Презентация на тему: Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого

Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого
1/23
Средняя оценка: 4.5/5 (всего оценок: 88)
Код скопирован в буфер обмена
Скачать (384 Кб)
1

Первый слайд презентации

Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого порядку. 1. Основні поняття та означення. Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням у частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних. Ми будемо розглядати лише звичайні диференціальні рівняння.

Изображение слайда
2

Слайд 2

Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить незалежну змінну х, невідому функцію та її похідні або диференціали і має загальний вигляд Означення 2. Порядок диференціального рівняння визначається порядком старшої похідної (диференціала), яка входить до даного диференціального рівняння. Наприклад, – диференціальне рівняння другого порядку, оскільки старша похідна

Изображение слайда
3

Слайд 3

Означення 3. Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція, яка містить стільки сталих, який порядок диференціального рівняння і підстановка якої в дане диференціальне рівняння перетворює його в тотожність, тобто має вигляд Означення 4. Загальний розв’язок, який не розв’язаний відносно у(х) і має вигляд називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Изображение слайда
4

Слайд 4

Означення 5. Розв’язок, знайдений із загального розв’язку при фіксованих значеннях сталих С 1,С 2,…,С n називається частинним розв’язком диференціального рівняння. Для знаходження n довільних сталих С 1,С 2,…,С n потрібно задати n початкових умов. Умов, як і сталих в загальному розв’язку, всього n, тому можна скласти систему n рівнянь з n невідомими С 1,С 2,…,С n. Означення 6. Сумісне задання диференціального рівняння і відповідної кількості початкових умов називається задачею Коші

Изображение слайда
5

Слайд 5

2. Диференціальні рівняння І-го порядку, основні поняття. Означення 7. Рівняння вигляду, яке містить похідну тільки першого порядку, називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної, то його називають рівнянням, розв’язаним відносно похідної Загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку містить одну сталу і має вигляд (або загальний інтеграл ).

Изображение слайда
6

Слайд 6

Задача Коші містить одну початкову умову і має вигляд Частинний розв’язок можна знайти, якщо в загальний розв’язок підставити конкретне значення довільної сталої С =С 0. Теорема Коші про існування і єдність розв’язку. Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку функції та неперервні в області D, яка містить точку M 0 (x 0 ;y 0 ), то існує єдиний розв’язок цього диференціального рівняння, що задовольняє умові у(х 0 ) = у 0.

Изображение слайда
7

Слайд 7

3. Диференціальні рівняння І-го порядку з відокремлюваними змінними. Означення 7. Рівняння виду, де – задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Права частина рівняння є добутком двох множників, кожен з яких є функція лише однієї змінної.

Изображение слайда
8

Слайд 8

Алгоритм розв’язання диференціального рівняння. - Згідно еквівалентної форми запису похідної, як відношення диференціалів функції і незалежної змінної, маємо - Відокремимо змінні, поділивши обидві сторони рівняння на та помноживши на dx, дістанемо - Проінтегруємо обидві частини рівняння. інтегруючи ліву частину по змінній у, а праву – по змінній х, знаходимо невизначені інтеграли, які відрізняються лише на сталу величину С, одержимо Якщо задано початкову умову, то знайдемо частинний розв ` язок.

Изображение слайда
9

Слайд 9

Приклад 1. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння за умови, що Розв’язання. Оскільки, то. Розділивши змінні, маємо. Інтегруючи останнє рівняння, одержимо або Шукаємо сталу С, при якій виконується початкова умова : Отже, шуканий частинний розв’язок

Изображение слайда
10

Слайд 10

Приклад 2. Розв’язати рівняння Розв’язання. Це рівняння запишемо у вигляді Поділимо обидві частини рівняння на одержимо Проінтегруємо обидві частини

Изображение слайда
11

Слайд 11

Нехай тоді Потенціюючи останню рівність маємо – загальний інтеграл.

Изображение слайда
12

Слайд 12

4. Однорідні диференціальні рівняння І-го порядку. Означення 8. Функція називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних х та у, якщо для довільного числа виконується тотожність Наприклад, функція – однорідна функція другого виміру, так як Означення 9. Однорідним диференціальним рівнянням називається рівняння виду де функції є однорідними функціями однакового виміру.

Изображение слайда
13

Слайд 13

Алгоритм розв’язання однорідного диференціального рівняння. - Зробимо підстановку де – нова невідома функція (ця підстановка зводить однорідне диференціальне рівняння до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними). - Похідна добутку або в диференціалах - Підставивши у та у / (або dy) в дане диференціальне рівняння отримаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно х та z.

Изображение слайда
14

Слайд 14

Розв’язавши диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, зробимо обернену заміну, тому і отримаємо загальний розв’язок або загальний інтеграл даного диференціального рівняння. Якщо задано початкову умову, то знайдемо частинний розв’язок або частинний інтеграл задачі Коші.

Изображение слайда
15

Слайд 15

Приклад 3. Розв’язати диференціальне рівняння Розв’язання. Це однорідне диференціальне рівняння, яке містить однорідні функції другого виміру бо та Зробимо заміну, тоді. Підставимо у рівняння:

Изображение слайда
16

Слайд 16

– це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно x та z. Проінтегруємо обидві частини рівняння Потенціюючи, маємо Зробимо обернену заміну і одержимо загальний інтеграл Оскільки маємо початкову умову, то С = 1. Частинний інтеграл або частинний розв’язок

Изображение слайда
17

Слайд 17

5. Лінійні диференціальні рівняння І-го порядку. Означення 10. Лінійним диференціальним рівнянням І-го порядку називається рівняння виду , де p(x) та g(x) – неперервні на деякому проміжку функції. Диференціальне рівняння є лінійним, тому що невідома функція у та її похідна у/ входить до рівняння в першому степені, тобто лінійно. Якщо , то лінійне рівняння називається однорідним. Якщо, то неоднорідне. Є кілька методів інтегрування неоднорідного лінійного рівняння. Розглянемо один з них, а саме метод Бернуллі (метод підстановки).

Изображение слайда
18

Слайд 18

Алгоритм методу Бернуллі. 1. Розв’язок лінійного диференціального рівняння шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій , де. Одну з цих функцій можна вибрати довільно, а друга визначається з даного рівняння. 2. Оскільки, то (похідна добутку). 3. Підставимо і в рівняння і одержимо. Згрупуємо другий і третій доданки винесенням за дужки спільного множника и, одержимо (*) (групувати доданки можна як з u так і з v).

Изображение слайда
19

Слайд 19

4. Спочатку визначимо частинний розв’язок, розв’язавши рівняння і покладаючи довільну сталу інтегрування рівною нулю Дане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. 5. Підставивши знайдену функцію в рівняння (*) маємо, тобто – диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно З цього рівняння знайдемо.

Изображение слайда
20

Слайд 20

6. Отримавши і, знайдемо загальний розв’язок. Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Изображение слайда
21

Слайд 21

Розв’язання. Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку, в якому. Зробимо підстановку Бернуллі, тоді , маємо, (*). Виберемо функцію v так, щоб, звідки

Изображение слайда
22

Слайд 22

Підставивши в рівняння (*), маємо Виконаємо обернену заміну і одержимо – загальний розв’язок.

Изображение слайда
23

Последний слайд презентации: Лекція Тема. Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння першого

6. Рівняння Бернуллі. Означення 11. Рівнянням Бернуллі називається нелінійне диференціальне рівняння першого порядку вигляду, де. При n = 0 це рівняння – лінійне. При n = 1 – з відокремлюваними змінними. Покладемо, поділимо рівняння Бернуллі на, тоді матимемо рівняння остаточно. Таким чином, заміною, а, рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння.

Изображение слайда