 5

Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде f ( b ) –  f ( a ) =  f   (  )    ( b  –  a ) . (3) Формулу (3) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. СЛЕДСТВИЕ теоремы Лагранжа. Пусть функция y   =   f ( x ) непрерывна на [ a ;   b ] и дифференци - руема на ( a ;   b ). Функция f ( x ) принимает на [ a ;   b ] постоянное значение C  f   ( x )   =   0,  x  ( a ;   b ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Изображение слайда
6

Слайд 6

ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f ( x ) и  ( x ) непрерывны на [ a ;   b ] и дифференцируемы на ( a ;   b ), причем     ( x )      0,  x  ( a ;   b ). Тогда существует хотя бы одна точка  ( a ;   b ) такая, чт о ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Изображение слайда
7

Слайд 7: 9. Использование производной при вычислении пределов

ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x 0  ℝ ̄ и выполняются следующие условия: 1) функции f ( x ) и  ( x ) определены и непрерывны в некоторой  -окрестности x 0, за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f ( x ) и  ( x ) дифференцируемы в U *( x 0,  )  , причем     ( x )      0  ,     x  U *( x 0,  ). Тогда, если (конечный или бесконечный), то причем эти два предела будут равны. Т.е.

Изображение слайда
8

Слайд 8

Замечания. 1) Если f   ( x )   и     ( x )   тоже являются б.м. (б.б.) при x      x 0  , то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри - менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

Изображение слайда
9

Слайд 9: 10. Исследование функций и построение графиков

1. Возрастание и убывание функции ( самостоятельно ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y   =   f ( x ) называется возрастающей ( неубывающей ) на интервале ( a ; b ) если  x 1, x 2  ( a ; b ) таких, что x 1   <   x 2   выполняется неравенство f ( x 1 ) <  f ( x 2 )  (  f ( x 1 )     f ( x 2 ) ). Иначе говоря, функция y   =   f ( x ) называется возрастающей на ( a ; b ), если большему значению аргумента из ( a ; b ) соответ - ствует большее значение функции. Функция y   =   f ( x ) называется убывающей ( невозрастающей ) на интервале ( a ; b ) если  x 1, x 2  ( a ; b ) таких, что x 1   <   x 2   выполняется неравенство f ( x 1 ) >  f ( x 2 ) (  f ( x 1 )     f ( x 2 ) ). Иначе говоря, функция y   =   f ( x ) называется убывающей на ( a ; b ), если большему значению аргумента из ( a ; b ) соответ - ствует меньшее значение функции.

Изображение слайда
10

Слайд 10

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. Замечание. Из определения  если f ( x ) возрастает (убывает) на ( a ; b ), то на этом интервале  x и соответствующее ему  f ( x ) будут иметь одинаковый (разный) знак. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y   =   f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ). Тогда 1) если y   =   f ( x ) возрастает ( убывает ) на ( a ; b ), то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи - тельна), т.е. f   ( x )    0 ,  x  ( a ; b ) (  f   ( x )    0 ,  x  ( a ; b ) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2) если f   ( x ) > 0 ,  x  ( a ; b ) (  f   ( x ) < 0 ,  x  ( a ; b ) ) , то функция y   =   f ( x ) на ( a ; b ) возрастает (убывает). (достаточное условие возрастания (убывания) функции) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Т.1, стр. 145.)

Изображение слайда
11

Слайд 11: 2. Экстремумы функции ( самостоятельно )

Пусть x 0  D ( f ), x 0 – внутренняя точка D ( f ) (т.е. существует не - которая окрестность точки x 0  , целиком лежащая во мно - жестве D ( f )). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой максимума функции f ( x ) если существует такая  -окрестность U ( x 0,  ) точки x 0, что f ( x )   <   f ( x 0 )  ,  x  U *( x 0,  ). Значение функции точке максимума называется максимумом функции. Точка x 0 называется точкой минимума функции f ( x ) если существует такая  -окрестность U ( x 0,  ) точки x 0, что f ( x )   >   f ( x 0 )  ,  x  U *( x 0,  ). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстре - мумами.

Изображение слайда
12

Слайд 12

Замечания : 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x 0 и в других точках. Различие – в области действия понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера. Поэтому в некоторой литературе употребляют термины « глобальный максимум ( минимум )» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и « локальный максимум ( минимум )» – вместо максимум (минимум) функции.

Изображение слайда
13

Слайд 13

2) Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов.

Изображение слайда
14

Слайд 14

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x 0 – точка экстремума функции f ( x ) и f ( x ) – диф - ференцируема в точке x 0  . Т огда f   ( x 0 ) = 0 . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2. Если x 0 – точка экстремума функции f ( x ) и кривая y   =   f ( x ) имеет невертикальную касательную в точке M 0 ( x 0  , f ( x 0 ))  , то эта касательная – горизонтальная. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле - ние. Т.1, стр. 148.)

Изображение слайда
15

Слайд 15

Точки, в которых производная функции f ( x ) равна нулю, называются стационарными точками функции f ( x ). ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D ( f )  , f ( x ) непрерывна в U ( x 0,  ) f ( x ) дифференцируема в U ( x 0,  ) или U *( x 0,  )  . Если при переходе через точку x 0 производная функции f ( x ) меняет знак, то x 0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x 0 – точка минимума. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле - ние. Т.1, стр. 150-151.)

Изображение слайда
16

Слайд 16

Замечание. Из теоремы 3  точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f ( x ) и точки, в которых f   ( x ) не существует, называются критическими точками I рода ( критическими точками по первой производной ).

Изображение слайда
17

Слайд 17

ТЕОРЕМА 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D ( f )   и f ( x ) n раз дифференцируема в точке x 0  , причем f   ( x 0 ) =  f   ( x 0 ) = … =  f  ( n  – 1) ( x 0 )  = 0 , f  ( n ) ( x 0 )    0  . Тогда: 1) если n – четное и f   ( n ) ( x 0 )   >   0  , то x 0 является точкой минимума функции f ( x ) ; 2) если n – четное и f   ( n ) ( x 0 )   <   0  , то x 0 является точкой максимума функции f ( x ) ; 3) если n – нечетное, то x 0 не является точкой экстремума функции f ( x ) . Замечание. На практике пользоваться 2- м достаточным усло - вием экстремума менее удобно, чем 1- м. Действительно, 1) сложно вычислить f   ( n ) ( x 0 ); 2) определяются не все промежутки монотонности функции. Но иногда, все же лучше применить 2- е достаточное условие. Например, если критических точек бесконечно много.

Изображение слайда
18

Последний слайд презентации: Лектор Пахомова Е.Г. 20 1 0 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное

Изображение слайда